Van differentiaalvergelijking naar plaats-tijdfunctie

[Phys]

Je hebt dus het volgende:

\(\int\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int dt\)

Merk op dat

\(\frac{d}{dx}\mbox{arctanh }x=\frac{1}{1-x^2}\)

, dus

\(\int\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\frac{1}{g}\int\frac{dv}{1-\frac{k}{mg}v^2}=\frac{1}{g}\int\frac{dv}{1-\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}=\frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\mbox{arctanh}\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)\)

\(=\sqrt{\frac{m}{kg}}\mbox{arctanh}\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)\)

[Sjengfred]

Hartstikke bedankt . Ik ben er uit nu, ik ga nu kijken of ik de rest van de opdracht verder kan oplossen

[Sjengfred]

Ik ben nu gestrand bij het omrekenen naar de plaat-tijdfunctie. Hieronder een afbeelding van mijn berekeningen tot nu toe.

Bij de laatste loop ik dus vast. Kan iemand mij hiermee weer opgang helpen

integreren 611 keer bekeken

Ik weet dat ik het deel onder de deelstreep erbuiten kan laten omdat dit constanten zijn, maar het integreren van het deel boven de deelstreep lukt me ook niet.

[TD]

Het wordt allemaal al iets minder zwaar in notatie als je al wat vereenvoudigt na je eerste integratie:

\(\frac{1}{r}\sqrt {\frac{r}{l}} \arctan \left( {\frac{l}{r}v\sqrt {\frac{r}{l}} } \right) = t + C \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{{rl}}} \arctan \left( {v\sqrt {\frac{l}{r}} } \right) = t + C\)

Randvoorwaarde:

\(\sqrt {\frac{1}{{rl}}} \arctan \left( {v_0 \sqrt {\frac{l}{r}} } \right) = C \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{{rl}}} \arctan \left( {v\sqrt {\frac{l}{r}} } \right) = t + \sqrt {\frac{1}{{rl}}} \arctan \left( {v_0 \sqrt {\frac{l}{r}} } \right)\)

Waaruit:

\(v = \sqrt {\frac{r}{l}} \tan \left( {t\sqrt {rl} + \arctan \left( {v_0 \sqrt {\frac{l}{r}} } \right)} \right)\)

Je hebt hetzelfde, maar dit ziet er toch iets eenvoudiger uit. Probeer die wortels altijd wat te vereenvoudigen.

Nu ziet het integreren er moeilijk uit, maar laten we de notatie eens verzachten. Je zoekt iets van de vorm:

\(\int {a\tan \left( {bt + c} \right) \,\mbox{d}t} \)

Lukt dit? Vervang tan door sin/cos en je zou aan een ln moeten denken. Daarna a,b,c vervangen door...

[Sjengfred]

Bedankt voor je uitleg

Ik had inderdaad al gekeken of ik het kon vereenvoudigen, maar ik kwam hier niet uit.

Maar begrijp ik nu dat je stelt dat

\(\frac{1}{r}\sqrt {\frac{r}{l}} = \sqrt {\frac{1}{{rl}}}\)

Maar dit klopt toch niet als r en l ook negatief kunnen zijn of wel, dat is hier namelijk het geval.

Ik ga proberen of ik er iets van kan maken.

Als ik het goed begrijp moet ik hiermee verder werken:

integreren2 613 keer bekeken

[TD]

Ik had inderdaad al gekeken of ik het kon vereenvoudigen, maar ik kwam hier niet uit.

Maar begrijp ik nu dat je stelt dat

\( \frac{1}{r}\sqrt {\frac{r}{l}} = \sqrt {\frac{1}{{rl}}} \)

Ik ga proberen of ik er iets van kan maken.

Ik noteerde het maar even met a,b,c om te laten zien dat de integraal niet zo problematisch is.

[Sjengfred]

Het is nu inderdaad een stuk helderder voor mij, maar ik schud het helaas niet zomaar uit de mouw. Zo gauw ik iets heb zien je het hier. In ieder geval al bedankt.

[TD]

Bedoel je de integraal? Dan vraag je toch even hulp...

\(\int {a\tan \left( {bt + c} \right) \,\mbox{d}t} = \int {a \frac{\sin \left( {bt + c} \right)}{\cos \left( {bt + c} \right)} \,\mbox{d}t} \)

Nu is de afgeleide van cos(x) gelijk aan -sin(x), dus ook hier heb je in de teller (bijna) de afgeleide van de noemer. Doet dat geen belletje rinkelen? Gebruik eventueel een subsitutie, als je dat gezien hebt - stel dan y = cos(bt+c).

[Sjengfred]

Heb je nog meer hints voor mij . Ik kom er nog niet uit zo.

[TD]

Stellen we y = cos(bt+c), dan is dy/dt = -sin(bt+c)/b zodat -1/b dy = sin(bt+c)dt en dit rechterlid hebben we precies in onze integraal staan.

\(\int {a\frac{{\sin \left( {bt + c} \right)}}{{\cos \left( {bt + c} \right)}}} \,\mbox{d}t= - \frac{a}{b}\int {\frac{1}{y}} \,\mbox{d}y\)

Dit zou bekender moeten lijken, ken je een primitieve van 1/y?

[Sjengfred]

Als ik het goed begrijp is het onderstaande de oplossing. Klopt dit?

integreren3 610 keer bekeken

[TD]

Oplossing klopt, nu gewoon teruggrijpen naar jouw a,b,c.

[Sjengfred]

Hartstikke bedankt, het is me nu gelukt. Ik ben nog niet zo handig in de "trucjes".

Voor de liefhebbers de verdere uitwerking:

integreren4 609 keer bekeken

(De waardes voor a, b en c staan een paar posts eerder)

[TD]

Hartstikke bedankt, het is me nu gelukt. Ik ben nog niet zo handig in de "trucjes".

Graag gedaan. Ik heb je laatste uitwerking niet in detail nagekeken op eventuele kleine foutjes, maar nu je de methode begrijpt zal het wel in orde zijn.

[Sjengfred]

Ik ben er zelf ook van overtuigd dat deze klopt. Ik heb deze ter controle ook nog nagerekend met het invullen van verschillende waardes en het klopt allemaal.