Matrixrepresentatie van cnot gate

[ps2martin]

Hallo allemaal,

Ik ben bezig me te verdiepen in (NMR) quantum computers. Nou kwam ik op wikipedia een 'proof of operation' tegen voor de CNOT gate, een esentieel deel in quantum computers. Maar bij dat bewijs snap ik een stukje van de wiskunde niet. Het bewijs kan op deze pagina gevonden worden onder het kopje: 'proof of operation' -> http://en.wikipedia.org/wiki/Cnot

It's not difficult to verify that .

Ik vind de uitspraak dat het niet moeilijk te verifiëren is erg gedurfd, want ik kom er niet uit. Dat kan overigens geheel aan mij liggen, maar ik heb altijd geleerd dat je in een wetenschappelijke tekst niet een dergelijk waarde oordeel mag vellen. :eusa_whistle: Maar ik snap niet hoe dit leid tot een 4x1 vector, want volgens mij leid dit tot een 2x2 matrix, en mijn lineaire algebra boek is het daarmee eens. Kan iemand mij uitleggen hoe hier een 4x1 vector uit volgt? En als het inderdaad een 2x2 matrix wordt, hoe werkt de CNOT dan want dat is vervolgens niet met een 4x4 matrix te vermenigvuldigen.

Bij voorbaat dank,

Martin

[eendavid]

Hier hoef je niet te veel achter te zoeken. Je hebt zeker gelijk dat we het direct product normaalgezien als een matrix schrijven. Maar hier gaat het om een toestandsvector, een element van een vectorruimte dus. Om die reden schrijven we het als een vector, zodat we operatoren op deze vectorruimte als operatoren kunnen voorstellen. Het is maar door deze identificatie te maken dat de CNOT-operatie kan beschreven worden door de vermelde matrix. Dit kan je in detail nagaan wanneer je de actie van de matrix op de basistoestanden onderzoekt. Ik weet niet of dit volstaat, misschien moet ik dat laatste iets meer in detail uitleggen?

[ps2martin]

Allereerst bedankt voor je snelle reactie.

Bedoel je met dat laatste om de CNOT operator toe te passen op de vier verschillende superpositie states? Want in dat geval snap ik wel hoe dat tot stand komt en hoe daarmee de CNOT inderdaad zijn taak vervult. Maar als je iets anders bedoeld hoor ik graag je uitleg, ik leer hier namelijk graag meer over.

Martin

[eendavid]

Voor de zekerheid zal ik het wat verder uitleggen. Dus de matrix die we gebruiken is

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

.

Dit betekent dat de toestand

\(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

,

die correspondeert met

\(|0>|0>\)

, op zichzelf wordt afgebeeld. Idem voor de toestand

\(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

,

dat is

\(|0>|1>\)

.

De toestand

\(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

,

dat is

\(|1>|0>\)

, wordt op

\(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

,

dat is

\(|1>|1>\)

, afgebeeld, en vice versa.

Merk dus op dat we direct productruimte echt als vectorruimte willen opvatten, en dat we de elementen dus ook als vectoren schrijven. Het is immers slecht dankzij die identificatie dat de CNOT als een matrix kan worden geschreven.

[ps2martin]

Bedankt voor je uitleg. Nou vraag ik me trouwens ook nog af, weet je toevallig hoe de INEPT puls sequentie in NMRQC leid tot een CNOT gate? De matrix representatie die bij de INEPT hoort (volgens L.M.K. Vandersypen, C.S. Yannoni, I.L. Chuang, Liquid state NMR Quantum Computing, 1992):

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -i & 0 \end{bmatrix}\)

Helaas ben ik niet zo goed met imaginaire getallen. Als chemicus werk ik er ook niet vaak mee. Het resultaat blijft hetzelfde alleen komt er dan zo hier en daar een complexe i bij. Hoe beïnvloed dit de meetbaarheid van de toestand? Of maakt dat verder niet uit?

[eendavid]

Feit is, dat een globale fase van een toestand er niet toe doet. Daarmee bedoel ik dat een toestand

\(|\psi>\)

dezelfde fysische resultaten geeft als een toestand

\(i|\psi>\)

. Dus, zolang je aan de ingang van je systeem een zuivere toestand hebt, dan is er geen probleem. Wanneer je echter met toestanden als

\(a|0,0>+b|0,1>\)

begint te werken, zal de werking complicaties krijgen. Maar waarschijnlijk kan daar wel mee worden omgegaan, of misschien is het niet eens relevant voor de werking (daarvoor ken ik de details niet).