Machtenprobleem

[TSjeromeke]

ik heb altijd geleerd dat

a^m^n = a^m*n

maar nu stuit ik op dit vraag stuk:

(-1)^5^2+1^2^5=?

ik zou zeggen 2

maar antwoord is 0

en dit is de uitleg:

(−1)^5^2 + 1^2^5 = (−1)^25 + 1^32 = −1 + 1 = 0.

dus het gedeelte dat ik in begin zei klopt dan niet?

(ja, ik weet weet wel dat als je een negatief getal tot een negatief exponent verheft dat je dan negatief uitkomt)

alvast bedankt

[PeterPan]

ik heb altijd geleerd dat

a^m^n = a^m*n

Dat heb je niet geleerd.

a^m^n betekent volgens internationale conventie

\(a^{(m^n)}\)

.

In Latex wordt a^m^n technisch weergegeven als

\(a^m^n\)

.

[jhnbk]

(ja, ik weet weet wel dat als je een negatief getal tot een negatief exponent verheft dat je dan negatief uitkomt)

sinds wanneer geldt dit?

(-2)^(-2)>0

[TSjeromeke]

sinds wanneer geldt dit?

(-2)^(-2)>0

ik bedoel zo:

(-1)^2 >0

(-1)^5<0

moet dus tot een oneven exponent zijn, sry

[Agno]

ik heb altijd geleerd dat

a^m^n = a^m*n

maar nu stuit ik op dit vraag stuk:

(-1)^5^2+1^2^5=?

ik zou zeggen 2

maar antwoord is 0

en dit is de uitleg:

(−1)^5^2 + 1^2^5 = (−1)^25 + 1^32 = −1 + 1 = 0.

dus het gedeelte dat ik in begin zei klopt dan niet?

(ja, ik weet weet wel dat als je een negatief getal tot een negatief exponent verheft dat je dan negatief uitkomt)

alvast bedankt

Met negatieve grondtallen en (complexe) machten tot machten is het altijd uitkijken.

Wat dacht je van deze:

\( -1 = \sqrt[3]{(-1)} = (-1)^{\frac13} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2)} = \sqrt[6]{1} = 1\)

[TD]

Het vierde gelijkheidsteken is een "no go"...

[PeterPan]

Het tweede gelijkheidsteken is een "niet gaan"...

[TD]

Dat is nog 'proper' te definiëren, maar met een conservatievere (mag ik dat zo zeggen? ) keuze loopt het daar al mis...

[jhnbk]

De tweede is inderdaad al discutabel. De 4de is zeker not done.

[TD]

Voor elk reëel getal (en in het bijzonder dus de negatieve) is er een unieke oneven machtswortel; als je kiest om die zo te noteren (voor de derdemachtswortel), is daar geen probleem.

[Agno]

Volgens mij zit de 'no go' stap in de derde '=' en wel in

\( (-1)^{\frac13} = (-1)^{\frac{2}{6}}\)

Non-integer machten met de ratio

\(\frac{a}{b}\)

met een negatief grondtal zijn alleen dan toegestaan als zowel a en b de vorm 2k+1 hebben (dus beiden vrij zijn van veelvouden van 2). Met deze regel klopt de boekhouding weer.

Een ander voorbeeld waarbij het ook fout loopt is:

\(i=\sqrt{-1}=(-1)^{\frac12}=\left(\frac{1}{-1}\right)^{\frac12}= \left(\frac{1^{\frac12}}{(-1)^\frac12}}\right)=\frac{1}{i}=-i\)

[TD]

Volgens mij zit de 'no go' stap in de derde '=' en wel in

\( (-1)^{\frac13} = (-1)^{\frac{2}{6}}\)

Ik vind het eerste gelijkheidsteken al vies.

[PeterPan]

Ik vind het eerste gelijkheidsteken al vies.

Kortom, het is één grote smeerlapperij.

[Agno]

Kortom, het is één grote smeerlapperij.

Inderdaad.

Wiskunde is duidelijk een onwelriekende wetenschap en wiskundigen zijn een stelletje viespeuken.

Maar wat is dan toch

\((-1)^{\frac{2}{6}}\)

?

Is dit nou ongedefinieerd of is het onbepaald ?

Of komt er altijd een complex getal uit?

[PeterPan]

\(a^b\)

is niet gedefinieerd voor

\(a<0\)

, tenzij

\(b \in \zz\)

.