Gravitationele potentiele energie - inertieel referentiestelsel

[cvoh]

De verandering van gravitationele potentiele energie van een massa m in het graviatieveld van een andere massa M bij verplaatsing van punt A naar B wordt gegeven door een formule waarin enkel de afstand tussen beide massa's een rol speelt , zijnde R(A) en R(B). Hoe kan dit ? Potentiele energie wordt toch berekend op basis van de geleverde arbeid door een conservatieve kracht, waarbij als referentiestelsel steeds een inertieel stelsel moet worden gekozen. Echter, bij het afleiden van de formule worden steeds de afstanden tot de massa M genomen, terwijl die zelf ook kan bewegen onder invloed van de kracht vanwege m. En dan berekenen we eigenlijk de potentiele energie in een niet-inertieel referentiestel. Wie kan mij hier een gedegen uitleg over geven, want hoe ik er ook over nadenk, ik vind geen verklaring.

[cvoh]

Dit vind ik dus letterlijk in wikipedia:

The gravitational potential energy of a system of masses m1 and m2 at a distance R is

U = -g*m1*m2/r

Although this would not be an inertial frame of reference, for the computation of the potential energy we can keep the position of one mass fixed and find the equation by integrating the gravitational force (whose magnitude is given by Newton's law of gravitation) with respect to the distance of the object r from the gravitating body from r = R to r = infinite.

Sorry, maar:

- het berekenen van potentiele energie in een niet-inertieel stelsel

- het berekenen van kinetische energie in een intertieel stelsel (verplicht wegens F = m*a)

- de potentiele energie in het ene stelsel combineren met de kinetische energie in het andere stelsel om dan te komen tot de wet van behoud van energie (indien geen andere krachten aanwezig)

is allesbehalve wiskundig gefundeerd, want je kunt met evenveel overtuiging zeggen dat 0 = 1.

Ik ben echt ten einde raad en ben ervan overtuigd dat ik iets mis. Graag een afdoend antwoord van een echte fysicus.

[Jan van de Velde]

Er is niks aan de hand.

Bewegingsenergie is niet absoluut, simpelweg omdat snelheid niet absoluut is. Jij en ik staan stil t.o.v. elkaar. Je kijkt naar een kogel die met 300 m/s op mij afvliegt; deze heeft t.o.v. mij een enorme bewegingsenergie, en zal mij ernstig verwonden. Maar als ik met 299,5 m/s in dezelfde richting wegren en diezelfde kogel haalt mij in, rolt ze geheel onschuldig van mijn t-shirtje. In jouw referentieframe heeft ze echter dezelfde snelheid en dus dezelfde energie. Ren ik met 300 m/s op een t.o.v. jou stilhangende kogel af, dan wordt ik óók ernstig verwond, ondanks dat vanuit jouw oogpunt die kogel totaal geen (bewegings)energie had.

Zo ook hier. Of de ene massa op de andere afvliegt, of de andere op de een, of beide op elkaar af, of beiden dezelfde kant op waarbij de een wat harder gaat dan de ander, de klap zal in alle gevallen even hard zijn.

En ja, als er een steen naar de aarde valt, valt de aarde ook een beetje naar de steen.

[ghrasp]

Dat komt - denk ik - omdat je bij kinetische energie niet met een veld werkt en bij gravitatie potentiele energie wel.

Stel dat er een meteoriet naar de maan valt.

Vanaf de aarde zie je hoe de afstand tussen Maan en meteoriet vermindert met een bepaalde snelheid, steeds toenemend.

dx en dt. iemand op de maan neemt die dx niet anders waar.

Net zo min als Jan de kogel op zijn hemd anders ziet aankomen dan iemand voor wie de kogel wel een hoge kinetische energie heeft (die ziet net zo de kogel tegen Jan zijn hemd komen en dan op de grond vallen, de ander kan hier zien dat de kogel weinig kinetische energie heeft tov Jan ook als die wel veel kinetische energie zou hebben tov zichzelf).

Maar als je de gravitatieenergie bepaald op basis van een veld is de waarneming niet hetzelfde.

Degene op de maan die met zo,n veld werkt (gekoppeld aan de maan) ziet wel de beweging in dat veld van de meteoriet maar niet de beweging van de maan en dus van het veld.

Iemand op aarde ziet wel ook de maan bewegen en dus ook het veld wat er aan is toegeschreven.

Degene die vanaf de aarde de beweging van de metoriet in het veld van de maan bepaalt zal geneigd zijn de beweging van de maan naar de satelliet bij de beweging in het veld op te tellen omdat referentiestelsel waarnemer vanaf de aarde is en het veld (als ook een soort referentiestelsel) gekoppeld is aan de maan.

Iemand op de maan neemt die beweging van het veld van de maan niet op die manier waar (beweegt zelf mee) en heeft dus een andere waarneming.

Punt is natuurlijk dat de meteoriet in dit geval net zo goed een veld heeft (of het veld verandert) en het veld wordt dan sterker als de afstand kleiner wordt ???

[cvoh]

Beste Jan,

Volgens jou is er niets aan de hand. Beste man, laat me jou dan eens het volgende uitleggen:

De kinetische energie van een voorwerp dient per definitie bepaald te worden in een inertiaal stelsel. OK, de kinetische energie kan verschillen wanneer je van het ene inertiaal stelsel naar het andere overgaat, maar het verschil in kinetische energie blijft steeds hetzelfde, ongeacht in welk inertiaal stelsel je dit bepaalt. Hetzelfde voor de potentiele energie. Maar wanneer je de wet van behoud van energie gaat toepassen, wordt je geacht om voor het bepalen van potentiele en kinetische energie hetzelfde inertiaalstelsel te nemen, want anders is de wet niet van toepassing. Gezien kinetische energie per definitie altijd in een inertiaal stelsel moet worden bepaald, dient potentiele energie dus ook altijd in een inertiaal stelsel te worden bepaald. Indien ij nu de formule voor gravitationele potentiele energie gaat gebruiken in een inertiaal stelsel, terwijl die formule tot stand komt in een niet-inertiaal stelsel, is er iets grondig mis.

Ik zie dat je er werkelijk niets van hebt begrepen. Ik kwam naar dit forum om een consistente uitleg te krijgen om een persoonlijk gewetensprobleem op te lossen, namelijk het feit dat mijn jarenlange liefde voor de kracht van de fysica ernstig ondermijnd wordt. Ik heb dus geen prietpraat nodig, maar wel een gefundeerde uitleg. Indien ik dit soort antwoorden blijf krijgen, ben ik hier weg.

[Jan van de Velde]

Indien ik dit soort antwoorden blijf krijgen, ben ik hier weg.

doei.

[Phys]

Ik vind je toon erg vervelend. Indien je niet tevreden bent met een antwoord is dat jouw probleem, en je moet ook vooral weggaan als je dat wenst. Ik ga er vanuit dat iedereen met de beste bedoelingen zo constructief mogelijk reageert. Dat gezegd hebbende, laat mij toch een poging wagen, want je vraag gaat dieper dan op het eerste gezicht misschien lijkt.

De standaardmethode waar jij volgens mij op doelt in je openingszin van je openingspost, is de volgende:

We willen de arbeid bepalen, benodigd om een testmassa m langs een of ander pad te bewegen in het gravitatieveld van een massa M. We plaatsen M in de oorsprong van ons assenstelsel. Dan wordt de kracht van M op m gegeven door de gravitatiewet van Newton:

\(\mathbf{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\mathbf{e}_r\)

. Om deze kracht te overwinnen, moeten we een kracht

\(-\mathbf{F}\)

uitoefenen op m. De verrichte infinitesimale arbeid dW als m een verplaatsing

\(d\mathbf{s}\)

ondergaat is dan per definitie

\(dW=-\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{GMm}{r^2}\mathbf{e}_r\cdot d\mathbf{s}\)

. We ontbinden

\(\mathbf{e}_r\cdot d\mathbf{s}\)

in een component

\(\mathbf{e}_rdr\)

parallel aan

\(\mathbf{e}_r\)

(radiale component), en een verder niet-relevante component loodrecht erop. Dus dan

\(\mathbf{e}_r\cdot d\mathbf{s}=dr\)

, en de totale arbeid van

\(\mathbf{r}_1\)

naar

\(\mathbf{r}_2\)

is

\(W=\int dW=GMm\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2}=-GMm\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)\)

De (gravitationele) potentiële energie van een testmassa m in het gravitatieveld van een andere massa M wordt nu gedefinieerd als de arbeid nodig om m van

\(\mathbf{r}_1\)

naar

\(\mathbf{r}_2\)

te bewegen, en we kiezen

\(\mathbf{r}_1=\infty\)

(conventie). Dit levert ons

\(V(\ r)=GMm\int_\infty^r\frac{dr}{r^2}=-\frac{GMm}{r}\)

.

Goed, dit is allemaal bekend. Nu naar de kern van je probleem: de massa M zal door het gravitatieveld van m toch ook een versnelling ondergaan, en dus is ons gekozen assenstelsel (met M in de oorsprong, dus in rust) geen inertiaalstelsel. Klopt helemaal. Maar, in bovenstaande afleiding is éen woord belangrijk: testmassa. Dat wil zeggen dat m per aanname een verwaarloosbaar gravitatieveld heeft, dus M is per aanname in rust.

Een verwante grootheid is de gravitationele potentiaal. Deze wordt gedefinieerd als

\(\Phi:=\lim_{m\to 0}\frac{V}{m}\)

. De limiet m->0 wordt hier genomen om dezelfde reden: de testmassa heeft verwaarloosbare invloed op de massa's eromheen.

\(\Phi\)

is de gravitationele potentiële energie per eenheidsmassa die een hele kleine testmassa zou hebben in aanwezigheid van andere massa's.

Evenzo wordt de gravitatieveldsterkte (gravitational field intensity) gedefinieerd als

\(\mathbf{g}:=\lim_{m\to 0}\frac{\mathbf{F}}{m}\)

. Dit is de gravitatiekracht per eenheidsmassa op een kleine testmassa m.

Er geldt nu

\(\mathbf{g}=-\mathbf{\nabla}\Phi\)

en

\(\mathbf{F}=-\mathbf{\nabla}\V\)

.

Dit is geheel analoog aan de definitie van een elektrisch veld. We vertrekken van Coulombkracht

\(\mathbf{F}_c\)

, en definiëren het E-veld als

\(\mathbf{E}=\lim_{q\to 0}\frac{\mathbf{F}_c}{q}\)

, de limiet nemend om de invloed van de testlading q te verwaarlozen.

Uit het feit dat de potentiaal alleen van de posities afhangt, blijkt dat een verandering van plaats van een deeltje instantaan de andere deeltjes [als we i.h.a. een systeem van deeltjes bekijken] beïnvloedt. Dit hangt nauw samen met de aannamen van de klassieke mechanica: absolute tijd en het relativiteitsprincipe. Als de interactie niet instantaan maar met eindige snelheid was, zou die snelheid in verschillende inertiaalstelsels verschillend zijn (omdat absolute tijd impliceert dat de snelheden Galileïsch kunnen worden opgeteld). Maar dan zouden de bewegingsvergelijkingen van interagerende deeltjes verschillend zijn in verschillende inertiaalstelsels, in tegenspraak met het relativiteitsprincipe.

Hier valt nog meer over te zeggen, en ik vrees dat ik nog geen bevredigend antwoord heb gegeven op je vraag, maar misschien kun je hier alvast iets mee [ik ga nu slapen].

[cvoh]

Beste Phys,

Mijn oprechte dank voor jouw antwoord. Het begrip testmassa is hier de sleutel. Nog nooit heb ik in een fysica-boek zien staan dat bij de berekening van gravitationele potentiele energie het om een testmassa gaat; dat mag men er dan wel bij zeggen, want in het algemene geval klopt die formule dus niet, alhoewel men steeds doet uitschijnen dat dat wel zo is. Bij de wet van Coulomb praat men dan wel weer altijd over een testmassa.

Ik deed eventjes het volgende gedachtenexperiment: ik kies een inertiaal stelsel, met een massa m in de oorsprong op t=0 en beginsnelheid 0. Ik kies een identieke massa op afstand r0, ook met beginsnelheid 0 op t=0. Ik beschouw dit systeem van 2 massa's als een geisoleerd systeem, waarbij beide massa's enkel onderhevig zijn een mekaars gravitatie. Indien ik dan de arbeid ga berekenen die wordt geleverd door een kracht op een massa, kom ik precies de helft uit van de arbeid zoals die berekend wordt hierboven in jouw uitleg (en zoals die in alle boeken wordt berekend). Indien ik dan de potentiele energie bereken vind ik: U = -g*m*m/2*r, terwijl dat in de klassieke formule het dubbele is.

Je begrijpt dus mijn ongeloof: ik ben er tijdens mijn studietijd altijd van uit gegaan dat de klassieke formule algemeen geldend was, terwijl dat dus nu niet zo blijkt te zijn, en enkel maar geldig is wanneer de ene massa verwaarloosbaar klein is tov de andere.

Maar ja, voor een wiskundige moet iets wiskundig kloppen. Nogmaals mijn oprechte dank.

En met respect voor de andere antwoorden, maar ik denk echt niet dat zij nog maar doorhadden waar ik het over had. Huis-, tuin- en keukenfysica is nog iets anders dan met fysica bezig zijn op een wetenschappelijk gefundeerde manier.

[ghrasp]

Punt is natuurlijk dat de meteoriet in dit geval net zo goed een veld heeft (of het veld verandert) en het veld wordt dan sterker als de afstand kleiner wordt ???

Dacht anders dat ik hier min of meer hetzelfde aangaf - al had ik daar een wat lange aanloop voor nodig - omdat uit je eerste post duidelijk was dat je wel een gravitatieveld toekende aan M en niet aan m.

Vraag : hoe bepaal je het gravitatieveld bij een geisoleerd systeem van twee massa,s ?

Door er een - dan ook geisoleerde - derde massa (testmassa ?) in te brengen om te meten ?

Is het systeem van twee massas dan nog geisoleerd ?

Moet je dan de velden bij elkaar optellen zodat je een twee keer sterker veld krijgt van m1 tov m2 of m2 tov m1 afhankelijk van het referentiesetelsel ? En hoe zit het dan weer met een derde kleinere massa er tussen in ? Daarvoor geldt dan dat de twee gravitatievelden toch tegenovergesteld van richting zijn en geldt er dus geen resulterend gravitatieveld...