Numeriek vs. symbolisch

[Frank P]

Hallo,

Voor een werkje van toegepaste wiskunde heb ik het volgende als inleidend stukje geschreven. Mijn vraag is: klopt dit? Wat zijn nu juist de verschillen tussen symbolische en numerieke wiskunde? Ik vroeg me dan ook af hoe het zit met computers en rekenmachines: ik dacht altijd dat ze numeriek werken vanwege kleine foutjes die in hun resultaten zitten, maar dan heb je rekenmachines als de TI89 die blijkbaar wel symbolisch kunnen rekenen?

Computers werken numeriek. Ze maken gebruik van methodes in de numerieke wiskunde om problemen op te lossen. Symbolische berekeningen zijn steeds nauwkeuriger dan numerieke. Dit komt omdat een numerieke berekening slechts een benadering is. Een voorbeeld: 1/3 is symbolisch, 0.3333... is numeriek.

Numerieke berekeningen worden vaak uitgevoerd aan de hand van iteraties en algoritmes. Als een iteratie oneindig veel keer wordt uitgevoerd, dan zal het numerieke overeenkomen met het symbolische. Maar het aantal berekeningen dat een machine kan uitvoeren is beperkt, en dus maakt de machine hierdoor fouten.

Bedankt!

Frank

[PeterPan]

Computers werken numeriek.

Computers werken in eindige precisie. Ze ronden af. Mensen kunnen numeriek werken.

Ze maken gebruik van methodes in de numerieke wiskunde om problemen op te lossen.

Dat doet niet de computer, maar de mens.

Symbolische berekeningen zijn steeds nauwkeuriger dan numerieke.

Symbolische berekeningen zijn exact, numerieke zijn benaderingen (slecht in een eindig aantal decimalen nauwkeurig).

Numerieke berekeningen worden vaak uitgevoerd aan de hand van iteraties en algoritmes.

Een algoritme is de verzameling regels waarmee de computer wordt gevoed. Een iteratie is een deelverzameling opdrachten aan de computer die de computer meer dan eens moet doorlopen (onderdeel van een algoritme).

Als een iteratie oneindig veel keer wordt uitgevoerd, dan zal het numerieke overeenkomen met het symbolische.

Neen. Een computer werkt in b.v. een precisie van 16 decimalen. Ook na 10 miljoen iteraties levert dat nog steeds slechts de eerste 16 decimalen. Als je de tussenresultaten zou onderbrengen in geheugenblokjes van elk 16 decimalen, dan zou je oneindig veel geheugen nodig hebben als je wilt dat na "oneindig veel" (hoeveel is dat?) iteraties tot de exacte uitkomst wilt komen. Wat dat betreft is er geen echt verschil tussen numerieke tussenresultaten en symbolische,

want ook bij iteraties op een symbolische machine kunnen de tussenresultaten exploderen.

Maar het aantal berekeningen dat een machine kan uitvoeren is beperkt, en dus maakt de machine hierdoor fouten.

Je hebt het hier vermoedelijk over benaderende iteraties. Je opmerking geldt voor zowel "numerieke computers" als symbolische.