Impulsmoment in kwantummechanica

[Wyke]

Hallo allemaal,

ik heb een vraag over het impulsmoment (Angular momentum) in de quantummechanica.

Sommigen van jullie weten misschien wel dat de sferisch harmonischen eigenfuncties zijn

van de operatoren L^2 en Lz. Als ik nu deze operatoren een translatie geef in de x,y,z-ruimte

zijn de sferisch harmonischen dan nog steeds eigenfuncties van deze operatoren?

Alvast bedankt (zo ja/zo nee waarom wel/niet?)

Met vriendelijke groetjes,

Wyke

[eendavid]

Met 'de operatoren een translatie geven' bedoel je waarschijnlijk iets als

\(\exp(i\vec{T}\cdot\vec{P})L^2\exp(-i\vec{T}\cdot\vec{P})\)

?

Aangezien translatie en rotatie niet commuteren kan men onmiddelijk inzien dat de nieuwe eigenvectoren

\(\exp(i\vec{T}\cdot\vec{P})\psi_L\)

geen eigenvectoren vormen van

\(L^2\)

. Wanneer je naar de sferische harmonieken kijkt zal dit geen verrassing zijn: de nieuwe eigenfuncties zijn immers de sferische harmonieken gedefinieerd rond een ander ruimtepunt. Deze kunnen onmogelijk een sferische harmoniek zijn rond de oorspronkelijke oorsprong.

[Wyke]

Eigenlijk bedoel ik met translatie

(x-x0, y-y0, z-z0) X (Px, Py, Pz)

[eendavid]

Dat is (op een herdefinitie

\(\vec{T}\rightarrow-\left(x_0,y_0,z_0\right)\)

na) hetzelfde. Dat hoort natuurlijk zo te zijn, en je kan het gemakkelijk narekenen, gebruik makend van de commutatieregel

\([L_i,P_j]=i\epsilon_{ijk}P_k\)

[Wyke]

Ik zie nog niet helemaal waarom rotatie en translatie niet commuteren..

[eendavid]

Eigenlijk moest ik niet echt spreken over rotatie. Wanneer je de commutatieregel tussen L en P kent, is het duidelijker om te zeggen: 'aangezien L^2 en exp(iTP) niet commuteren, ...'

In verband met translaties die niet roteren met rotaties. Neem een blad papier. Teken een x-as en een y-as. Verschuif een algemeen punt over een algemene vector, en roteer daarna over een algemene hoek rond de oorsprong. Doe het daarna andersom. Je bent klaar. Je kan zeer eenvoudig uitrekenen wat de commutator is (immers de transformatieformules zijn zeer eenvoudig in het 2D geval).

[Wyke]

Oke , heel erg bedankt