Ontaarde eigenwaarden

[eXorikos]

Bij het meten van een eigenschap A zijn de enige mogelijke meetresultaten de eigenwaarden van de operator van A. In het boek dat wij gebruiken beperken ze zich echter tot niet-ontaarde eigenwaarden. Wat verandert er als we ook ontaarde eigenwaarden toelaten?

PS: ik vond niet meteen de juiste Nederlandstalige term voor degenerate, dus ik hoop dat ik goed zit met ontaard. :eusa_whistle:

[eendavid]

Als de eigenwaarden niet ontaard zijn, dan ken je het projectiepostulaat makkelijk uitleggen. Als een grootheid A wordt gemeten bij toestand

\(|\psi>=\sum \alpha_i|\psi_i>\)

, dan is er een kans

\(|\alpha_i|^2\)

om de eigenwaarde horend bij

\(|\psi_i>\)

te meten, en als deze wordt gemeten dan is de toestand na deze meting

\(|\psi_i>\)

. Daarom is het zo dat je niet-commuterende variabelen niet tegelijkertijd precies kan meten: de eigenvectoren zijn niet gemeenschappelijk.

Wat nu als het spectrum ontaard is? Wel dan kunnen we nog altijd een basis van de Hilbertruimte creëren door basisvectoren te nemen in de respectievelijke eigenruimten. Echter, het is duidelijk dat een eigenwaarde de toestand niet uniek bepaalt (ook niet op een globale fase na). Daarvoor heb je een complete verzameling van commuterende observabelen nodig. Indien je tegelijkertijd een meting van deze verzameling observabelen doet, dan is het duidelijk wat er zal gebeuren: de toestand wordt 'geprojecteerd' naar de unieke (op fase na) vector in de Hilbertruimte corresponderend met de gemeten eigenwaarden. Maar wat als je besluit om maar 1 van deze observabelen te meten? Daarvoor moeten we de axioma's van QM iets preciezer formuleren. We hebben het dan niet meer over het projectiepostulaat, maar over 'Lüders postulaat'. Ik kende dit ook niet, maar de uitleg in de derde sectie hier legt alles goed uit. Ik weet ook niet zeker of iedereen akkoord gaat met dit postulaat.

[thermo1945]

Iets simpeler: een aantal golffuncties kan toevallig eigenwaarden hebben van gelijke grootte.

In een atoom kun je denken aan het magnetische quantumgetal m bij afwezigheid van een magneetveld. De ontaarding komt aan het licht, als er een extern magneetveld is. (Dat is het Zeemaneffect).

(Een elektrisch veld geeft het Stark effect)