Krachten op systemen van verbonden staven

[Erik Leppen]

Allereerst, ik wist niet precies in welk subforum dit het best hoort, wiskunde of natuurkunde, maar aangezien ik flink wil abstraheren vond ik wiskunde beter.

Stel, ik heb een graaf bestaande uit knopen, verbonden met lijnen, en ik stel de lijnen voor als staven die bij de verbindingspunten verbonden zijn. Een aantal knopen is vast, dat wil zeggen dat ze een soort verankeringspunten zijn die niet kunnen verplaatsen. Zie het als een netwerk van staven dat aan een muur hangt; bij de vaste knopen is het ding opgehangen.

Nu vereenvoudig ik het systeem zo veel mogelijk. Veronderstel dat alle staven massa nul hebben, en dat alle niet-vaste knopen behalve ééntje massa nul hebben en die ene overblijvende massa 1. Daarnaast kunnen staven alleen krachten opvangen evenwijdig aan hun richting. Veronderstel ook dat de staven niet samendrukken of uitrekken (kortom, van lengte veranderen) als er krachten op staan (of in elk geval, verwaarloos het effect ervan).

Daarnaast vereisen we dat het systeem in evenwicht is.

VRAAG: bepaal de kracht op alle staven.

Dat was de vraag die ik mezelf stelde en ik vroeg me af of daar een algemene methode voor bestaat. Ik begon met het bekijken van de allersimpelste situatie:

Afbeelding 01

Het blauwe punt met het vierkantje is een vast punt (ophangpunt). Het rode punt met cirkeltje is het massapunt. Het systeem is in evenwicht en de massa van het rode punt zorgt voor een trekkracht in de lijn gelijk aan de massa, dus de kracht is -1 (negatief = trekkracht, positief = drukkracht). Het andere evenwicht is

Afbeelding 02

(dat het een instabiel evenwicht is maakt even niet uit), waarbij de kracht dus +1 is omdat het massapunt de staaf samendrukt.

Laten we de netwerken rigide (star) maken zodat ze niet kunnen bewegen:

Afbeelding 03

Intuïtief zeg ik dat er op de horizontale staven geen kracht staat; het systeem is immers in evenwicht als deze wordt weggelaten.

Nu ging ik een stapje verder:

Afbeelding 04

(de grijze lijnen zijn hulplijnen, géén staven; de driehoeken zijn gelijkzijdig)

Wat ik heb gedaan is de krachtvector (niet getekend) ontbinden in een component in de richting van beide staven. Dezelfde aanpak leidt tot

Afbeelding 05[*][/color]

en

Afbeelding 06

Merk op dat de kracht dus groter kan worden dan de massa (willekeurig groot, door de twee vaste punten naar elkaar te laten naderen)

Deze aanpak kan worden herhaald om ingewikkeldere situaties mee te behandelen:

Afbeelding 07

Achtereenvolgens beschouw ik de driehoek waarin het rode punt zit, bekijk welke basissituatie dat is, verwijder die driehoek en verplaats het rode punt naar de volgende driehoek (en draai de kracht in de richting van de staaf). Dit is wat er uiteindelijk uitkwam. Maar dat werkt volgens mij niet voor

Afbeelding 08

omdat het middelste punt nu niet vast is.

Maar waar bij mij de echte vraag zit, is bij systemen die op meerdere manieren ondersteund kunnen worden. Wat ik daarmee bedoel staat in de volgende afbeelding.

Afbeelding 09

De bovenste twee situaties geven twee manieren aan om het rode punt te ondersteunen aan de twee blauwe. Bekijk de grijze lijnen als staven waarop geen kracht staat en ze worden ineens hetzelfde systeem. Bekijk je dit systeem, dan zijn de krachten dus in elk geval van de aangegeven vorm voor een of andere a.

Maar, als je zo'n systeem zou bouwen lijkt me dat de daadwerkelijke krachten eenduidig en altijd hetzelfde zijn, oftewel, de natuur kiest als het ware één a uit. Hoe bepaal je nu de a? Of, in het simpelere ééndimensionale voorbeeld

Afbeelding 10

hoe bepaal je de a? Ik neem aan dat a = 1/2, maar waarom? Voor iedere a ondersteunt het systeem een massa van 1, dus wat bepaalt de voorkeur voor een zekere a?

Het probleem wordt lastiger als het aantal mogelijke subsystemen dat het rode punt ondersteunt, toeneemt. Hier zijn er al vier zulke systemen:

Afbeelding 11

Wat zijn hier de krachten?

En hoe pak je zoiets aan als het aantal blauwe punten, of gewoon het aantal staven, verder toeneemt? Oftewel: hoe doe je dit algemener?

[*][/color]Hier even een sterretje, want ik vind die oplossing met de schuine staven waarop kracht nul staat, zowel logisch als toch een beetje verdacht. Logisch omdat ze weggelaten kunnen worden zonder het evenwicht te verstoren, maar verdacht omdat ze een incontinuïteit laten zien, zie namelijk de krachten in volgende situaties.

Afbeelding 12

De netwerken hebben dezelfde limiet, maar de krachten convergeren niet naar de krachten in het limietnetwerk.

[jhnbk]

Eindige elementen methode.

[jhnbk]

Je kan heel eenvoudig werken als je de volgende voorwaarde in acht neemt:

a) het aantal externe ophangpunten is 2 maar slecht één ervan maakt verplaatsingen in twee richtingen onmogelijk, de andere slechts in één richting.

b) indien s=2k-3 is het bepaald met:

k aantal knopen

s aantal staven

Indien deze voorwaarde gelden kan je de externe krachten bepalen in de knopen en dan per knoop het evenwicht uitschrijven.

Afbeelding 10

hoe bepaal je de a? Ik neem aan dat a = 1/2, maar waarom? Voor iedere a ondersteunt het systeem een massa van 1, dus wat bepaalt de voorkeur voor een zekere a?

Voor zulke gevallen zal je methoden (zie DSM) uit de sterkteleer nodig hebben.

[Erik Leppen]

Bedankt voor de link, jhnbk. Ik ben het aan het bestuderen geweest, en het ziet er goed uit. Ik wilde het inprogrammeren in een computer maar zo te zien gaat dat nog een hele klus worden. Ook vraag ik me af of die vergelijking f = K u wel altijd een oplossing gaat hebben (en hoe ik die dan moet vinden). Met een programma als Mathematica is dat na te rekenen, dat ga ik eens doen om te kijken of het wil lukken.

Hoe dan ook bedankt voor de link

[jhnbk]

Ook vraag ik me af of die vergelijking f = K u wel altijd een oplossing gaat hebben (en hoe ik die dan moet vinden).

In theorie is het stelsel op te lossen indien het één stabiel stelsel is. Sommige van jouw gegeven voorbeelden zijn niet stabiel (een mechanisme).