Deeltje met massa m in potentiaalveld

[ned118]

Wie kan mij helpen?

Ik moet een opdracht maken en kom er niet uit:

Een deeltje met massa m bevindt zich in een potentiaalveld met potentiele energie V=(1/2)k x^2 (met k groter dan 0).

Op dit deeltje werkt een kracht F(t)=F0 cos(omega t) gericht langs de x-as. Op het tijdstip t=0 geldt x=0 en dx/dt=0.

a)Bereken de plaats van het deeltje x(t) als functie van de tijd.

b)bereken de limietovergang van de onder a gevonden functie x(t) voor het geval van resonantie.

alvast heel erg bedankt.

[ned118]

Kan iemand mij alsjeblieft helpen?

Ik moet het morgen inleveren.

[eendavid]

Wat heb je al geprobeerd? Waar loop je vast?

[thermo1945]

Dit riekt naar een harmonische trilling aan een hangende veer.

[ned118]

Ik heb:

kracht door potentiaalveld:

F=-gradient van V=-kx

m a=F0 cos(omega t) -kx

m d^2x/dt^2 +kx=F0 cos(omega t) is een inhomogene differentiaal vergelijking

particuliere oplossing: x(t)=A cos(omega t)

Nu A vinden:

-m A (omega)^2 cos(omega t)+kA cos(omega t)= F0 cos(omega t)

-mA(omega)^2+kA=F0

A=F0/(k-m(omega)^2)

inhomogene oplossing: x(t)=B cos(omga t) + C sin(omega t)

tot zover ben ik gekomen

[ned118]

dan krijg ik C=0 en D=0, dus x(t)=F0/(m(w0^2-w^2) cos(wt)

waarbij w0-->omega 0, w0=(k/m)^(1/2)

en w-->omega

maar ik weet niet of deze x(t) goed is?

[ned118]

ik denk dat ik hem heb.

de respons kan in fase verschillen van aandrijvende kracht

dan kijken voor w0 groter dan w (fasesverschil is 0)

en w groter dan w0 (faseverschil is pi)

krijg je twee verschillende A's

dus: x(t)=F0/(m(w0^2-w^2) cos(wt) voor w is groter dan w0(faseverschil is 0)

en x(t)=F0/(m(w^2-w0^2) cos(wt) voor w0 is groter dan w(faseverschil is pi)

en als w-->w0 dan wordt de amplitude zeer groot en is er een discontinue overgang in faseverschil van 0 naar pi tussen verplaatsing en aandrijvende kracht

hopelijk is het goed,

misschien heeft iemand anders er nog iets aan

[eendavid]

x(t)=F0/(m(w0^2-w^2) cos(wt)

waarbij w0-->omega 0, w0=(k/m)^(1/2)

en w-->omega

maar ik weet niet of deze x(t) goed is?

Deze vergelijking geeft je inderdaad de particuliere oplossing. Je ziet dat met deze oplossing een faseverschil ontstaat wanneer omega>omega_0.

Echter, controleer eens of aan je beginvoorwaarden voldaan is. Het antwoord is neen. De reden is dat je de constanten hebt bepaald door enkel de delen van de algemene oplossing te bekijken, terwijl je de volledige oplossing moet bekijken. Dit is een vaak terugkerende fout, maar als je zorgvuldig werkt kan je deze nooit tegenkomen (achteraf controleren van de beginvoorwaarden leert steeds of je dit correct hebt afgehandeld).

Met andere woorden, haal B en C uit

\(x(0)=B\cos(\omega_0 0)+C\sin(\omega_0 0) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega 0)\)

en de analoge vergelijking voor de afgeleiden.

[Kabel]

Met andere woorden, haal B en C uit

\(x(0)=B\cos(\omega_0 0)+C\sin(\omega_0 0) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega 0)\)

en de analoge vergelijking voor de afgeleiden.

Als je dit uitwerkt kom je uit op x(t)= 0. De term met B valt weg tegen de laatste term en volgens randvoorwaarde v/d afgeleide is C ook 0. Dat lijkt me niet juist.

[eendavid]

Bemerk dat

\(\omega\neq\omega_0\)

edit: Het geval

\(\omega=\omega_0\)

vergt aparte behandeling. Dat is iets moeilijker, maar niet ondoenbaar. Ik wil de aandacht niet te veel afleiden, dus zwijg ik er maar even over.

[ned118]

ik krijg er ook x(t)=0 uit

voor het geval w0=w krijg ik er ook x(t)=0 uit

[Kabel]

ik krijg er ook x(t)=0 uit

voor het geval w0=w krijg ik er ook x(t)=0 uit

als je voor de termen met B en C

\(\omega_0 \)

gebruikt, kom je op iets anders uit:

\(x(t)=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))\)

[eendavid]

Ik onderstel dat we klaar zijn met de gevallen

\(\omega\neq\omega_0\)

Dus iedereen heeft gevonden dat we er voor het geval

\(\omega=\omega_0\)

0/0 komt. Wat doet men voor zo'n geval? L'Hôpital toepassen, inderdaad. Dit is natuurlijk geen rigoureuze manier van werken, deze methode levert je een 'goede suggestie' voor de correcte oplossing (immers het voorstel

\(A cos(\omega_0t)\)

is duidelijk niet goed, het is een algemene oplossing). Je zal versteld staan!

[Kabel]

Ik onderstel dat we klaar zijn met de gevallen

\(\omega\neq\omega_0\)

Dus iedereen heeft gevonden dat we er voor het geval

\(\omega=\omega_0\)

0/0 komt. Wat doet men voor zo'n geval? L'Hôpital toepassen, inderdaad. Dit is natuurlijk geen rigoureuze manier van werken, deze methode levert je een 'goede suggestie' voor de correcte oplossing (immers het voorstel

\(A cos(\omega_0t)\)

is duidelijk niet goed, het is een algemene oplossing). Je zal versteld staan!

Betekent dit dat voor vraag a) de gevonden x(t) akkoord is en dat voor vraag b) L'Hôpital moet worden toegepast ivm resonantie (

\(\omega=\omega_0\)

)?

[da_doc]

Inderdaad, versteld, want dat heet resonantie. De vergelijking heeft geen dempingsterm, dus is er geen stationaire oplossing. De afwezigheid van demping is natuurlijk een onzinnige aanname als je dicht bij resonantie bent.