Omvallende paal

[tgeleijn]

Een paal staat loodrecht overeind in een homogeen zwaartekrachtveld met de standaard aardse g.

Door een verwaarloosbare beroering begint de paal om te vallen.

Ik ben op zoek naar een formule waaruit de valtijd van de paal kan worden berekend. Men mag de luchtwrijving verwaarlozen. Ik neem aan dat alleen de lengte van de paal van belang is voor de tijd.

Volgens mij moet de formule lijken op die van een slinger t = 2 * pi * sqr(l/g).

Ik kom er niet uit ! HELP !!!

[Rogier]

Interessante vraag, alleen ik denk dat het iets ingewikkelder is dan een slinger. De zwaartekracht werkt omlaag, maar de paal kan alleen roteren om zijn standpunt (althans ik naam dat de paal in dit vraagstuk echt omvalt en niet deels wegglijdt).

Volgens mij is de gezochte tijd oneindig. Want hoe meer rechtop de paal nog staat, hoe minder versnelling de zwaartekracht kan veroorzaken. Die werkt immers verticaal terwijl, de paal in het begin nagenoeg alleen horizontaal kan bewegen. Dus de effectieve component van de versnellingsvector ligt nagenoeg bij nul.

Aangezien je het over een verwaarloosbare beroering hebt, staat de paal in het begin dus ook verwaarloosbaar weinig scheef, en is de feitelijke versnelling veroorzaakt door de zwaartekracht ook verwaarloosbaar.

Als de beroering niet verwaarloosbaar klein is, dus bijvoorbeeld als de paal een hoek van \(\alpha\)=0,1^o met de normaalvector op het grondoppervlak maakt (dus niet meer loodrecht), dan begint de zwaartekracht wel met (weliswaar een geringe) significante invloed.

Dan is de hoogte van de top een integraal over de versnelling, en de versnelling hangt af van de hoek, en de hoek hangt af van de hoogte, dus dan krijg je een of andere differentiaalvergelijking. Maar ik verwacht dat de tijd die daar uit zou komen ook naar oneindig zou gaan naarmate de beginhoek \(\alpha\) dichter bij nul ligt.

[Ehrenfestfan]

Deze vraag is eigenlijk verkeerd gesteld. Als je goed nadenkt, zul je merken dat een verwaarloosbaar kleine verstoring de paal helemaal niet zal doen omvallen! Een paal heeft namelijk een breedte en zolang het zwaartepunt van de paal boven het grondvlak blijft, zal hij in balans blijven. De grootte van het grondvlak is dus relevant in dit probleem.

Natuurlijk kun je de benadering maken dat de paal eigenlijk een mathematische lijn is. In dat geval kun je het probleem het beste oplossen door te kijken naar het krachtmoment op de paal. Laat phi de hoek zijn van de paal met de normaal en omega de hoeksnelheid van de paal. I is het traagheidsmoment van de paal om het draaipunt aan het uiteinde en bedraagt I = 1/3 * m * l (m en l zijn de massa en lengte van de paal).

Je kunt nu het krachtmoment van de paal berekenen als functie van phi: M(phi) = 1/2 l * mg * sin(phi)

Vervolgens kun je het probleem doorrekenen door een differentiaalvergelijking voor phi op te stellen:

\( \frac{d^2 \phi}{dt^2} = \frac{M}{I}\)

Je gebruikt de beginvoorwaarden:

\(\phi(0) = 0\)

,

\(\omega(0) = \frac{d\phi}{dt}|_{t=0}=\omega_0\)

Vervolgens bereken je hoe lang het duurt voordat phi = pi/2 en in dat antwoord laat je omega_0 naar nul gaan. Dan heb je je antwoord, vermoed ik. Momenteel ben ik echter te lui om het expliciet uit te rekenen =P. Je zou de boel eens in Wolfram Alpha kunnen gooien als je het zelf niet wil uitrekenen.

Hopelijk heeft dit geholpen.

[dirkwb]

Momenteel ben ik echter te lui om het expliciet uit te rekenen =P.

Zou je toch kunnen laten zien hoe je dit exact kan uitrekenen, want ik zou niet weten hoe je dat moet aanpakken.

[eendavid]

Dit is inderdaad een slinger, maar een slinger die niet mag worden bekeken in de benadering van kleine uitwijkingen. Als je met speciale functies mag werken, i.h.b. elliptische functies, dan kan een antwoord worden gegeven.

[dirkwb]

Dit is inderdaad een slinger, maar een slinger die niet mag worden bekeken in de benadering van kleine uitwijkingen. Als je met speciale functies mag werken, i.h.b. elliptische functies, dan kan een antwoord worden gegeven.

Ik dacht de Ehrenfestfan bedoelde dat het ook in elementaire functies kan, maar kennelijk dus niet.

[eendavid]

Nee, het kan zeker niet met elementaire functies.

[Ehrenfestfan]

Okay, ik heb net eens zitten rondkijken en het blijkt dat de algemene oplossing voor dit probleem minder simpel is dan ik dacht. Ik dacht ooit gehoord te hebben dat de vgl. y'' - sin(y) = 0 een algemene oplossing had, maar het zit niet zo simpel in elkaar:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+-+sin(y)+%3D+0

Op zich is dat niet zo erg. Het ging erom of de paal zou omvallen door een verwaarloosbaar kleine verstoring, dus kunnen we ons ook richten op het begin van de val. Dus voor kleine uitwijkingen kun je sin(phi) ~ phi benaderen (theta in radialen, natuurlijk). Dan krijg je de vgl:

\(\phi'' - \frac{mgl}{2I}\phi = 0\)

Voor het gemak gooien we dit even in WA, want ik heb niet zo veel zin om de afleiding uit te typen. De voorfactor van phi noemen we even c en ik noem phi en t even y en x voor WA. De beginsnelheid is a:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y[x]%27%27+-+c*+y[x]+%3D+0%2C+y[0]+%3D+0%2C+y%27[0]+%3D+a

(de site pakt dit niet goed, copy-paste de link zelf even)

Als je niet weet hoe je deze (vrij simpele) DV oplost: uit een vgl van de vorm: y'' + cy = 0 komen altijd e-machten van de vorm:

\(A e^{\sqrt{c}x}+Be^{-\sqrt{c}x}\)

Zoals je ziet is de uitkomst een e-macht die toeneemt (positieve exponent). Dit kun je wel verwachten als je naar de DV kijkt. Nog belangrijker: als je de beginsnelheid naar nul laat gaan, dan wordt de functie ook nul, dus kun je de paal niet omgooien met een verwaarloosbare snelheid. De beginsnelheid heeft invloed op het antwoord.

Wat je wel kunt zeggen, is dat de karakteristieke tijd gelijk is aan de inverse van de factor in de exponent, dus aan:

\(\tau = \sqrt{\frac{2I}{mgl}}= \sqrt{\frac{2l}{3g}}\)

Dus voor kleine uitwijkingen is de valtijd ongeveer linear met de wortel van l en onafhankelijk van de massa (logisch). Voor grotere uitwijkingen zal dat niet veel anders zijn, aangezien het traagste deel van de val zit in het begin. Maar bedenk je dus dat de valtijd ook linear is met de beginsnelheid!

Opmerking: in mijn eerste post schreef ik dat I = 1/3ml, maar dat moet natuurlijk 1/3ml^2 zijn. Foutje.

Conclusie: de creator van het topic heeft gelijk dat het probleem te maken heeft met de slinger en dat de valtijd iets met wortel l te maken heeft. Veel meer kun je er analytisch gezien niet over zeggen, lijkt me.

[dirkwb]

Heel mooi verhaal, maar het gaat om de valtijd en hierbij is de aanname van klein uitwijkingen niet heel erg van belang. TS zal dit dus numeriek moeten oplossen.

[Ehrenfestfan]

Heel mooi verhaal, maar het gaat om de valtijd en hierbij is de aanname van klein uitwijkingen niet heel erg van belang. TS zal dit dus numeriek moeten oplossen.

De aanname van kleine uitwijkingen is nuttig om aan te tonen dat er geen 'valtijd' is. Enkel wanneer je een beginsnelheid kiest, heeft het nut om daar wat over te zeggen.

[kotje]

Een paal staat loodrecht overeind in een homogeen zwaartekrachtveld met de standaard aardse g.

Door een verwaarloosbare beroering begint de paal om te vallen.

Ik ben op zoek naar een formule waaruit de valtijd van de paal kan worden berekend. Men mag de luchtwrijving verwaarlozen. Ik neem aan dat alleen de lengte van de paal van belang is voor de tijd.

Volgens mij moet de formule lijken op die van een slinger t = 2 * pi * sqr(l/g).

Ik kom er niet uit ! HELP !!!

Men kan de zaak niet oplossen met elementaire functies omdat in de differentiaalvgl sin :eusa_whistle: voorkomt die we niet kunnen vervangen door ](*,) omdat de hoek niet klein is.

Maar misschien kan dit benadert opgelost worden. De snelheid top paal in begin is 0. De top van de paal beschrijft een vierde van een cirkel met straal L. Als we de snelheid top kennen als hij de grond raakt en veronderstellen dat de top een snelheid heeft die over gans de weg de helft is van de snelheid waarmee de paal de grond raakt meen ik dat we een goede benadering van de valtijd van de paal hebben.

De snelheid top berekenen we uit E_pot=E_kin. Voor de potentiële energie vergelijken we ligging massamiddelpunt voor het vallen en na het vallen en krijgen

\(\frac{1}{2}MgL=\frac{1}{2}I\omega^2 waarbij I=\frac{1}{3}ML^2\)

.

Hieruit volgt

\(v_{top}=\omega L= \sqrt{3gL}\)

.

Nu is gemakkelijk de benaderde valtijd te berekenen.

[Ehrenfestfan]

Interessante benadering van het probleem, maar ik denk dat die aanname alleen werkt bij een object dat al instabiel staat en daarom al aan het vallen is. Het probleem is, dat je met een verwaarloosbaar kleine beginsnelheid de paal niet kunt laten omvallen. Als je je beperkt tot het eerste stuk van de val totdat hij 0.01 radiaal is gevallen, dan kun je de benadering sin(phi) = phi heel goed toepassen en zul je zien dat als je de beginsnelheid naar nul laat gaan, het oneindig lang duurt om deze 0.01 radiaal te doorlopen. Dus dit probleem is niet goed geformuleerd. Zoals overigens al was beredeneerd in de eerste post van dit topic door Rogier.

Het enige wat je kunt zeggen is dat er een karakteristieke tijd is waarin fluctuaties in de positie versterkt worden in het begin. Wanneer de paal nou eenmaal echt aan het vallen is, kun je dergelijke benaderingen maken, maar voor die tijd is er geen rechtvaardiging om dat te doen. De gemiddelde snelheid tijdens de val gaat immers ook naar nul als je de beginsnelheid naar nul laat gaan.

[kotje]

Interessante benadering van het probleem, maar ik denk dat die aanname alleen werkt bij een object dat al instabiel staat en daarom al aan het vallen is. Het probleem is, dat je met een verwaarloosbaar kleine beginsnelheid de paal niet kunt laten omvallen. Als je je beperkt tot het eerste stuk van de val totdat hij 0.01 radiaal is gevallen, dan kun je de benadering sin(phi) = phi heel goed toepassen en zul je zien dat als je de beginsnelheid naar nul laat gaan, het oneindig lang duurt om deze 0.01 radiaal te doorlopen. Dus dit probleem is niet goed geformuleerd. Zoals overigens al was beredeneerd in de eerste post van dit topic door Rogier.

Het enige wat je kunt zeggen is dat er een karakteristieke tijd is waarin fluctuaties in de positie versterkt worden in het begin. Wanneer de paal nou eenmaal echt aan het vallen is, kun je dergelijke benaderingen maken, maar voor die tijd is er geen rechtvaardiging om dat te doen. De gemiddelde snelheid tijdens de val gaat immers ook naar nul als je de beginsnelheid naar nul laat gaan.

Ik denk ge dat hier bezig zijt met een paradox van Zeno: Hoe kan een pijl bewegen want voor hij op een plaats is moet hij op een plaats er juist voor zijn enz. dus hij kan niet bewegen. Tgeleyn bedoelt dat de paal begint te vallen en het steunpunt op dezelfde plaats blijft denk ik.

[Ehrenfestfan]

Ik denk ge dat hier bezig zijt met een paradox van Zeno: Hoe kan een pijl bewegen want voor hij op een plaats is moet hij op een plaats er juist voor zijn enz. dus hij kan niet bewegen. Tgeleyn bedoelt dat de paal begint te vallen en het steunpunt op dezelfde plaats blijft denk ik.

Nee, dit is niet de Zeno paradox waar ik het over heb. Die ken ik heel goed. Het probleem werd geponeerd als volgt: Een paal staat stabiel en gaat vallen door een oneindig kleine verstoring. Wat is de tijd totdat hij is omgevallen als je het grondvlak geen breedte geeft en niet verschuift?

Wat is nu een oneindig kleine verstoring? Mijn interpretatie daarvan is dat je de bovenkant een kleine beginsnelheid omega_nul geeft en kijkt hoe lang het duurt voordat de paal is gevallen. Vervolgens laat je omega_nul naar nul gaan en kijk je hoe de valtijd zich gedraagt. Maar uit mijn analyse van de eerste paar radialen blijkt al dat het al oneindig lang duurt om een heel klein stukje te vallen (de eerste 0.01 radialen waar ik het over had) als je die beginsnelheid naar nul laat gaan. Hoe kleiner de beginsnelheid, hoe langer de valtijd en dit divergeert tot oneindig. Het probleem is dus niet goed bepaald. En als de eerste 0.01 rad al oneindig lang duurt, dan duurt de hele valtijd ook oneindig lang.

[kotje]

Nee, dit is niet de Zeno paradox waar ik het over heb. Die ken ik heel goed. Het probleem werd geponeerd als volgt: Een paal staat stabiel en gaat vallen door een oneindig kleine verstoring. Wat is de tijd totdat hij is omgevallen als je het grondvlak geen breedte geeft en niet verschuift?

Wat is nu een oneindig kleine verstoring? Mijn interpretatie daarvan is dat je de bovenkant een kleine beginsnelheid omega_nul geeft en kijkt hoe lang het duurt voordat de paal is gevallen. Vervolgens laat je omega_nul naar nul gaan en kijk je hoe de valtijd zich gedraagt. Maar uit mijn analyse van de eerste paar radialen blijkt al dat het al oneindig lang duurt om een heel klein stukje te vallen (de eerste 0.01 radialen waar ik het over had) als je die beginsnelheid naar nul laat gaan. Hoe kleiner de beginsnelheid, hoe langer de valtijd en dit divergeert tot oneindig. Het probleem is dus niet goed bepaald. En als de eerste 0.01 rad al oneindig lang duurt, dan duurt de hele valtijd ook oneindig lang.

Tgeleyn schreef: door een verwaarloosbare beroering begint de paal te vallen.

Hij bedoelt dat de paal uit haar evenwicht komt en dus niets anders kan doen dan vallen in een homogeen zwaartekrachtveld. Houdt er rekening mee dat de beroering een bepaalde grote moet hebben om uit uit haar evenwicht te komen anders blijft de paal staan en duurt het natuurlijk oneindig lang voor ze valt.