Transitieve logica

[theoriegeladen]

Wordt het al helder?

ja en nee. Ik blijf het een absurde afspraak vinden:

Als ik een steen los laat(A), dan valt hij(B).

Het doel van de implicatie is dat je in het geval van ¬B kan concluderen ¬A.

Als ik dan stel ¬A, dan moet ik concluderen: B. Waarom???

Als jij mij slaat, dan sla ik jou.

Heel apart, jij slaat mij niet en toch sla ik jou. Wat voor vervelends heb je gedaan dat ik concessies doe op mijn eigen waarschuwing en je toch sla?

Let op met de notatie. Hier lijkt te staan "Als ¬D dan D, als D dan C".

Terwijl de regel stelt "Als ¬D, dan volgt (elke willekeurige) C uit D".

Moet ik het dan zo noteren: ¬D-->(C-->D)? Waar het mij om gaat is dat ik niet weet wanneer ik het bewijs uit het ongerijmde mag toepassen(wat eigenlijk mijn beginvraag was).

Als je mijn hoofd afkapt (A), ben ik dood (B)."

Dit is een regel die geen uitzonderingen toelaat. Ik kan echter wél dood gaan (B) zonder dat je mijn hoofd afkapt (¬A). Als dat geobserveerd wordt, wordt de regel daardoor nog niet weerlegd.

Dan is de hele implicatie toch gewoon zinloos? En bijna net zo absurd als het bewijs uit het ongerijmde, want er is een voorwaarde die helemaal niets te zeggen heeft. Op de een of andere manier krijg ik een rotgevoel van die zinloze implicatie.

Dit snap ik niet... Waar tover je die atomen plots vandaan?

Uit wiki:

Een atoom of atomaire formule in de logica is een logische formule die niet is opgebouwd uit subformules en dus ook geen logische operatoren bevat. Meestal worden atomen in de propositielogica aangeduid met de kleine letters p, q en r. Een voorbeeld van een atoom in de propositielogica is:

p

Ik begon hierover omdat ik opzoek was naar een soort grondbeginsel waarmee ik kan bepalen wanneer ik een principe mag toepassen.

[ypsilon]

@Theoriegeladen, excuses voor de wijzigingen terwijl je aan het lezen bent. Zoals ik al zei ben ik niet echt onderlegd in de logica, dus ik moet altijd wat graven in de uithoeken van mijn kop voor ik eruit ben. Het zou moeten kloppen nu. Ik moet geen 2-3 maar een keer of 5 op "voorbeeld bericht" klikken de volgende keer.

ja en nee. Ik blijf het een absurde afspraak vinden:

Als ik een steen los laat(A), dan valt hij(B).

Het doel van de implicatie is dat je in het geval van ¬B kan concluderen ¬A.

En dat kun je ook.

Als ik dan stel ¬A, dan moet ik concluderen: B. Waarom???

Edit: Het wordt te laat, ik zat hier iets te corrigeren dat gewoon klopte. ¬A zegt niets over B voor A⇒B.

Als jij mij slaat, dan sla ik jou.

Heel apart, jij slaat mij niet en toch sla ik jou. Wat voor vervelends heb je gedaan dat ik concessies doe op mijn eigen waarschuwing en je toch sla?

Geen idee. Je in een staat van verwarring gebracht?

Nee, serieus: logica maakt je niks wijzer wat betreft de reden hier. Logica handelt alleen over een juiste manier van conclusies trekken uit premissen. Voor A⇒B zijn er vier mogelijke redeneringen, waarvan twee correct:

A⇒B

A.....

B

A⇒B

¬B...

¬A

A⇒B

B.....

A

A⇒B

¬A...

¬B

Weet je wat de juiste en wat de foute redeneringen zijn?

Moet ik het dan zo noteren: ¬D-->(C-->D)?

Nee: ¬D⇒(D⇒C)

Waar het mij om gaat is dat ik niet weet wanneer ik het bewijs uit het ongerijmde mag toepassen(wat eigenlijk mijn beginvraag was).

Altijd eigenlijk, maar het is gewoon weinig zinvol. Het bewijs uit het ongerijmde stelt gewoon: als niet-D, dan kun je uit D elke willekeurige C afleiden. Terug naar het voorbeeld waarin ik niet kan vliegen (dat is zo). Als jij nu voor waar aanneemt dat ik wél kan vliegen, kan je verder afleiden wat je maar wil.

"Als je mijn hoofd afkapt (A), ben ik dood (B)." Dit is een regel die geen uitzonderingen toelaat. Ik kan echter wél dood gaan (B) zonder dat je mijn hoofd afkapt (¬A). Als dat geobserveerd wordt, wordt de regel daardoor nog niet weerlegd.

Dan is de hele implicatie toch gewoon zinloos? En bijna net zo absurd als het bewijs uit het ongerijmde, want er is een voorwaarde die helemaal niets te zeggen heeft. Op de een of andere manier krijg ik een rotgevoel van die zinloze implicatie.

Tja, ik begrijp dat ergens wel, logica heeft de vervelende eigenschap niet altijd bij ons eigen "logisch denken" aan te sluiten. Maar ik koos dit voorbeeld precies omdat er weinig tegen in te brengen valt: Ik ga dood als je mijn hoofd afkapt. Als ik nu doodga omdat ik mijn longen kapotgerookt heb, dan doet dat toch niets af aan de regel dat ik zou gestorven zijn als je mijn kop eraf kapte?

Ik begon hierover omdat ik opzoek was naar een soort grondbeginsel waarmee ik kan bepalen wanneer ik een principe mag toepassen.

De grondbeginselen van de logica, da's een behoorlijk breed onderwerp (zoals de grondbeginselen van de wiskunde). Als je hierboven de correcte redeneringen kan identificeren, heb je daarmee i.i.g. twee grondregels voor conditionele relaties ("Als... dan...") in handen.

[theoriegeladen]

Het begint een beetje veel te worden...

A⇒B is alleen bruikbaar indien ⇒B of ¬B is gegeven, want dan kan je A al dan niet afleiden.

In het geval van ¬A is er een probleem omdat de implicatie geldig blijft ⇒B.

Indien A dan is:⇒B niet noodzakelijk, wat vreemd is, omdat na ¬A wel gewoon ⇒B.

Als A wordt gegeven en er toch B wordt geimpliceerd is er denk ik eigenlijk spraken van een bewijs uit het ongerijmde.

[ypsilon]

Je maakt het jezelf te moeilijk denk ik. Voor de redeneringen die ik gaf zijn de eerste twee juist, de laatste twee niet. De eerste redenering is de

A⇒B is alleen bruikbaar indien ⇒B of ¬B is gegeven, want dan kan je A al dan niet afleiden.

Neen. Met B kun je niets over A afleiden. Met ¬B kun je ¬A afleiden.

In het geval van ¬A is er een probleem omdat de implicatie geldig blijft ⇒B.

... geldig kan blijven. Zoals jij het schrijft lijkt het alsof ¬A noodwendig B impliceert voor A⇒B. Dat klopt uiteraard niet, dat voel je duidelijk zelf aan.

Indien A dan is:⇒B niet noodzakelijk, wat vreemd is, omdat na ¬A wel gewoon ⇒B.

Nee: als A⇒B je eerste premisse is, volgt B met noodzaak uit A. Je gaat de mist in door je vorige fout.</dd>

[mathfreak]

Waar het mij om gaat is dat ik niet weet wanneer ik het bewijs uit het ongerijmde mag toepassen(wat eigenlijk mijn beginvraag was).

Uit je beginvraag (is uit A⇒B een uitspraak C af te leiden zonder deze eerst te poneren) valt dat anders niet op te maken. In feite mag je het bewijs uit het ongerijmde altijd toepassen, maar de vraag is of dat altijd even zinvol is.

Het begint een beetje veel te worden...

A⇒B is alleen bruikbaar indien ⇒B of ¬B is gegeven, want dan kan je A al dan niet afleiden.

Het gaat er bij A⇒B ook niet om dat je A uit B afleidt. Het gaat er om dat B uit A⇒B en A kan worden afgeleid. Dit is de afleidingsregel modus ponens, die aan het principe van het directe bewijs ten grondslag ligt.

In het geval van ¬A is er een probleem omdat de implicatie geldig blijft ⇒B.

Als je je realiseert dat A⇒B gelijkwaardig is met ¬A⋁B, dan volgt uit (A⇒B)⋀A dat geldt: ¬A⋀A⋁B. Omdat ¬A⋀A een tegenspraak oplevert en dus niet mogelijk is volgt dus B.

Indien A dan is:⇒B niet noodzakelijk, wat vreemd is, omdat na ¬A wel gewoon ⇒B.

In A⇒B is A een voldoende voorwaarde voor B, terwijl B een noodzakelijke voorwaarde is voor A. Het waar zijn van B volgt dus uit het waar zijn van A.

Als A wordt gegeven en er toch B wordt geimpliceerd is er denk ik eigenlijk sprake van een bewijs uit het ongerijmde.

Nee, dat is niet zo. Stel dat je een uitspraak A wilt bewijzen uit het ongerijmde, dan doe je dat als volgt: ga uit van ¬A en een uitspraak B zodat ¬A⇒B. Vanwege het optreden van de tegenspraak ¬B geldt nu dat uit ¬A⇒B en ¬B volgens de afleidingsregel modus tollens ¬¬A ofwel A volgt, waarmee het bewijs geleverd is.

[theoriegeladen]

Uit je beginvraag (is uit A⇒B een uitspraak C af te leiden zonder deze eerst te poneren) valt dat anders niet op te maken. In feite mag je het bewijs uit het ongerijmde altijd toepassen, maar de vraag is of dat altijd even zinvol is.

Ik heb niet altijd de bedoeling door...

Als je je realiseert dat A⇒B gelijkwaardig is met ¬A⋁B,

Wat is hiervan de bedoeling?

dan volgt uit (A⇒B)⋀A dat geldt: ¬A⋀A⋁B. Omdat ¬A⋀A een tegenspraak oplevert en dus niet mogelijk is volgt dus B.

Bedoel je dat ik het zo kan opschrijven: (A⇒B↔¬A⋁B)⇒(A⇒B)⋀A⇒¬A⋀A⇒B

Stel A⇒B = D, dan geldt volgens het principe ex falso sequitur quodibelet dat ¬D⇒(D⇒C).

Waarom gebruik je eigenlijk ¬D⇒(D⇒C). Je zegt dan ¬D en D. Is dat niet verwarrend?

Let op met de notatie. Hier lijkt te staan "Als ¬D dan D, als D dan C".

Terwijl de regel stelt "Als ¬D, dan volgt (elke willekeurige) C uit D".

Is dat niet hetzelfde?

[ypsilon]

Als je je realiseert dat A⇒B gelijkwaardig is met ¬A⋁B,

Wat is hiervan de bedoeling?

Het is een definitie: "Uit A volgt B" is hetzelfde als "niet-A OF (exclusieve disjunctie) B". Met die definitie kun je dan afleiden zoals mathreak deed:

Uit (A⇒B)⋀A volgt: ¬A⋀A⋁B. Omdat ¬A⋀A een tegenspraak oplevert en dus niet mogelijk is volgt dus B.

Uit de premissen "uit A volgt B" én "A" volgt "niet-A en A OF B" (met OF opnieuw exclusieve disjunctie).

Bedoel je dat ik het zo kan opschrijven: (A⇒B↔¬A⋁B)⇒(A⇒B)⋀A⇒¬A⋀A⇒B

Da's moeilijk te ontcijferen, wat wil je hier precies uitdrukken?

Waarom gebruik je eigenlijk ¬D⇒(D⇒C). Je zegt dan ¬D en D. Is dat niet verwarrend?

Of het verwarrend is zal afhangen van persoon tot persoon. Het is wel de meest eenvoudige uitdrukking voor het EFQL.

Let op met de notatie. Hier lijkt te staan "Als ¬D dan D, als D dan C".

Terwijl de regel stelt "Als ¬D, dan volgt (elke willekeurige) C uit D".

Is dat niet hetzelfde?

Neen. Nemen we het voorbeeld uit het document dat ik eerder aandroeg (een beetje onzinnig, maar het is gewoon kwestie dat je het in woorden ziet, dat maakt dikwijls al veel duidelijk):

P = D = Grannie strangled the cobra

Q = C = John Redwood is a lizard.

Dan zou ¬P⇒P⇒Q dit betekenen:

"Oma wurgde de cobra niet, dus oma wurgde de cobra, dus John Redwood is een hagedis." Dat kan niet. Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, kan niet volgen dat oma de cobra wél wurgde.

En dan betekent ¬P⇒(P⇒Q) dit:

"Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, volgt dat als oma de cobra wurgde, John Redwood een hagedis is." Hier moet dus als premisse nemen ¬P⋀P om Q te kunnen concluderen, terwijl je in het eerste voorbeeld P concludeerd uit ¬P. Je hebt een ongerijmdheid nodig om wat je maar wilt te kunnen concluderen. Als je van bij het begin eender wat zou kunnen concluderen zou die regel er niet zijn.

[theoriegeladen]

Het is een definitie: "Uit A volgt B" is hetzelfde als "niet-A OF (exclusieve disjunctie) B". Met die definitie kun je dan afleiden zoals mathreak deed:

Ik begrijp de formule wel, maar waarom is het belangrijk de equivalentie hier te weten?(ik vind het wel leuk en zeker leerzaam, want veel ervaring met formules heb ik niet. Ik wist ook niet dat deze twee vorgen gelijkwaardig zijn, maar ik vraag me af waarom juist nu het belangrijk is om dit zo te poneren?)

theoriegeladen schreef (op 19 April 2009, 23:52): *

Bedoel je dat ik het zo kan opschrijven: (A⇒B↔¬A⋁B)⇒(A⇒B)⋀A⇒¬A⋀A⇒B

Da's moeilijk te ontcijferen, wat wil je hier precies uitdrukken?

Dit:

Als je je realiseert dat A⇒B gelijkwaardig is met ¬A⋁B, dan volgt uit (A⇒B)⋀A dat geldt: ¬A⋀A⋁B. Omdat ¬A⋀A een tegenspraak oplevert en dus niet mogelijk is volgt dus B.

Dan zou ¬P⇒P⇒Q dit betekenen:

"Oma wurgde de cobra niet, dus oma wurgde de cobra, dus John Redwood is een hagedis." Dat kan niet. Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, kan niet volgen dat oma de cobra wél wurgde.

En dan betekent ¬P⇒(P⇒Q) dit:

"Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, volgt dat als oma de cobra wurgde, John Redwood een hagedis is." Hier moet dus als premisse nemen ¬P⋀P om Q te kunnen concluderen, terwijl je in het eerste voorbeeld P concludeerd uit ¬P. Je hebt een ongerijmdheid nodig om wat je maar wilt te kunnen concluderen. Als je van bij het begin eender wat zou kunnen concluderen zou die regel er niet zijn.

Staat hier niet ongeveer hetzelfde? Alleen gebruik je eerst "dus" en daarna "volgt".

Al met al heb ik die implicatie en het toepassen van het bewijs van het ongerijmde redelijk door. Mijn dank hiervoor. Persoonlijk ga ik graag verder met dit soort vraagstukken. Wat is hiervoor de beste manier?

[ypsilon]

Ik begrijp de formule wel, maar waarom is het belangrijk de equivalentie hier te weten?(ik vind het wel leuk en zeker leerzaam, want veel ervaring met formules heb ik niet. Ik wist ook niet dat deze twee vorgen gelijkwaardig zijn, maar ik vraag me af waarom juist nu het belangrijk is om dit zo te poneren?)

Omdat het een hele hoop bewijzen en afleidingen toelaat.

Da's moeilijk te ontcijferen, wat wil je hier precies uitdrukken?

Dit:

Als je je realiseert dat A⇒B gelijkwaardig is met ¬A⋁B, dan volgt uit (A⇒B)⋀A dat geldt: ¬A⋀A⋁B. Omdat ¬A⋀A een tegenspraak oplevert en dus niet mogelijk is volgt dus B.

Ah! Hm, je kan dat wel op één lijntje zetten, maar dat zou ik niet doen, puur omwille van het overzicht (je schrijft wiskundige bewijzen ook niet op één lijn uit). Ik zou het zo doen:

Gegeven:

[1] (A⇒B) (¬A⋁B)

[2] (A⇒B)⋀A

Afleiden:

[3] (¬A⋁B)⋀A [uit 1 en 2]

[4] B [uit contradictie van ¬A en A]

Er is vast een betere manier, maar het is i.i.g. overzichtelijker.

Staat hier niet ongeveer hetzelfde? Alleen gebruik je eerst "dus" en daarna "volgt".

Let op de "als" in het de tweede zin:

Dan zou ¬P⇒P⇒Q dit betekenen:

"Oma wurgde de cobra niet, dus oma wurgde de cobra, dus John Redwood is een hagedis." Dat kan niet. Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, kan niet volgen dat oma de cobra wél wurgde.

En dan betekent ¬P⇒(P⇒Q) dit:

"Uit het feit dat oma de cobra niet wurgde, volgt dat als oma de cobra wurgde, John Redwood een hagedis is." Hier moet dus als premisse nemen ¬P⋀P om Q te kunnen concluderen, terwijl je in het eerste voorbeeld P concludeerd uit ¬P. Je hebt een ongerijmdheid nodig om wat je maar wilt te kunnen concluderen. Als je van bij het begin eender wat zou kunnen concluderen zou die regel er niet zijn.

[theoriegeladen]

Is een implicatie eigenlijk hetzelfde als een suggestie?

[ypsilon]

Ik zou zeggen: "Neen.", maar ik weet niet echt wat je met je vraag bedoelt natuurlijk.

[theoriegeladen]

Dat een suggestie is terug te brengen tot een de logische vorm van een implicatie.

[ypsilon]

Nee. Een suggestie is iets wat men oppert, iets waarop gealludeerd wordt, iets dat lijkt te volgen maar niet met noodzakelijkheid. Als een logische operatie iets impliceert, dan is dat noodzakelijk zo.

[ypsilon]

@Theoriegeladen: Misschien heb je wel iets aan de cursus logica die Jan van de Velde zonet aandroeg.