Massamiddelpunt berekenen

[caske]

Hallo iedereen!

Een klein vraagje over het berekenen van een Massamiddelpunt van volgend figuur:

Je neemt een homogene kegel met hoogte H en radius van het grondvlak R. De cillinder heeft dezelfde omwentelingsas als de kegel en een radius R/3. We verkrijgen dus een afgeknotte kegel met een concentrisch gat erdoor.

Bepaal het massamiddelpunt met RO de massadichtheid.

dus eigenlijk heb je een kegel met een cillinder eruit gesneden met straal R/3.

Zet het assenstelsel op Het centrum zodat je enkel nog hoogte moet beredeneren.

Kan iemand mij helpen?

dank bij voorbaat,

caske.

[yoralin]

Het volume vind je in cilindercoördinaten d.m.v.

\( V= \int_0^{2\pi}d\theta \int_{R/3}^{R}dr \int_0^{h(1-r/R)}dz\ r = 2\pi h \int_{R/3}^{R}dr (1-r/R) r = 2\pi h R^2 C\)

,

met

\(C = \int_{1/3}^{1}dr (1-r) r = \frac{10}{81}\)

.

( integrate x * (1-x) from 1/3 to 1 ingeven op http://www35.wolframalpha.com )

De hoogte van het zwaartepunt wordt gegeven door

\( \frac{1}{V}\int_0^{2\pi}d\theta \int_{R/3}^{R}dr \int_0^{h(1-r/R)}dz\ r z = \frac{1}{V}2\pi h^2 R^2 C_2\)

met

\(C_2 = \frac{1}{2}\int_{1/3}^1 dr (1-r)^2 r = \frac{2}{81}\)

( integrate x * (1-x)^2 from 1/3 to 1 ingeven op ... )

De hoogte van het zwaartepunt is dan h . C₂ / C = h / 5.

[caske]

De hoogte van het zwaartepunt is dan h . C₂ / C = h / 5.

hmm, wat betekenen die C1 en C2?

en wat is precies de hoogte H? Die laatste vergelijking is nogal onduidelijk

Toch super bedankt voor het vlugge antwoord!

Eveneens, weet er iemand de oplossing via gelijkvormige driehoeken?

groetjes

[yoralin]

hmm, wat betekenen die C1 en C2?

en wat is precies de hoogte H?

Die C en C₂ heb ik daarboven gedefinieerd; de h is de hoogte uit je tekening. Het zwaartepunt zou op hoogte h/5 moeten liggen.

Via gelijkvormige driehoeken : geen idee.

[jhnbk]

@yoralin: je maakt het moeilijk. Er geldt dat

\(\bar{x} = \frac{ \sum \tilde{x}_i V_i}{\sum V_i}\)

Je hoef dus enkel het zwaartepunt van de grote kegel (is gekend wegens driekhoekige omwenteling) te verminderen met de kleine kegel en cilinder die weggehaald worden.