Een constructief (en eenvoudig) bewijs:
Verborgen inhoudMerk op dat \(2^{2^{n+1}}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^4\)
en \(2^{2^{n}}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2\)
.
Tweemaal toepassen van de identiteit \(a^4+a^2+1=(a^2-a+1)(a^2+a+1)\)
levert:
\(2^{2^{n+1}}+ 2^{2^{n}}+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^4+\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1\)
\(=\left(\left(2^{2^{n-1}}\right)^2-\left(2^{2^{n-1}}\right)+1\right)\left(\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+\left(2^{2^{n-1}}\right)+1\right)\)
\(=\left(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1\right)\left(\left(2^{2^{n-2}}\right)^4+\left(2^{2^{n-2}}\right)^2+1\right)\)
\(=\left(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1\right)\left(2^{2^{n-1}}-2^{2^{n-2}+1\right)\left(2^{2^{n-1}}+2^{2^{n-2}}+1\right)\)
Voor \(n\geq 2\)
staat hier een product van drie gehele getallen >1.
@PP: Vanwaar de
? Mijn factoren voor het geval
n=2 komen overeen met die van jou: 13, 7, 3. Klopt jouw bewijs ook voor n>2?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
