Limiet bewijs

[dirkwb]

Stel dat

\( \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n = L \)

bewijs dat:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = L\)

Hoe moet ik dit aanpakken?

[mathfreak]

\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\)

betekent: bij een gegeven ε>0 is er een natuurlijk getal N met de eigenschap dat voor alle n>N geldt dat |a_n-L|<ε. Kijk eens of je aan de hand daarvan het bewijs kunt leveren.

[dirkwb]

Voor een zeker grote n:

\(| \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} - \frac{nL}{n} | \leq \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+ |a_{N-1}+|a_N-L|+...|a_n-L| \right) \)

\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \)

Maar wat moet ik met de linkersom voor alle n<N?

[Safe]

Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?

[dirkwb]

Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?

Goed punt.

De laatste regel moet dus worden:

\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \leq \frac{1}{n}(n \epsilon_1) = \epsilon_1 \leq \epsilon \)

als

\( n \rightarrow \infty\)

Klopt het zo?

[Safe]

Ik denk niet dat dat lukt.

Neem eens:

\(a_n=L-t_n\)

dan is, met het gegeven:

\(\lim_{n\to\infty}a_n=L =>\lim_{n\to\infty}t_n=0\)

[Safe]

Lukt dit niet?

[dirkwb]

Ik zie niet waarom dit nuttig is. Je trekt simpelweg L af van elke term, maar het gaat om de som van de termen.

[Safe]

Probeer het eens.

[dirkwb]

Definieer

\( a_n =L-t_n \)

dan geldt er:

\( \frac{1}{n}|a_1+...+a_n -nL| \leq \frac{1}{n} \left( |t_1| +...+|t_n| \right) \leq\frac{1}{n}( n \epsilon) =\epsilon\)

voor

\( n \rightarrow \infty \)

Klopt dit?

[Safe]

Ja. Maar waarom klopt het?

[dirkwb]

Ja. Maar waarom klopt het?

\( \frac{t_i}{n}\)

zal voor toenemende n willekeurig klein worden.

[PeterPan]

Laat

\(\epsilon>0\)

zijn.

Kies

\(N>0\)

zó dat

\(|a_n-L| < \frac{\epsilon}{2}\)

voor

\(n > N\)

.

Kies vervolgens een

\(M>N\)

zó dat

\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)

voor

\(n>M\)

.

Dan is

\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} - L| \le |\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}| + |\frac{(a_{N+1}-L)+(a_{N+2}-L)+\cdots + (a_n-L)}{n}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{n-N}{n}\frac{\epsilon}{2} < \epsilon\)

voor

\(n>M\)

.

C'est tout.

[dirkwb]

.

Kies vervolgens een

\(M>N\)

zó dat

\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)

voor

\(n>M\)

.

Waarom is het mogelijk een M te kiezen zodanig dat dit geldt? Ga je bij deze aanname er al niet vanuit dat de limiet voor de som (a_1+..+a_n)/n bestaat?

[PeterPan]

\(N\)

is een gekozen getal, dus de teller is een (vaste) constante. De noemer is variabel en kan zo groot gekozen worden als je zelf wilt.