Normal frequencies/modes

[ned118]

Kan iemand mij helpen?

Om te beginnen moet ik het volgende probleem oplossen, maar ik kan me er niet zoveel bij voorstellen(wat gebeurt er precies?hoe ziet het eruit?):

A thin rod of lenght 2b and mass m is suspended by its two ends with two identical vertical springs (force constant k) that are attached toe the horizontal ceiling.

Assuming that the whole systems is constrained to move in just the one vertical plane, find the normal frequencies and normal modes of small oscillations. Describe and explain the normal modes.

(Hint: It is crucial to make a wise choice of generalized coordinates. One possibility would be r, \phi and \alpha, where r and \phi specify the position of the rod's CM relative to an origin halfway between the springs on he ceiling, and \alpha is the angle of tilt of the rod. Be careful when writing down the potential energy.)

alvast bedankt

[ned118]

Kan iemand mij helpen?

Al is het maar uitleg over hoe het er precies uitziet....

[ned118]

Ziet het er zo uit en beweegt hij alleen in de richting van de rode pijltjes?

[eendavid]

Zoals ik het zie gaat het om een stijve stok, van lengte 2b, met uiteinden aan 2 veren die vasthangen aan het plafond (en vermoedelijk ook op lengte 2b van elkaar verwijderd hangen, alhoewel dat niet expliciet gespecifieerd is). De veren kunnen natuurlijk naar opzij bewegen, maar niet naar voor ('ze bewegen in het vlak').

edit: Ik had je antwoord niet gezien. Natuurlijk kan hij ook naar beneden bewegen aan veer 1 en veer 2.

[ned118]

Ok dan snap ik hoe het eruit ziet. Bedankt!

Nu nog kijken of ik er verder uitkom.

[ned118]

Ik heb nu de potentiele en kinetische energie, maar weet niet of het klopt.

Kan iemand mij helpen?

Ik heb:

kinetische energie: T=1/2 m [(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]

waarbij x en y de verplaatsing van CM(massamiddelpunt is)

potentiele energie: 1/2 k (b^2 sin(alpha)^2 +b^2 cos(alpha)^2)=1/2 k b^2

Hier twijfel ik over of het wel goed is???

[eendavid]

Dat kan niet goed zijn. Hier volgen een aantal fysische vaststellingen over het systeem die niet goed worden weergegeven in je formules.

• Als de tijdsafgeleide van alpha verschilt van 0, zal dit duidelijk een bijdrage aan de kinetische energie geven.
• Als het massamiddelpunt van de staaf naar beneden of naar opzij gaat (met alpha constant), zal dit tot een verandering van de potentiële energie van de veer leiden. Je moet de eindpunten van de staaf berekenen (voor algemene x,y,alpha), en uitdrukken wat de lengte van de veren zijn in dat geval (daaruit haal je een deel van de potentiële energie).
• De staaf is onderhevig aan de zwaartekracht

[ned118]

wat moet ik precies doen dan?

Is mijn kinetische energie wel goed?

Ik kom met mijn potentiele energie uit op:

1/2 k b^2 +mgy+1/2 k r0^2

[eendavid]

Is mijn kinetische energie wel goed?

Nee, niet goed: als de tijdsafgeleide van alpha verschilt van 0, zal dit duidelijk een bijdrage aan de kinetische energie geven.

Ik kom met mijn potentiele energie uit op:

1/2 k b^2 +mgy+1/2 k r0^2

Ik weet niet wat r0 is, maar volgens mij heb je nog geen rekening gehouden met: 'Als het massamiddelpunt van de staaf naar beneden of naar opzij gaat (met alpha constant), zal dit tot een verandering van de potentiële energie van de veer leiden. Je moet de eindpunten van de staaf berekenen (voor algemene x,y,alpha), en uitdrukken wat de lengte van de veren zijn in dat geval (daaruit haal je een deel van de potentiële energie).' Het is misschien niet slecht dat je die berekening hier laat zien (neem voor jezelf ook voldoende tussenstappen). Met andere woorden, gegeven x, y, alpha, wat is de positie van het rechteruiteinde van de staaf. Welke potentiële energie van de veer kan hieraan verbonden worden?

[Kolio]

Ik loop dus ook vast.

Als je de coordinaten schrijft als in de opdracht.

Kies dus de oorsprong precies tussen de veren tegen het plafond.

En

\( \alpha \)

horizontaal in het CM, tegen de klok in roterend positief.

Dan:

\( X_C_M (t) = r Sin \phi \)

\( Y_C_M (t) = r Cos \phi \)

En voor de uiteindes van de "rod" geldt dan

\( X_U_1 (t) = r(t) Sin \phi -b Cos \alpha\)

\( Y_U_1 (t) = r(t) Cos \phi -b Sin \alpha \)

\( X_U_2 (t) = r(t) Sin \phi +b Cos \alpha\)

\( Y_U_2 (t) = r(t) Cos \phi +b Sin \alpha \)

Maar dan?

Ik moet nu de pot energie en de kin energie bepalen...

Maar hoe?

want als ik de 2 uiteindes gewoon differentier naar tijd zodat ik snelheid heb en daaruit direct kin.energie bereken tel ik dan geen dingen dubbel etc?

Verder weet ik wel de 3 normale frequenties:

\( \omega_1^2=2k/m ; \omega_2^2=6k/m ; \omega_3^2=g/r_0 ; \)

Maar hoe kom ik hier op uit?

Wie kan mij helpen?

M.v.d.

[ned118]

Ik heb nu kinetische energie van de stok: 1/2 (dalpha/dt)^2 I

Waarbij I traagheidsmoment om massamiddelpunt is: 1/3 m b^2

Nu nog kinetische energie van de veren in uiteinde

[ned118]

als we het vanuit de x1, x2 en y2 en y1 doen komen we er ook:

inderdaad gewoon afleiden en invullen(=veel werk maar valt veel weg)

Uiteindelijk:

T=1/2 m [{(dtheta/dt)^2 r^2}+{(dr/dt)^2}+b^2 (dalpha/dt)^2}]

is dat goed?

want volgens mij moet het zijn:

T=1/2 m [{(dtheta/dt)^2 r^2}+{(dr/dt)^2}+1/3 b^2 (dalpha/dt)^2}]

[eendavid]

Rustig, rustig. De kinetische energie van de stok is translatie-energie + rotatie-energie. Waardoor wordt die gegeven? De kinetische energie van de veren is 0, omdat de veren massaloos zijn. Dit is een 'standaard'-probleem: we hebben een stok, wat is zijn kinetische energie. Vermoedelijk ben je dan zelf in staat aan te geven wat de correcte formule is.

De potentiële energie is iets subtieler. Je hebt ten eerste de gravitatiebijdrage, die is makkelijk. Daarnaast heb je de bijdrage van de veren. De potentiele energie van een veer wordt gegeven door

\(\frac{1}{2}k\left(l-l_0\right)^2\)

, met

\(l_0\)

de rustlengte en

\(l\)

de werkelijke lengte. In de opgave wordt niet gesproken over de rustlengte, misschien is ze irrelevant voor de frequenties, of misschien gebruiken jullie de notatie

\(r_0\)

, of misschien mag je ze gelijkstellen aan 0, dat kan ik zo niet inschatten.

[ned118]

je moet wel een rustlengte L0 gebruiken en ook een r0

Ik krijg uiteindelijk:

L=T-U=1/6∙(dα/dt)2∙m∙b2 + ½ m [(dr/dt)2 + r2∙(dφ/dt)2]-kbα2-k(r0-l0)2- ½mgr0φ2-kε2

dan moet je gebruik maken van kleine hoek benadering en van r=r0+ε

en dat in de evenwichtssituatie geldt: mg=2k(r0-L0) als ik het goed heb

[Kolio]

En kom je dan op de frequenties

\( \omega_1^2=2k/m ; \omega_2^2=6k/m ; \omega_3^2=g/r_0 \)

uit?

De kinetische energie lijkt me duidelijk, alleen hoe kom je dan precies aan die termen bij de pot. energie?

want de invloed van de grav. op de pot. energie lijkt me

\( m g 0.5 r_0 \phi^2 \)

en de energie in de veren?

want lijkt me niet dat dat

\( .5 * 2 k (r_0-L_0)^2 \)

is want dan houd je geen rekening mee een uitwijking in de x richting. maar hoe kom je dan aan die

\( kb\alpha^2 of 2kb\alpha \)

??