[wiskunde] affiene meetkunde: vergelijking van een strofoïde

[In physics I trust]

Een strofoïde wordt beschreven door de vergelijking (X²+Y²)(2a-X)-a²X=0.

Opgave

Wat is nu de nodige en voldoende voorwaarde voor punten om tot de kromme te behoren, uitgedrukt in homogene coördinaten?

=> Ik dacht dat de vergelijking de voorwaarde is voor punten om tot de beschreven kromme te behoren?



Welk oneigenlijk punt voldoet aan de kromme?

=> Ik maak eerst homogeen: (x²+y²)(2a-xz)-a²xz=0.

Dan stel ik z=0.

Dus: 2ax²+2ay²=0

Dus: x²+y²=0

Mijn antwoord is dus fout, want ik kom uit dat x =y = 0 moet zijn, wat niet kan, omdat (0,0,0) geen projectief coördinaat is. Wat doe ik verkeerd?



Waar ligt dit oneigenlijk punt op de kromme?

=> Is dit het dubbelpunt? Waarom?



Kan iemand me aub enkele aanwijzingen geven?

Dank bij voorbaat!

[yoralin]

Hier gaat 't fout :

> Ik maak eerst homogeen: (x²+y²)(2a-xz)-a²xz=0.

[TD]

Opmerking terzijde: gebruik in het vervolg [wiskunde] als vakgebied-tag aub.

[In physics I trust]

Hier gaat 't fout :

> Ik maak eerst homogeen: (x²+y²)(2a-xz)-a²xz=0.

Yoralin, bedankt voor je reactie, maar ik zie niet in waarom het daar fout loopt. De opgave dient opgelost te worden in A_2,c. Waarom mag ik dan niet homogeen maken?

En eens homogeen gemaakt, vind ik geen oneigenlijk punt...

[yoralin]

2a - X wordt 2az - x, niet 2a - xz.

[In physics I trust]

(X²+Y²)(2a-X)-a²X=0

Ik doe het volgende: op noemer z³ zetten, vervolgens deze noemer schrappen (want =0) en dan de 0 invullen (want we zoeken punten op oneindig)

\(((x/z)^2+(y/z)^2)(2a-(x/z))-a^2(x/z)=0\Leftrightarrow(2azx^2+2azy^2)-(x^3+xy^2)-a^2xz^2=0\Leftrightarrow(x^3+xy^2)=0x(x^2+y^2)=0\)

En dus volhard ik blijkbaar in de boosheid, want ik kom opnieuw hetzelfde uit ;-(

[TD]

Hier voldoet toch niet alleen (0,0) aan? Elke (0,y) voldoet, of homogeen: (0,y,0).

[In physics I trust]

Dus de oneigenlijke punten zijn de punten op oneindig van de y-as, dus op oneidig zal de rode kromme de y-as terug naderen, Klopt dit? <div align='center'>

[TD]

Het is alweer een tijd geleden dat ik nog met homogene coördinaten gewerkt heb, maar dat oneigenlijke punt geeft een richting. Het is dus niet zo dat de strofoïde naar de y-as gaat naderen, maar wel de richting van de y-as krijgt: je hebt met andere woorden een asymptoot evenwijdig met de y-as, en dat klopt volgens mij.

[In physics I trust]

...krijgt de richting van de y-as zegt u, maw. dezelfde richting, dus hetzelfde punt op oneindig.

Net zoals een parabool als punt op oneindig zijn as heeft (en kan beschouwd worden als een eindeloos uitgerekte ellips.

Bedankt!

[TD]

Inderdaad dezelfde richting, maar dat wil dus niet zeggen dat de strofoïde "de y-as terug (zal) naderen", dat wilde ik opmerken.

[In physics I trust]

Is dat zo?

Ik dacht dat twee evenwijdige rechten elkaar snijden op oneindig.

Als de y-as en de strofoïde oponeindig dezelfde richting krijgen, zijn in feite evenwijdig op oneindig. En evenwijdig op oneindig betekent snijden op oneindig.

Dus als je de strofoïde zou tekenen, en je zou omhoog scrollen, zou je merken dat de grafiek ervan dezelfde richting krijgt als de y-as. Je zou echter nooit een punt bereiken waar ze de y-as snijdt. Het snijpunt op oneindig is enkel puur theoretisch, omdat we werken in het gecompleteerde affiene vlak, waarbij punten op oneindig, ook wel oneigenlijke punten genoemd, zijn toegevoegd. De snijpunten op oneindig zijn dan ook puur theoretisch.

http://books.google.be/books?id=fh1aJBMHFC...lijk+evenwijdig

Klopt dit, of heb ik het verkeerd voor?

Alvast bedankt!

[TD]

Ik dacht dat twee evenwijdige rechten elkaar snijden op oneindig.

Als de y-as en de strofoïde oponeindig dezelfde richting krijgen, zijn in feite evenwijdig op oneindig. En evenwijdig op oneindig betekent snijden op oneindig.

Ja, maar:

Dus als je de strofoïde zou tekenen, en je zou omhoog scrollen, zou je merken dat de grafiek ervan dezelfde richting krijgt als de y-as. Je zou echter nooit een punt bereiken waar ze de y-as snijdt. Het snijpunt op oneindig is enkel puur theoretisch, omdat we werken in het gecompleteerde affiene vlak, waarbij punten op oneindig, ook wel oneigenlijke punten genoemd, zijn toegevoegd. De snijpunten op oneindig zijn dan ook puur theoretisch.

Dit bedoelde ik dus, je leg het zelf al uit. We spreken hier inderdaad over snijden op oneindig, maar je moet dit zien zoals je het hier zelf ongeveer uitlegt.