Gekoppelde differentiaalvergelijking

[M.B.]

Hoi,

ik heb de volgende vectorvergelijking:

\(\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{r}\times \mathbf{p}\)

kies voor de eenvoud r de plaatsvector en p de impulsvector (om het voorstellen eenvoudiger te maken).

Dit zijn eigenlijk 3 vergelijkingen (een voor elke component van de afgeleide r vector), maar wegens het vectorproduct worden deze 3 vergelijking gekoppeld.

Is dit algemeen oplosbaar voor willekeurige componenten voor r en p?

Kan dit geïnterpreteerd worden als een soort rotatie rond een bepaalde vector indien r_z wordt vastgekozen (cirkels draaien in het r_y, r_x vlak?

[eendavid]

Is p een constante vector, of is hij een functie van de afgeleide van r (zoals je suggereert bij het 'makkelijker maken')? Dat verandert de differentiaalvergelijking namelijk, en in het tweede geval is de enige oplossing r=cte (immers dr/dt staat dan loodrecht op zichzelf).

In het eerste geval betekent dit inderdaad dat er een cirkelvormige beweging (met constante snelheid) wordt gemaakt rond p.

[M.B.]

p is een constante vector: hangt noch van de tijd, noch van r af.

[eendavid]

Dan is, indien

\(\mathbf{r}(t=0)\cdot\mathbf{p}=0\)

, een oplossing gegeven door:

\(\mathbf{r}=cos(\omega t)\mathbf{r}_0+sin(\omega t)\frac{1}{|\mathbf{p}|}\mathbf{r_0}\times \mathbf{p}\)

,

dat is dus gewoon een rotatie met rotatieas p. De algemenere oplossing kan je waarschijnlijk nu zelf vinden.