Transmissie en reflectie van golven in snaren

[simops]

In het hoorcollege heeft de prof de volgend afleiding gebruikt om de verschillende gevallen te kunnen aantonen. Het probleem is dat ik enkele stappen niet snap.

De bewegingsvergelijking op de dunne snaar kan voorgesteld worden als:

\(y_1(x,t) = A_i\cdot f(x-v_1t) + A_r\cdot r(x+v_1t)\)

Op de dikke snaar is deze vergelijking

\(y_2(x,t) = A_t\cdot f_t(x-v_1t)\)

Omdat beide snaren aan elkaar hangen op het punt x=0 kunnen we volgende voorwaarden stellen:

\(y_1(0,t) = y_2(0,t)\newline\)

\(\frac{dy_1}{dx}(0,t) = \frac{dy_2}{dx}(0,t)\)

De eerste voorwaarde uitwerken geeft ons:

\(A_i\cdot f(-v_1t)+A_r\cdot f_r(v_1t) = A_t\cdot f_t(-v_2t)\)

Nu zegt men (en dat is het stukje dat ik niet snap): Dit kan enkel zo zijn als de tijdsafhankelijkheid gelijk is, dus is

\(f_r(s) = f(-s) en f_t(s) = f(\frac{v_1}{v_2}s)\)

en dus geldt dit:

\(A_i\cdot f(-v_1t)+A_r\cdot f(-v_1t) = A_t\cdot f(-v_1t) => A_i +A_r = A_t\)

Men heeft dus al een eerste vergelijking die aantoont hoe de amplitudes van de golven zich verhouden. Aan de hand van de tweede voorwaarde kan men dan een tweede vergelijking vinden. Voor men die tweede voorwaarde afleidt gebruikt men echter die tijdsafhankelijkheid en dat snap ik niet echt. Waarom kan men precies zeggen dat die golffuncties op die manier aan elkaar gelijk zijn?

[upsilon]

Hallo, ik zit ook vast in dat stukje van de cursus mechanica.

Voor de mensen die eventueel willen helpen: het gaat dus om volgende situatie:

[eendavid]

Zij f(u)=exp(iu) (wegens fouriertransformatie-eigenschappen volstaat het hiernaar te kijken). Dan zijn er 2 vergelijkingen (eigenlijk hebben A_r en A_t op dit ogenblik geen betekenis: die kunnen in f_r en f_t geabsorbeerd worden):

\(A_ie^{-iv_1t}+A_r\int dk\tilde{f_r}(k)e^{ikv_1t}=A_t\int dk\tilde{f_t}(k)e^{ik(-v_2t)}\)

\(A_ie^{-iv_1t}+A_r\int dk k\tilde{f_r}(k)e^{ikv_1t} = A_t\int dk k\tilde{f_t}(k)e^{ik(-v_2t)}\)

Normaal zouden jullie nu zelf verder moeten kunnen aantonen wat je nodig hebt, door

\(\tilde{f_r}\)

te elimineren. Ik heb zelf niet verder gekeken, maar je kan wel al zien wat er gaat gebeuren.

Uit de eerste vergelijking: voor

\(\tilde{f_r}\)

komt er een bijdrage

\(-A_i/A_r\delta(k-1)\)

en een bijdrage die afhankelijk is van

\(\tilde{f_t}\)

. Als je dit in de tweede vergelijking substitueert, zie je dat ook f_t enkel een bijdrage evenredig met

\(e^{-iv_1t}\)

mag hebben (voor de juiste amplitudes moet je het zelf nog uitrekenen natuurlijk).

De uitleg uit de cursus is dus niet heel precies, je hebt de twee vergelijkingen natuurlijk nodig.

[eendavid]

Je hoeft niet met de fouriergetransformeerden te werken natuurlijk (ik was nog niet goed wakker denk ik, het moest ook

\(\delta(k+1)\)

zijn). Het kan ook gewoon door de 2 normale vergelijkingen op te schrijven, en te elimineren. De eerste vergelijking is bijvoorbeeld gewoon:

\(A_i\cdot e^{-iv_1t}+A_r\cdot f_r(v_1t) = A_t\cdot f_t(-v_2t),\)

en iets analoog geldt voor de tweede vergelijking, en dan gewoon elimineren.

[simops]

Bedankt voor de uitleg, het wordt al wat duidelijker.

Ik weet dat we twee voorwaarden nodig hebben, maar hoe komt men precies aan het feit dat onderstaande geldt?

\(f_r(s) = f(-s) en f_t(s) = f(\frac{v_1}{v_2}s)\)

Dat gebruikt men namelijk om vanuit de voorwaarden tot twee vergelijkingen te komen van de amplitudes en dan dus zo tot de reflectie- en transmissiecoëfficiënt.

[FredQ]

Ik weet dat we twee voorwaarden nodig hebben, maar hoe komt men precies aan het feit dat onderstaande geldt?

\(f_r(s) = f(-s) en f_t(s) = f(\frac{v_1}{v_2}s)\)

Dat begrijp ik ook niet.

Eerst is

\( s= v_1t\)

, dan krijg je het verband tussen je incidente golf en de reflecterende:

\(f_r(s) = f(-s)\)

. Geen probleem.

Daarna wordt

\(s\)

opnieuw als hulpvariabele gebruikt:

\( s= -v_2t\)

, dan krijg je een verband tussen de incidente golf en getransmitteerde:

\(f_t(s) = f(\frac{v_1}{v_2}s)\)

,

wat de prof dus volgens mij doet is

\(f_t(-v_2t) = f(-v_1t)\)

(gewoon de twee golfvormen aan elkaar gelijkstellen?)

Is dit wel een correcte manier van uitwerken?

[eendavid]

Waarschijnlijk moet je toch met de fouriergetransformeerden werken (het kan ook zonder denk ik, maar dan heb je enkele stellingen nodig). Alleszins, op deze manier kan je het begrijpen (voorlopig hebben A_r en A_t geen betekenis):

\(e^{-iv_1t}+\int dk\tilde{f_r}(k)e^{ikv_1t}=\int dk\tilde{f_t}(k)e^{ik(-v_2t)}\)

\(e^{-iv_1t}+\int dk k\tilde{f_r}(k)e^{ikv_1t} = \int dk k\tilde{f_t}(k)e^{ik(-v_2t)}\)

Uit de eerste vergelijking volgt

\(\tilde{f_r}(k)=-\delta(k+1)+\frac{v_1}{v_2}\tilde{f_t}(-\frac{v_1}{v_2}k)\)

,

wat we substitueren in de tweede vergelijking:

\(e^{-iv_1t}+\int dk k\left(-\delta(k+1)+\frac{v_1}{v_2}\tilde{f_t}(-\frac{v_1}{v_2}k)\right)e^{ikv_1t} = \int dk k\tilde{f_t}(k)e^{ik(-v_2t)}\)

.

Dit verder uitwerken leert

\(2e^{-iv_1t}= \int dk \tilde{f_t}(k)\left(ke^{-ikv_2t}+\frac{v_2}{v_1}ke^{-ikv_2t}\right) = \int dk \tilde{f_t}(k) k (1+\frac{v_2}{v_1})e^{-ikv_2t} \)

.

en dus

\(\tilde{f_t}(k)=\delta\left(k-\frac{v_1}{v_2}\right)\frac{2v_2}{v_1+v_2}\)

,

\(\tilde{f_r}(k)=-\delta(k+1)+\frac{v_1}{v_2}\tilde{f_t}(-\frac{v_1}{v_2}k)=-\delta(k+1)+\frac{v_1}{v_2}\delta\left(-\frac{v_1}{v_2}(k+1)\right)\frac{2v_2}{v_1+v_2}=-\delta(k+1)\frac{v_1-v_2}{v_1+v_2}\)

of tenslotte:

\(f_t(u)=\frac{2v_2}{v_1+v_2}e^{i\frac{v_1}{v_2}u}=A_te^{i\frac{v_1}{v_2}u}\)

,

\(f_r(u)=\frac{v_2-v_1}{v_1+v_2}e^{iu}=A_re^{iu}\)

Ik kan me voorstellen dat dit bij jullie niet op deze manier werd afgeleid, omdat deze manier om ernaar te kijken iets moeilijker overkomt. Maar met deze methode begrijp je rigoureus waarom de vergelijkingen waarnaar jullie vragen moeten gelden. Dus voor alle duidelijkheid: de uitspraak 'Dit kan enkel zo zijn als de tijdsafhankelijkheid gelijk is', is een iets minder rigoureuze tussenstap om het niet op bovenstaande manier te moeten doen (of een ingewikkelde analysestelling op te roepen).