Orde van lipschitz continuïteit

[yoralin]

De beste/kleinste bovengrens voor |x-y| is ...

Verborgen inhoud

|q-p|, wat ik hierboven al zei : de lengte van het interval.

2) |x-y|^b-a <= 2d

Verborgen inhoud

0.1 < 0.2, maar 0.1^0.1 > 0.2

[dirkwb]

De beste/kleinste bovengrens voor |x-y| is ...

Verborgen inhoud

|q-p|, wat ik hierboven al zei : de lengte van het interval.

Mijn afschatting met die max is toch correct?

Verborgen inhoud

0.1 < 0.2, maar 0.1^0.1 > 0.2

\( |x-y|^{b-a} < 1+ |x-y| \)

omdat

\(0<b-a<1\)

[yoralin]

Mijn afschatting met die max is toch correct?

Ja.

\( |x-y|^{b-a} < 1+ |x-y| \)

omdat

\(0<b-a<1\)

Ook juist. Ik wou alleen maar aanstippen dat |x-y|^b-a <= 2d van hierboven voor |x-y|<1 niet altijd waar is.

(Ja, 'k kan lastig zijn...)

[dirkwb]

Voor de tweede opgave moet ik een convergerende rij nemen en bewijzen dat de limiet in de verzameling zit, maar hoe doe ik dat?

Verborgen inhoud

1 868 keer bekeken

[PeterPan]

Bewijs a.) in 2 regels:

\((x,y)\mapsto |x-y|^{b-a}\)

is continu op het compacte deel

\([p,q]\times[p,q]\)

, dus

\(\le M\)

voor zekere

\(M\)

.

Dus

\(f\)

is Lipschitz van orde

\(a\)

met Lipschitz constante

\(MK\)

.

[PeterPan]

Voor de tweede opgave moet ik een convergerende rij nemen en bewijzen dat de limiet in de verzameling zit, maar hoe doe ik dat?

Welke topologie zit er op de Lipschitz functies?

[dirkwb]

Ik neem een rij b-orde Lipschitz functies

\(f_n(x)\)

met limiet f(x) dan geldt:

\( |f_n(x)-f_n(y)|< |x-y|^b \)

Is dit begin in orde?

[yoralin]

Voor de tweede opgave moet ik een convergerende rij nemen en bewijzen dat de limiet in de verzameling zit, maar hoe doe ik dat?

Hierop wou ik eerst reageren met "... of een tegenvoorbeeld geven", maar 'k twijfelde toen zelf nog of 't al dan niet waar was.

Welke topologie zit er op de Lipschitz functies?

Ik ga die van de puntsgewijze convergentie nemen.

Geef eens een voorbeeld van een functie op [0;1] die Lipschitz is van orde 1/2, maar niet van orde 1

(en probeer die dan als limiet van een rij orde-1-Lipschitz-functies te krijgen) ?

[PeterPan]

Dat de Lipschitz functies van orde a een vectorruimte vormen is niet zo moeilijk te bewijzen.

Als de Lipschitz functies van orde b een gesloten deelruimte daarvan zijn, dan moet er op de verzameling van Lipschitz functies van orde a een topologie of een metriek (= afstandsfunctie) zijn.

Over welke metriek hebben we het? De metriek afkomstig van de supremumnorm?

Ik ga die van de puntsgewijze convergentie nemen.

Er bestaat geen metriek waarbij convergentie = puntsgewijze convergentie.

(Behalve als het domein van de functies aftelbaar is en bij speciale (product)topologien).

[yoralin]

De supremumnorm werkt ook bij 't tegenvoorbeeld dat ik in gedachten heb.

Ik was eerst (op 't verkeerde spoor) een tegenvoorbeeld op heel

\(\rr\)

aan 't zoeken en daar zat ik met de supremumnorm in de knoei.

Er bestaat geen metriek waarbij convergentie = puntsgewijze convergentie.

Heb ik ook niet beweerd, niet elke topologie is afkomstig van een metriek.

Nogmaals :

Welke topologie zit er op de Lipschitz functies?

Ik neem de topologie waarbij de limiet de puntsgewijze is.

(Ik beken : ik had "Limiet" op Wikipedia(nl) bezocht om zeker te zijn, maar aangezien de supremumnorm ook werkt, was 't niet nodig.)

[PeterPan]

Dat klinkt niet erg serieus.

Kortom, we verzinnen zelf wel een metriek.

[yoralin]

Dat klinkt niet erg serieus.

Kortom, we verzinnen zelf wel een metriek.

Waarom is er een metriek nodig ? Een topologie is voldoende om 't over limieten/convergentie te hebben.

Ik zocht een tegenvoorbeeld op de bewering en dat werkt bij puntsgewijze en uniforme convergentie.

[PeterPan]

@yoralin:

Er zal zeer waarschijnlijk uitgegaan zijn van de supremumnorm. Vanzelfsprekend is dat allerminst.

Natuurlijker lijkt de (niet-Hausdorff-)topologie voortgebracht door de open bollen van de seminorm

\(||f|| = \sup \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^a}\)

.

Je hint voor het bewijs gaat dan niet op. Sowieso niet omdat je niet mag werken met limieten, maar met netten.

Het bewijs is eenvoudig, maar verloopt heel anders.

[yoralin]

@PeterPan :

1. Mijn hint "voor het bewijs" was eigenlijk een hint voor een tegenvoorbeeld.

Ik had, voor [0;1] en a= 1/2, b = 1, f_n(x) = x^1/2 voor x => n^-1/2 en = n^-1/2 voor x <= n^-1/2 in gedachten.

Elke f_n(x) is orde-1-Lipschitz.

"De" (puntsgewijze of uniforme) limiet f(x) = x^1/2 is orde-1/2-Lipschitz, maar niet orde-1-Lipschitz.

2. Voor een bewijs met die norm ||.|| zou ik moeten aantonen dat "het complement" a-niet-b-Lipschitz-functies open is.

Neem een functie f die orde-a-, maar niet orde-b-Lipschitz is.

Te bewijzen : voor epsilon klein genoeg is elke orde-a-Lipschitz-functie g met ||f-g|| < epsilon

evenmin orde-b-Lipschitz.

Als ik nu g = f_n voor n groot genoeg neem, lijkt me dat nog steeds een tegenvoorbeeld.

Wat zie ik verkeerd ?

[dirkwb]

Dus ik moet zo beginnen:

Ik neem een rij b-orde Lipschitz functies

\(f_n(x)\)

met limiet f(x) dan geldt:

\( ||f_n(x)-f_n(y)||_{\infty}< ||x-y||_{\infty}^b \)