Normal frequencies/modes

[ned118]

Ug=-mgr∙(1-φ^2/2) heb ik want je moet tweede orde taylor doen

Potentiele “veerenergie”

De potentiele energie van een veer: Uveer=½ k x2

Om alles een beetje eenvoudiger te maken gebruik ik de kleine hoebenadering:

Lengte veer in rusttoestand: l0

Verplaatsing van veer 1: s1= r-bα

Verplaatsing van veer 2: s2= r+bα

x1= r-bα-l0

x2= r+bα-l0

Uveer= ½ k [(r-bα-l0)2+(r+bα-l0)2]

Potentiele energie ten gevolge van zwaartekracht op de stok:

Ug=-mgh

Zwaartekracht grijpt aan in massamiddelpunt

Waarbij h= ycm= r∙cosφ

Dus Ug=-mgr∙cosφ

Hierbij gebruiken we de kleine hoekbenadering(cosφ≈1-φ2/2):

Dus Ug=-mgr∙(1-φ2/2)

Totale potentiele energie:

U=½ k [(r-bα-l0)2+(r+bα-l0)2]- mgr∙(1-φ2/2)

Omdat φ een kleine hoek is, is ook r klein. Die benader ik bij: r=r0+ε, waarbij ε heel klein is:

U=½ k [([r0+ε]-bα-l0)2+([r0+ε]+bα-l0)2]+ mg[r0+ε]∙(1-φ2/2)

U=½ k [([r0+ε]-bα-l0)2+([r0+ε]+bα-l0)2]+ mg[r0+ε]∙(1-φ2/2)

U=2k(r0-l0)ε+kbα2+k(r0-l0)2+ ½mgr0φ2-mgr0-mgε+kε2

ik weet niet of het klopt, want bij mij komen de normal freq enzo niet uit

[eendavid]

Dat ziet er goed uit, ik had het ook net uitgerekend (zonder de kleine hoekbenadering in het begin te gebruiken).

opmerking: latexformules kan je ingeven door [ tex]*plaats hier je formule*[ /tex] te typen, maar dan zonder spaties tussen de haakjes.

opmerking 2: Dit leidt wel degelijk tot de juist frequenties. Dit volgt zelfs onmiddellijk, alles is gewoon diagonaal.

[ned118]

Ik krijg dit:

L=T-U= 1/6∙(dα/dt)2∙m∙b^2 + ½ m [(dr/dt)^2 + r^2 ∙(dφ/dt)^2]

-kbα^2-k(r0-l0)^2- ½mgr0φ^2-kε^2

We krijgen dan 3 lagrange vergelijkingen(voor alpha, phi en r):

Dit doe ik m.b.v. d/dt(dL/d(dq/dt))=dL/dq waarbij ik voor q de drie variabelen invul waardoor ik drie bewegingsvergelijkingen krijg:

m(d^2r/dt^2)=mr∙(dφ/dt)2 (bij variabele r)

mr^2(d^2φ/dt^2)=mgr0φ (bij variabele φ)

1/3 mb^2(d^2α/dt^2)=2kbα (bij variabele alpha)

Maar het komt voor mij echt niet uit, help!

Ik kan helaas heel slecht met letex werken

en dan:

Om de normal frequenties te krijgen los ik op:

Det(A+ω^2I)=0 waarbij omega de eigenfrequenties zijn(ik kies omega groter gelijk aan 0)

Om de normal model te vinden los ik op:

(A+ ω^2I)a=0 waarbij a de eigenvectoren zijn

Wij hebben een vergelijking van de vorm(het zijn vectoren):

A∙x=I∙(d^2x/dt^2) waarbij I de eenheidsmatrix is.

Zo vinden we matrix A en vinden we met behulp van Det(A+ω^2I)=0:

[eendavid]

Schrijf r eens als

\(r_0+\epsilon\)

, zoals je het nu doet lijkt het alsof de

\(\epsilon^2\)

-term niet uitmaakt. En dan gewoon geen rekenfouten maken .

[ned118]

ik zit vooral nog met een (dφ/dt)^2 in de bewegingsvergelijking m(d^2r/dt^2)=mr∙(dφ/dt)^2

[ned118]

los ik het wel met de goede formule op naar de normal frequencies?

[eendavid]

Zoals gezegd, bekijk je Lagrangevergelijkingen nog eens, en verwerp hogere orde termen...

[ned118]

wat wordt precies bedoeld met verwerpen hogere orde termen?

[eendavid]

Dat je enkel termen tot de gewenste orde bewaart, en hogere orden verwaarloost.

[Phys]

Een heel simpel voorbeeld:

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...\)

Als je e^x tot op 2e orde wilt benaderen, gebruik je de benadering

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}\)