Paradoxale verzamelingen

[Rogier]

Zoals bekend kun je onderscheid maken tussen een verzameling en een element van die verzameling (ook als de verzameling zelf maar uit één element bestaat).

Bijvoorbeeld: A = {37} en B = {A} (dus A is een verzameling die het getal 37 bevat, en B is een verzameling die als enige element de verzameling A bevat).

Dan geldt A B

Nu kun je ook verzamelingen maken die zichzelf bevatten, bijvoorbeeld: C = {C}

Stel nu dat we definiëren A = C, en dat nog steeds geldt B = {A}.

Geldt dan ook nog steeds A B ?

Nog vager, ik definieer twee verzameling die uitsluitend zichzelf bevatten:

P = {P} en Q = {Q}

Geldt nu P = Q ?

[PeterPan]

Axioma: Er bestaat geen verzameling

\(C\)

zó dat

\(C = \{C\}\)

.

[Rogier]

Is dat een "algemeen geldend" axioma, of is dat één of ander keuze-axioma?

En kan een verzameling wel zichzelf bevatten? (samen met nog andere elementen)

[PeterPan]

Een verzameling die een zuiver deel of een element is van zichzelf is een paradox (tegenstrijdigheid?).

Geloof je dat er een verzameling

\(C\)

bestaat met de eigenschap

\(C = \{C\}\)

, dan zul je je voor de problemen die door deze paradox worden gecreëerd moeten verantwoorden. Je belandt in een wespennest waaruit je je slechts met moeite staande weet te houden.

Met de bestaande axioma's is niet aan te tonen (tot nu toe) dat er geen

\(C\)

bestaat met de eigenschap

\(C = \{C\}\)

. Vermoedelijk is dat ook niet mogelijk. Aannemen als axioma is dan de beste keuze. Niet aannemen levert alleen problemen op en brengt ons niets.

Nederlands is Nederlands.

Vijflettergrepig is vijflettergrepig.

Woorden die zichzelf zijn (zoals in deze 2 voorbeelden) heten synectisch.

Frans is niet Frans.

Dit soort woorden heten antisynectisch.

Is antisynectisch antisynectisch?

Is antisynectisch synectisch?

[Bartjes]

Er bestaat wel een tak van de verzamelingenleer die zich hiermee bezig houdt. Zie hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory

Wellicht leuk om dat te weten. Ik heb mij daar echter niet genoeg in verdiept, om een oordeel over de zin of onzin daarvan te kunnen geven.

[Rogier]

Is antisynectisch antisynectisch?

Is antisynectisch synectisch?

Ik ken dat voorbeeld als autoloog / heteroloog ("zichzelf omschrijvend" vs "iets anders omschrijvend"). Toevallig ook Gödel, Escher, Bach gelezen?

[PeterPan]

Zeker.

De oorspronkelijke naamgeving had ik niet onthouden. Ik heb er maar zelf een naam aan gegeven

Synectisch = complex differentieerbaar.

[PeterPan]

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory

Geen hypersets maar Unmengen.

[Rogier]

Zeer boeiend boek was dat, ik zal 'em eens bij de aanraders posten.

On topic, dit was niet per se een paradox of zelfs tegenspraak: (doch mogelijk wel onbepaald)

Nog vager, ik definieer twee verzameling die uitsluitend zichzelf bevatten:

P = {P} en Q = {Q}

Geldt nu P = Q ?

Dus stel dat we niet (door het aannemen van een axioma) uitsluiten dat verzamelingen zichzelf mogen bevatten, zou er nu een zinnige reden zijn om te stellen dat P=Q of P Q ?

[Bartjes]

Geen hypersets maar Unmengen.

Begrijp ik je goed dat we zulke "oneigenlijke verzamelingen" als klassen moeten aanduiden?

[PeterPan]

On topic, dit was niet per se een paradox of zelfs tegenspraak: (doch mogelijk wel onbepaald)

Wel een paradox en een taalgrapje.

Dus stel dat we niet (door het aannemen van een axioma) uitsluiten dat verzamelingen zichzelf mogen bevatten, zou er nu een zinnige reden zijn om te stellen dat P=Q of P Q ?

P is b.v. de 'verzameling' van verzamelingen die meer dan 2 element bevatten.

Q is b.v. de 'verzameling' van verzamelingen die meer dan 1 element bevatten.

Begrijp ik je goed dat we zulke "oneigenlijke verzamelingen" als klassen moeten aanduiden?

Ja. (Het vaak internationaal gebruikte woord "Unmenge" vind ik mooier klinken).

[Phys]

[quote='PeterPan' post='534068' date='16 July 2009, 11:38']Axioma: Er bestaat geen verzameling

\(C\)

mogelijk zou zijn, dus het ligt voor de hand een axioma in te voeren dat zegt

\(A\notin A\)

. Maar dit is niet afdoende, want nu is het mogelijk dat er verschillende verzamelingen A en B zijn zodat

\(A\in B\land B\in A\)

. Dit is nog steeds tegenintuïtief (probeer maar eens een voorbeeld van zulke A en B te vinden ). Dit voorkomen is nog steeds niet afdoende, want het sluit het bestaan niet uit van verschillende A,B en C zodat

\(A\in B\land B\in C\land C\in A\)

, en ga zo maar door. Het axioma of regularity, door Zermelo genoemd Axiom der Fundierung, stelt daarom:

\(A\neq\emptyset\to (\exists x)\left[x\in A\land (\forall y)(y\in x\to y\notin A)\right]\)

Intuïtief: iedere niet-lege verzameling A bevat een element x die disjunct is met A. In het bijzonder bestaat er dus geen A zodat A={A}.

We kunnen nu datgene dat we als eerste wilden uitsluiten als stelling bewijzen:

Stelling:

\((\forall A)(A\notin A)\)

Bewijs: Triviaal als A leeg is, dus stel A niet-leeg en neem aan dat

\(A\in A\)

. Aangezien

\(A\in\{A\}\)

, geldt dan ook

\(A\in \{A\}\cap A\)

(*). Volgens het axioma is er een

\(x\in \{A\}\)

zodat

\(\{A\}\cap x=\emptyset\)

. Maar aangezien

\(\{A\}\)

een singleton is, moet

\(x=A\)

. Conclusie:

\(\{A\}\cap A=\emptyset\)

, in tegenspraak met (*).

[PeterPan]

Het regulariteitsaxioma:

\(A\neq\emptyset\to (\exists x)\left[x\in A\land (\forall y)(y\in x\to y\notin A)\right]\)

kun je ook zó lezen: Elke verzameling heeft een kleinste element ("in

\(\in\)

- zin").

Maar dat is niets anders dan zeggen dat de klasse van verzamelingen welgeordend is.

Dus (uniciteit, op isomorfie na (zie "cursus")) kunnen we de de klasse van verzamelingen als volgt construeren (transfinite definitie).

\(A_0 = \emptyset\)

\(A_{\alpha+1} = P(A_{\alpha})\)

, (

\(\alpha\)

een ordinaal, P staat voor de machtsverzameling).

\(A_{\alpha} = \cup_{\beta<\alpha}A_{\beta}\)

als

\(\alpha\)

een limietordinaal is.

Een constructieve manier om alle verzamelingen (qua grootte) te vinden.