Zie bovenstaande aarde. Je begint op positie
\((x,y) = (0,R_{aarde})\)
. Je springt omhoog met een beginsnelheid
\(v_{0y}\)
en had al een horizontale snelheid van
\(v_{0x} = \frac{R_{aarde}}{T_{aarde}}\)
. De enige kracht die werkt is de zwaartekracht. Deze werkt altijd richting het middelpunt van de aarde. Deze zwaartekracht F kun je op ieder punt ontbinden in een kracht in de x-richting en een kracht in de y-richting, zoals op twee punten in het plaatje is voorgedaan. Er geldt:
\(F_x = -\frac{m G M}{x^2 + y^2} \sin (\phi)\)
\(F_y = -\frac{m G M}{x^2 + y^2} \cos (\phi)\)
\(\phi= \arctan (\frac{y}{x})\)
Invullen van de onderste vergelijking in de bovenste twee en invullen van
\(F = m a\)
geeft dan de volgende twee differentiaalvergelijkingen:
\(F_x = - m G M \frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} = m \frac{d^2x}{dt^2}\)
\(F_y = - m G M \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} = m \frac{d^2y}{dt^2}\)
We hebben nu twee gekoppelde tweede orde differentiaalvergelijkingen, met vier beginvoorwaarden, dus in principe is er een unieke oplossing mogelijk. Helaas is het me nog niet gelukt om deze op te lossen, ik hoop dat dit me wel nog gaat lukken als ik me nog eens ga verdiepen in mijn mathematische fysica en gebruik ga maken van het formalisme van Hamilton.
Indien je bovenstaand stelsel hebt opgelost, kun je uitrekenen waar je landt. Dan nog even uitrekenen hoe veel verder de aarde is rondgedraaid en je hebt je antwoord.
