Complex of niet

[317070]

Ik denk dus dat ofwel die "iemand" een incorrecte opmerking maakte, ofwel dat 317070's geheugen hem in de steek laat =D>

Yep, de groep van 2 komt er niet mee overeen. En in die rekenkunde geldt inderdaad geen distributiviteit. Ik heb het nog even opgezocht, en er werd inderdaad niet vermeld of het mogelijk is. (ik heb het hier gelezen) Peter (dezelfde?) geeft er een bewijs uit het distributiviteit-axioma.

[TD]

Het is maar wat je "bewijs" noemt, eigenlijk toon je dat als je die eigenschap wil houden, dat dan de enige zinvolle definitie (=conventie!) is dat...

[Bartjes]

Nog even over de "alternatieve vermenigvuldiging" a @ b met:

a @ b = a . b voor a :rho: 0 & b 0

a @ b = a . b voor a =D> 0 & b < 0

a @ b = a . b voor a < 0 & b 0

a @ b = - a . b voor a < 0 & b < 0

Stel dat we de gewone vermenigvuldiging kunnen uitdrukken door een formule waarin alleen de reële getallen, de gewone optelling en de alternatieve vermenigvuldiging gebruikt worden, dan corresponderen alle geldige stellingen voor (R, + , . ) met overeenkomstige geldige stellingen voor (R, + , @ ). Hoewel onhandig, zouden we dan "zonder verlies" met (R, + , @ ) in plaats van (R, + , . ) kunnen werken. De "axioma's" van (R, + , . ) kunnen dan immers in overeenkomstige voor (R, + , @ ) vertaald worden.

Zie ik dit goed?

Wie weet er een formule om de gewone vermenigvuldiging in "de taal" van (R, + , @ ) uit te drukken?

Ik ben zelf ook al aan het zoeken.

[PeterPan]

Zoals eerder gezegd hebben negatieve getallen geen @-inverse.

Heeft (R,+,@) een ringstructuur?

[Bartjes]

Zoals eerder gezegd hebben negatieve getallen geen @-inverse.

Heeft (R,+,@) een ringstructuur?

Inderdaad heeft (R, + , @ ) een ongebruikelijke structuur. Ik probeer dat niet mooier voor te stellen dan het is. Mijn bedoeling - ik weet nog niet of dat ook lukt - is om de gebruikelijke vermenigvuldiging op basis van +, @ en bijvoorbeeld een strategisch gebruik van 0, 1 en/of -1 ook binnen (R, + , @ ) in te voeren. Dat lijkt misschien wat onzinnig, maar op die wijze wordt het mogelijk (op een omslachtige manier) met (R, + , @ ) te doen wat we normaal met (R, + , . ) doen. Daarmee is dan in elk geval aangetoond er bij gebruik van (R, + , @ ) niets van de mooie stellingen van (R, + , . ) zoek raakt. Die stellingen kunnen we in dat geval immers ook met behulp van + en @ uitdrukken. Het gaat mij dus om een formule waarmee de gewone vermenigvuldiging met behulp van + en @ en eventueel nog wat als constanten optredende reële getallen kan worden uitgevoerd.

Ik hoop dat het zo wat duidelijker is.

[317070]

Het gaat mij dus om een formule waarmee de gewone vermenigvuldiging met behulp van + en @ en eventueel nog wat als constanten optredende reële getallen kan worden uitgevoerd.

Met precies jouw formule zal dat niet lukken (er zit een serieuze knik in je functie, verlies van continuïteit van afgeleiden, onmogelijk te doen met een eindig aantal optellingen en vermenigvuldigingen). Je kunt hetgeen je vraagt zien als een zadeloppervlak, waarbij een van de bovenste stukken naar beneden gespiegeld is om het xy-vlak.

Deze functie doet wel het gevraagde met enkel 1 en -1.

\(a @ b = \frac{1 + a + b - ab}{2}\)

[Bartjes]

Kan je ook bewijzen dat het niet gaat?

Ik zat zelf in deze richting te denken:

s(a) = a + (-a) @ (-1)

a ® b = ¼ . (s(a) @ s(b) + s(a) @ s(-b) + s(-a) @ s(b) + s(-a) @ s(-b)) .

De bewerking ® zou dan dezelfde resultaten als de normale vermenigvuldiging moeten opleveren. Maar ik raak de kluts kwijt door alle plussen en minnetjes...

[317070]

Kan je ook bewijzen dat het niet gaat?

Yep, ik gaf het in het kort in m'n vorig bericht.

Je moet enkel aantonen dat a @ b in de omgeving a<0 2 afgeleides bestaan voor b->0, (-a en a op het eerste gezicht). Dit is dus een discontinue afgeleide, is niet te construeren met enkel optelling en vermenigvuldigingen (afgeleiden van veeltermen zijn steeds continu).

Maar ik schrijf zulke bewijzen niet graag volledig uit

P.S. ik zie dat er wat 'wiskundige foutjes' instaan à la 2 afgeleiden (de partiële afgeleide verloopt discontinu volgens zijn richting is al wat correcter), maar je begrijpt hopelijk wat ik bedoel.

[Bartjes]

Dat er in @ een knik zit, begrijp ik.

Mijn bedoeling is echter niet @ uit + en . te construeren, maar om juist . uit + en @ terug te vinden. Of bedoel je dat ook?

[Bartjes]

Onze alternatieve vermenigvuldiging a @ b hebben we gedefinieerd als:

a @ b = a . b voor a 0 & b 0

a @ b = a . b voor a 0 & b < 0

a @ b = a . b voor a < 0 & b 0

a @ b = - a . b voor a < 0 & b < 0

Dit levert het (nogal vreemde) algebraïsche systeem (R, + , @ ) op.

Als het nu zo is dat het gewone product a . b ook met behulp van de reële getallen, de optelling + en de alternatieve vermenigvuldiging @ kan worden gevonden, dan corresponderen met alle ware stellingen voor het lichaam (R, + , . ) overeenkomstige ware stellingen voor het systeem (R, + , @ ). De overeenkomstige ware stellingen voor (R, + , @ ) drukken (op een ietwat omslachtige manier) het zelfde uit als de ware stellingen van (R, + , . ) waar ze mee corresponderen. We zouden daarom in plaats van met de gewone vermenigvuldiging ook met de alternatieve vermenigvuldiging kunnen werken, zonder daarbij iets wezenlijks te missen of ons zelf in tegenstrijdigheden te verstrikken.

Laat:

s₁(x) = x voor x > 0, en anders s₁(x) = 0

s₂(x) = x voor x < 0, en anders s₂(x) = 0

Dan geldt (zoals men eenvoudig verifieert) dat:

a . b = s₁(a) @ s₁(b) + s₁(a) @ s₂(b) + s₂(a) @ s₁(b) - s₂(a) @ s₂(b) .

We hoeven nu alleen nog s₁(x) en s₂(x) in de reële getallen, de optelling + en de alternatieve vermenigvuldiging @ uit te drukken. Het is gemakkelijk na te gaan dat:

s₁(x) = ½ @ (x - (-x)@(-1))

s₂(x) = ½ @ (x + (-x)@(-1))

(Het tegengestelde -x van x en het verschil x - y van x en y zijn voor de reële getallen door de eigenschappen van de optelling + bepaald. Voor de systemen (R, + , . ) en (R, + , @ ) zijn ze daarom gelijk.)

We zien dus dat voor alle ware stellingen van (R, + , . ) er overeenkomstige (maar lastiger te formuleren) ware stellingen voor (R, + , @ ) bestaan.

Of het systeem (R, + , @ ) ook op zichzelf interessante eigenschappen heeft, heb ik niet bekeken.