Plaats-tijd diagram met formule versnelling

[eendavid]

Gewoon de integratieconstante zo kiezen dat z(0)=0. Dus, met Z dat wat je dacht dat z was, trek z=Z-Z(0).

[PWS_V6]

Ik heb wat met Derive 6 geprobeerd maar volgens mij kan het programma het niet uitrekenen (zie screenshot!).

Wat nu?!

En welke optie moet ik bij Calculus >> Integrate kiezen; Definite (deze post) of Indefinite (post #56)?

De eerste regel is de formule voor de versnelling (inderdaad een iets andere dan hiervoor gepost maar ook deze is vergelijkbaar).

[eendavid]

Als je het exact wil oplossen heb je met dit gegeven een 2de integraal nodig. Als je het numeriek doet niet. Dan kan je inderdaad hierop de Eulermethode laten werken.

[PWS_V6]

Ik ben nog weer even aan de slag gegaan met post #56 en de opmerking in post #59.

In de bijlage zit het Excel-bestand;

Als ik in A10 0 zet, blijft alles 0 (als de integratieconstante -7,67... is).

Als ik in A10 iets anders zet, verandert er wel van alles (als de integratieconstante -7,67... is).

Als in A10 0 zet, verandert er wel van alles als ik de intergratieconstante op 0 zet.

Wat is de goede oplossing/hoe moet ik dit oplossen?!!?

[eendavid]

Ik zie het probleem. In de afleiding van de formule met z(y) doe je, jawel, een vermenigvuldiging met v. Als v 0 is vind je dus terug de vergelijking 0=0. Dit betekent niet dat de energie geen behouden grootheid is, het betekent dat in een systeem met v(0)=0 en a(0) verschillend van 0 energiebehoud ook gewoon geldt als het deeltje op dezelfde plaats blijft staan (ook al is dat geen oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking). Ik heb daar nooit bij stilgestaan, en bedank PWS om me daar attent op te maken. Merk op dat je (op het eerste zicht ongegronde) suggestie om niet y=0 maar y=0.00000001 (en dus ook v iets verschillend van 0) te nemen wel degelijke naar het juiste antwoord leidt.

Nu, wat betreft het correct behandelen van de oorspronkelijke vergelijkingen: doe eens gewoon daarop een Euler-integratie. Je hebt je 3 kolommen reeds staan. Het enige dat je moet doen is in kolom C de formule voor a uit post #5 invullen. In C11 schrijf je dan C10+.01*E10, en in A11 A10+.01*C10.

[PWS_V6]

Nu, wat betreft het correct behandelen van de oorspronkelijke vergelijkingen: doe eens gewoon daarop een Euler-integratie. Je hebt je 3 kolommen reeds staan. Het enige dat je moet doen is in kolom C de formule voor a uit post #5 invullen. In C11 schrijf je dan C10+.01*E10, en in A11 A10+.01*C10.

En wat staat er dan in kolom E (gewoon hetzelfde als dat er nu staat? dat is namelijk

\(z(y)\)

)?

In de vorige bijlage is het namelijk als volgt:

kolom A: de afstand y

kolom C:

\(\sqrt{2z(y)}+integratieconstante\)

kolom E:

\(z(y)\)

Zou je anders vast 1 regel in willen vullen en het bestand als bijlage willen toevoegen? Zo heb ik namelijk een idee hoe het moet!

Als je bedoelt dat in kolom E de formule voor de versnelling ingevuld moet worden, krijg je dus:

kolom A: afstand (=y+dt*v)

kolom C: snelheid (=v+dt*a)

kolom E: versnelling (a)

En dan hoef ik opeens niets meer te doen met integreren etc.?

[eendavid]

Als je bedoelt dat in kolom E de formule voor de versnelling ingevuld moet worden, krijg je dus:

kolom A: afstand (=y+dt*v)

kolom C: snelheid (=v+dt*a)

kolom E: versnelling (a)

En dan hoef ik opeens niets meer te doen met integreren etc.?

Voila, dat is waar ik op pagina 2 al naar verwijs. Je hebt de oorspronkelijke 2de orde differentiaalvergelijking opgesplitst in 2 eerste orde differentiaalvergelijkingen.

[PWS_V6]

Je hebt de oorspronkelijke 2de orde differentiaalvergelijking opgesplitst in 2 eerste orde differentiaalvergelijkingen.

Wat heb ik opgesplitst dan?

Ik gebruik namelijk gewoon de gegeven formule voor de versnelling en dat is het enige.

Ik heb het even geprobeerd en het resultaat zit in de bijlage.

Hij werkt nu zelfs met het begin y=0 of doe ik iets fout?

Het zou fijn zijn als iemand dit even zou kunnen controleren!

Ik heb ook het plaats-tijd diagram met s=0.5*g*t^2 toegevoegd; als het goed is ligt deze lijn onder mijn lijn.

Nu is dit alleen het geval als ik de tijd aanpas, dus op t=0,01 gebruik ik t=0 voor de berekening.

Ik denk dat hier ergens een fout zit; iemand die hem ziet (komt waarschijnlijk omdat er twee keer y=0 staat in kolom B?).

[eendavid]

Denk er eens over. Wat je doet is de 2 gekoppelde vergelijkingen

\(\frac{dy}{dt}=v\)

\(\frac{dv}{dt}=a(y)\)

in Eulergedaante schrijven.

[PWS_V6]

Ik heb post #68 gewijzigd; zou je hier dan even naar kunnen kijken?

[eendavid]

Ik denk dat hier ergens een fout zit; iemand die hem ziet (komt waarschijnlijk omdat er twee keer y=0 staat in kolom B?).

Dat is niet echt een fout: de reden zit hem in de fout die men met de Eulermethode maakt (je bekomt immers een benaderde oplossing). Met meer gevorderde integratietechnieken kan men dit oplossen (ik raad je dit af: dit is zinloos en kan moeilijk worden). Maar het probleem manifesteert zich niet als je meer tussenstappen neemt in de tijdsschaal waarin je geïnteresseerd bent. In het bijzonder, zorg ervoor dat je minstens 100 stappen neemt (hetzij door de tijd waarover je kijkt te vergroten, hetzij door je integratiestap te verkleinen)