[natuurkunde] traagheidsmoment

[Equation]

Stel jezelf een cilinder voor met massa X. Door deze cilinder steek je een as in de hoogte (door het middelpunt van de cirkel van een cilinder zeg maar) en laat deze cilinder roteren om deze as.

Zo'n cilinder heeft een traagheidsmoment.

Stel jezelf een andere cilinder voor, van een ander, zwaarder, materiaal met exact dezelfde massa X, en qua cirkel ook exact dezelfde straal. Alleen nu heeft je cilinder een andere hoogte (hoogte is evenwijdig aan draaiingsas).

Mijn vraag luidt, klopt het dat deze cilinders hetzelfde traagheidsmoment hebben, ondanks het feit dat ze een andere vorm hebben?

Een formule luidt

\(I = \frac{1}{2}Mr_0^2\)

. Deze formule geldt voor een massieve cilinder die roteert zoals ik hierboven heb beschreven. Hierin staat echter alleen de M (massa) en de straal van de cirkel. Dus logische wijs heeft de hoogte geen invloed.

Voor een practicum heb ik voor een min of meer onregelmatigvormig object ook zo'n SOORT formule opgesteld (ik ben uitgegaan van een cilinder met hoogte ymax), hierin staat ook echter niet zo'n dergelijke hoogte (evenwijdig aan draaiingsas). Wanneer we een cilinder pakken met hoogte ymin, komt er precies hetzelfde uit. Mijn doel was om een boven- en ondergrens op te stellen voor een hypothese, maar nu lijkt het alsof die grenzen gelijk zijn, oftewel dat mijn formule gewoonweg klopt.

Dit lijkt mij echter onlogisch, of is het traagheidsmoment echt onafhankelijk van deze y? Het lijkt mij van niet, omdat dat zou betekenen dat de hoeveelheid massa op afstand r geen invloed heeft, maar dat heeft het wel volgens de formule

\(I = \int mr^2\)

(de som van alle massapunten vermenigvuldigd met bijbehorende straal).

Er zijn 2 conclusies mogelijk:

- het is onmogelijk om een bovengrens / ondergrens op te stellen met behulp van cilinders

- de y heeft geen invloed op het traagheidsmoment

Welke conclusie klopt? Of is er zelfs nog een derde?

Alvast bedankt.

[Jan van de Velde]

Je verhaal is niet duidelijk. Laten we eerst eens naar de cilinder kijken.

Stel je neemt tien gelijke schijven die je tot een cilinder op elkaar legt, Dat geeft een zekere I, de optelsom van de I's van de tien schijfjes, OK?

Nu zet je tussen elke schijf een massaloos tussenstukje, zodat je cilinder hoger wordt. De resulterende cilinder heeft nu dus bijna een dubbele lengte, maar de dichtheid is bijna gehalveerd. Maar is de I veranderd? Massa is gelijk, afstand van elk molecuul tot de as is geen spat veranderd.

Hierin staat echter alleen de M (massa) en de straal van de cirkel. Dus logische wijs heeft de hoogte geen invloed.

precies

De rest van je verhaal kan ik helaas geen touw aan vastknopen, het is me volslagen onduidelijk hoe ik me het object dat je probeert te laten ronddraaien moet voorstellen, en hoe je dat object vervolgens verandert.

[Equation]

Je verhaal is niet duidelijk. Laten we eerst eens naar de cilinder kijken.

Stel je neemt tien gelijke schijven die je tot een cilinder op elkaar legt, Dat geeft een zekere I, de optelsom van de I's van de tien schijfjes, OK?

Nu zet je tussen elke schijf een massaloos tussenstukje, zodat je cilinder hoger wordt. De resulterende cilinder heeft nu dus bijna een dubbele lengte, maar de dichtheid is bijna gehalveerd. Maar is de I veranderd? Massa is gelijk, afstand van elk molecuul tot de as is geen spat veranderd.

precies

De rest van je verhaal kan ik helaas geen touw aan vastknopen, het is me volslagen onduidelijk hoe ik me het object dat je probeert te laten ronddraaien moet voorstellen, en hoe je dat object vervolgens verandert.

Dat eerste stuk heeft u goed begrepen.

Qua dat 2e stuk, het is een soort kegel minus een kegel. De top is er als het ware afgesneden. Door het object is een stok gedaan (de zwarte lijn uit tekening 1 die horizontaal loopt). Deze stok wordt geroteerd rond de draaiingsas.

Door middel van integratie heb ik de formule van het traagheidsmoment opgesteld die voor een cilinder die als het ware om het object heen geschoven wordt zou gelden. Dus een cilinder met hoogte (r1-r0) en straal ymax. Wanneer je deze uitwerkt krijg je echter een formule voor I eruit waar y niet meer in staat, waardoor je dezelfde formule krijgt voor ymin (de cilinder die je als het ware in het object schuift; ondergrens).

Dus wat de vraag op neerkwam:

Heeft deze y, wat de richting evenwijdig aan de draaiingsas is, daadwerkelijk geen invloed op het traagheidsmoment, ondanks dat deze y ook verandert, naarmate je je r verandert? (Dichter bij r1 betekent dichter bij ymin) Of is het onmogelijk om een dergelijke bovengrens/ondergrens te berekenen.

Ter verduidelijking:

bovengrens is het traagheidsmoment van een cilinder die we om ons object heen schuiven

ondergrens is het traagheidsmoment van een cilinder die we in ons object kunnen schuiven, dus die past precies in de binnenste cirkel van het 2e plaatje.

Ik hoop dat het zo duidelijker is?

[Jan van de Velde]

Ik begin het iets beter te zien, maar nog steeds niet wat je nou bedoelt met je boven- en ondergrenzen e.d.

Hoe dan ook, kijk eens naar elk afzonderlijk molecuul van je afgeknotte cilinder, en bepaal van elk van die moleculen de afstand tot de as.

Verander nu de vorm van je object (ik begrijp niet hoe, jijzelf ongetwijfeld wel). Kijk weer naar élk afzonderlijk molecuul. Hamvraag is, is er van een of meerdere van die moleculen de afstand tot de as veranderd? Zo nee, dan geen verandering van I.

Laat je daarbij niet foppen door het feit dat je een driedimensionaal object in een tweedimensionaal plaatje presenteert.

[Equation]

*zie "edit" onderaan post*

Ik begin het iets beter te zien, maar nog steeds niet wat je nou bedoelt met je boven- en ondergrenzen e.d.

Hoe dan ook, kijk eens naar elk afzonderlijk molecuul van je afgeknotte cilinder, en bepaal van elk van die moleculen de afstand tot de as.

Verander nu de vorm van je object (ik begrijp niet hoe, jijzelf ongetwijfeld wel). Kijk weer naar élk afzonderlijk molecuul. Hamvraag is, is er van een of meerdere van die moleculen de afstand tot de as veranderd? Zo nee, dan geen verandering van I.

Laat je daarbij niet foppen door het feit dat je een driedimensionaal object in een tweedimensionaal plaatje presenteert.

Ik geloof dat u door mijn 1e verhaal over de cilinder met variërende massa in de war bent geraakt.

Bij de 2e vraag blijft de vorm exact gelijk. Ik zal het ditmaal d.m.v. een illustratie verduidelijken:



Het zwarte is mijn object. Om dit object schuif ik de blauwe cilinder. Het traagheidsmoment van mijn object is logischere wijze kleiner dan het traagheidsmoment van die cilinder, aangezien de massa ook iets is toegenomen.

In mijn object schuif ik rode cilinder. Het traagheidsmoment van mijn object is logischere wijze groter dan het traagheidsmoment van die cilinder, aangezien de massa ook iets is afgenomen.

Dit is een gedachte-experiment, mijn object is in principe massief.

Nu blijkt echter dat ik voor beide situaties exact dezelfde formule vindt, omdat de hoogte (evenwijdig aan draaingsas) geen invloed heeft op het traagheidsmoment van een op deze manier geplaatste cilinder.

Nu zijn er dus 2 opties mogelijk:

- Het is onmogelijk om zo'n boven-/ondergrens op te stellen (bijv. Irood < Izwart < Iblauw, waarbij ik Izwart wil weten)

of

- Het traagheidsmoment van mijn object voldoet aan dezelfde formule als beide cilinders

Dit laatste zou in mijn ogen raar zijn, omdat de massaverdeling van respectievelijk de cilinders en mijn object anders is.

Dat eerste echter zou ook raar zijn, want dan zou mijn object een totaal ander traagheidsmoment hebben, kleiner dan iets wat erin valt (met zelfde dichtheid / massa) of groter dan iets wat erbuiten valt (met zelfde dichtheid/massa).

Dus de vraag was, welke van die 2 opties is het geval of is er een derde verklaring mogelijk?

EDIT:

Ik geloof dat er een lampje is gaan branden.

Deze hoogte zit natuurlijk in de massa inbegrepen, de rode cilinder heeft natuurlijk een kleinere massa dan de blauwe, waardoor zijn traagheidsmoment ook kleiner is. Met andere woorden, wanneer de aanname klopt dat het traagheidsmoment van mijn object tussen die van de 2 cilinders ligt, dan snap ik het. Kunt u (of iemand anders) dat bevestigen?

[Jan van de Velde]

Verplaatst naar het vakforum.

[Ehrenfestfan]

Ik geloof dat ik de opzet van dit probleem snap: u heeft met de stelling van Steiner de rotatieas van een cilinder in gedachten buiten de cilinder geplaatst, om vervolgens te kijken of u het traagheidsmoment van die afgesneden kegel kunt afschatten met cilinders.

Volgens mij is hier het probleem u de dichtheid van de cilinder waarmee u die afschatting wil maken, niet mee laat variëren. Want zoals u al opmerkt: als de dichtheid constant is, hang I van de cilinder wel degelijk van af van de hoogte. En inderdaad: ik verwacht de die twee cilinders een afschatting geven van het traagheidsmoment van de afgesneden kegel. Bij de ene cilinder voeg je massa toe en bij de andere haal je het eraf. Het is niet moeilijk om in te zien dat dit de integraal van

\(mr^2\)

doet toenemen (dan wel afnemen).

[Equation]

Ik geloof dat ik de opzet van dit probleem snap: u heeft met de stelling van Steiner de rotatieas van een cilinder in gedachten buiten de cilinder geplaatst, om vervolgens te kijken of u het traagheidsmoment van die afgesneden kegel kunt afschatten met cilinders.

Volgens mij is hier het probleem u de dichtheid van de cilinder waarmee u die afschatting wil maken, niet mee laat variëren. Want zoals u al opmerkt: als de dichtheid constant is, hang I van de cilinder wel degelijk van af van de hoogte. En inderdaad: ik verwacht de die twee cilinders een afschatting geven van het traagheidsmoment van de afgesneden kegel. Bij de ene cilinder voeg je massa toe en bij de andere haal je het eraf. Het is niet moeilijk om in te zien dat dit de integraal van

\(mr^2\)

doet toenemen (dan wel afnemen).

Geen idee hoe de stelling heet, als de stelling bestaat zoals u zegt. Ik ben ditmaal zelf op het idee gekomen, omdat ik geen idee had hoe ik anders een hypothese hierbij kon maken.

Dat tweede wat u zegt, was inderdaad datgene wat ik bevestigd wilde hebben, dus bedankt daarvoor. Nu moet ik alleen voor de precieze formule y gaan uitdrukken in r, omdat je nu eenmaal niet over 2 variabelen kan integreren. Dit is echter nog een paar maanden verder, dus daar kom ik wel uit.

Allebei bedankt.

~Equation

[Ehrenfestfan]

Geen idee hoe de stelling heet, als de stelling bestaat zoals u zegt. Ik ben ditmaal zelf op het idee gekomen, omdat ik geen idee had hoe ik anders een hypothese hierbij kon maken.

Dat tweede wat u zegt, was inderdaad datgene wat ik bevestigd wilde hebben, dus bedankt daarvoor. Nu moet ik alleen voor de precieze formule y gaan uitdrukken in r, omdat je nu eenmaal niet over 2 variabelen kan integreren. Dit is echter nog een paar maanden verder, dus daar kom ik wel uit.

Allebei bedankt.

~Equation

De stelling van Steiner:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner

Waarschijnlijk al bekend, maar ik noem het beestje graag bij zijn naam :eusa_whistle:

[Equation]

De stelling van Steiner:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner

Waarschijnlijk al bekend, maar ik noem het beestje graag bij zijn naam :eusa_whistle:

Die formule is eigenlijk best wel makkelijker en logisch; immers, alle massapunten schuiven d op, dus wegen alle massapunten m*d² zwaarder mee bij het berekenen van het traagheidsmoment

Bij mijn hypothese ben ik echter van een r_0 en een r_1 uitgegaan en heb ik geïntegreerd over dat het domein [r_0,r_1].

Op deze manier krijg je in je eindformule de variabelen "M", "r_0" en "r_1".