Hier dan een afleiding van de schijnkrachten in een eenparig roterend assenstelsel:
We gaan uit van twee assenstelsels: namelijk het xyz-stelsel en het x'y'z'-stelsel. De z-as en de z'-as vallen samen. Het xyz-stelsel wordt beschouwd als inertiaalstelsel. Het x'y'z'-stelsel roteert ten opzichte van het xyz-stelsel. De Wetten van Newton gelden dus in het xyz-stelsel. We kunnen plaatsveranderingen bij toepassing van de Wetten van Newton dus zonder problemen uitdrukken in de coördinaten van dit xyz-stelsel. (Voor het x'y'z'-stelsel geeft dat problemen, die echter door de invoering van schijnkrachten kunnen worden opgelost.)
- Vooraanzicht 1149 keer bekeken
Een situatieschets van de samenhang van de twee assenstelsels vind je in het "Vooraanzicht". Voor het rekenen in het xyz-stelsel is het ook handig gebruik te maken van de eenheidsvectoren voor de x-as, de y-as en de z-as die we zullen noteren als respectievelijk:
\( \overrightarrow{e_x} \)
,
\( \overrightarrow{e_y} \)
en
\( \overrightarrow{e_z} \)
. Zodat:
\(\overrightarrow{OP} = x . \overrightarrow{e_x} + y . \overrightarrow{e_y} + z . \overrightarrow{e_z} \)
.
Voor het x'y'z'-stelsel zijn de eenheidsvectoren voor de x'-as, de y'-as en z'-as dan
\( \overrightarrow{e_{ x'}} \)
,
\( \overrightarrow{e_{y'}}\)
en
\( \overrightarrow{e_{z'}} \)
. Hier geldt op dezelfde wijze:
\(\overrightarrow{OP} = x' . \overrightarrow{e_{x'}} + y' . \overrightarrow{e_{ y'}} + z' . \overrightarrow{e_{ z'}} \)
.
De eenheidsvectoren staan getekend in het schetsje "Verdraaide eenheidsvectoren".
[attachment=5383:Verdraai...vectoren.JPG]
Voor het gemak bekijken we alle veranderingen ten opzichte van het inertiale xyz-stelsel. De afgeleiden naar de tijd van de eenheidsvectoren
\( \overrightarrow{e_x} \)
,
\( \overrightarrow{e_y} \)
en
\( \overrightarrow{e_z} \)
zijn dan
\( \scriptstyle \overrightarrow{0} \)
.
Als P een massapunt met massa m is waarop een kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F} \)
werkt, moet dan gelden:
\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 \overrightarrow{OP}}{dt^2} \)
.
Uitschrijven geeft:
\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 (x . \overrightarrow{e_x} + y . \overrightarrow{e_y} + z . \overrightarrow{e_z} )}{dt^2} \)
,
\( \overrightarrow{F} = m . \frac{d^2 x}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_x} + m . \frac{d^2 y}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_y} + m . \frac{d^2 z}{dt^2} \, . \, \overrightarrow{e_z} \)
.
Nu kunnen we
\( \scriptstyle \overrightarrow{F} \)
ontbinden in componenten langs de x-as, de y-as en de z-as. Aldus:
\( \overrightarrow{F} = F_x \, . \, \overrightarrow{e_x} + F_y \, . \, \overrightarrow{e_y} + F_z \, . \, \overrightarrow{e_z} \)
.
Oftewel:
\( F_x = m . \frac{d^2 x}{dt^2} \)
,
\( F_y = m . \frac{d^2 y}{dt^2} \)
,
\( F_z = m . \frac{d^2 z}{dt^2} \)
.
Dit is allemaal keurig zoals het hoort.
We nemen aan dat het x'y'z'-stelsel eenparig ten opzichte van het xyz-stelsel roteert. In het bijzonder stellen we:
\( \varphi = \omega . t \)
.
Dan gaat de bovenstaande fraaie afleiding voor het x'y'z'-stelsel niet meer op omdat de eenheidsvectoren
\( \overrightarrow{e_{ x'}} \)
en
\( \overrightarrow{e_{y'}} \)
ronddraaien.
- Bovenaanzicht 1149 keer bekeken
Uit het "Bovenaanzicht" zien we dat:
\( \overrightarrow{e_{x'}} = \cos \varphi \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \sin \varphi \, . \overrightarrow{e_y} \)
,
\( \overrightarrow{e_{y'}} = -\sin \varphi \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \cos \varphi \, . \overrightarrow{e_y} \)
.
Zodat:
\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \frac{d \cos \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \frac{d \sin \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_y} \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = (- \sin \varphi ) \, . \, \omega \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, (\cos \varphi ) \, . \omega \, . \overrightarrow{e_y} \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \omega \, . (- \sin \varphi \, . \, \overrightarrow{e_x} \, + \, \cos \varphi \, . \, \overrightarrow{e_y}) \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} = \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \)
.
\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = \frac{d (- \sin \varphi)}{dt} \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, \frac{d \cos \varphi}{dt} \, . \overrightarrow{e_y} \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = (- \cos \varphi ) \, . \, \omega \, . \overrightarrow{e_x} \, + \, (-\sin \varphi ) \, . \omega \, . \overrightarrow{e_y} \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = - \omega \, . ( \cos \varphi \, . \, \overrightarrow{e_x} \, + \, \sin \varphi \, . \, \overrightarrow{e_y}) \)
,
\( \frac {d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} = - \omega \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \)
.
Voor de versnelling
\(\overrightarrow{a}\)
van P uitgedrukt in de eenheidsvectoren van het x'y'z'-stelsel vinden we:
\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 \overrightarrow{OP}}{dt^2} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 (x' . \overrightarrow{e_{x'}} + y' . \overrightarrow{e_{y'}} + z' . \overrightarrow{e_{z'}} )}{dt^2} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \frac{d^2 (x' . \overrightarrow{e_{x'}})}{dt^2} + \frac{d^2 (y' . \overrightarrow{e_{y'}})}{dt^2} + \frac{d^2 (z' . \overrightarrow{e_{z'}})}{dt^2} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d (x' . \overrightarrow{e_{x'}})}{dt} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{ \frac{d (y' . \overrightarrow{e_{y'}})}{dt} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d x'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + x'. \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} + y'. \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \frac{d}{dt} \left \{\frac{d x'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + x' \, . \, \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right \} + \frac{d}{dt} \left \{\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} + y'. (- \omega ) \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right \} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a}= \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d x'}{dt} . \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} + \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + \omega \, . \, x' \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d y'}{dt} . \frac{d \overrightarrow{e_{y'}}}{dt} + ( - \omega ) \, . \, \frac {dy'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega ) \, . \, y' \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_{x'}}}{dt} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a} = \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d x'}{dt} \, . \, \omega \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega ) \, . \, \frac {dy'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a}= \left (\frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + 2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + \left (\frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \)
,
\( \overrightarrow{a}= \left (2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
,
\( \overrightarrow{a} = \left (2 \omega \, . \, \frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} + (- 2 \omega ) \, . \frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} + (- \omega^2 ) \, . \, x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + ( - \omega^2 ) \, . \, y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} \right ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
,
\( \overrightarrow{a}= 2 \omega \, . \, \left (\frac {dx'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} \right ) + (- \omega^2 ) \, . \, ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
.
Hier treden dus twee termen met de dimensie van een versnelling op die we in het geval van het xyz-stelsel niet tegen kwamen. Dit zijn de zogeheten
Coriolisversnelling \(\overrightarrow {a_C} \)
en de
middelpuntvliedende versnelling \(\overrightarrow {a_m} \)
. We schrijven:
\(\overrightarrow {a_C} = -2 \omega \, . \, \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)
,
\(\overrightarrow {a_m} = \omega^2 \, . \, ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) \)
.
Zodat:
\( \overrightarrow{a} = - \overrightarrow {a_C} - \overrightarrow {a_m} + \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
,
\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow {a_C} + \overrightarrow {a_m} = \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
,
\( m . \overrightarrow{a} + m . \overrightarrow {a_C} + m . \overrightarrow {a_m} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
.
Door de Coriolisversnelling en de middelpuntvliedende versnelling naar de linker kant van de vergelijking te brengen en alle termen met de massa m te vermenigvuldigen wordt het mogelijk deze extra versnellingen als corresponderend met extra (schijn)krachten te herinterpreteren. Dit is de wiskundige truc waarop het gebruik van schijnkrachten gebaseerd is. De eerste term is gewoon de kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)
op het massapunt P en de tweede en de derde term zijn grootheden die ook de dimensie van een kracht hebben. We zullen voor deze tweede en derde term
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)
en
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)
schrijven. De schijnkracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)
wordt de
Corioliskracht genoemd en de schijnkracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)
de
middelpuntvliedende kracht. Omdat deze "krachten" slechts
wiskundige hulpmiddelen zijn en niet met een
fysische wisselwerking corresponderen, doen we er goed aan ze consequent als
schijnkrachten te betitelen. We hebben dus:
\(\overrightarrow {F_C} = m \, . \overrightarrow{a_C} \)
,
\(\overrightarrow {F_C} = m \, . \, ( - 2 \omega ) \, . \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)
,
\(\overrightarrow {F_C} = - 2 m \, \omega \, \left (\frac {dx'}{dt} . \overrightarrow{e_{y'}} -\frac{d y'}{dt} . \overrightarrow{e_{x'}} \right ) \)
.
\(\overrightarrow {F_m} = m \, . \overrightarrow{a_m} \)
,
\(\overrightarrow {F_m} = m \, . \, \omega^2 . ( x' \, . \, \overrightarrow{e_{x'}} + y' \, . \, \overrightarrow{e_{y'}} ) \)
.
Zodat:
\( \overrightarrow{F} + \overrightarrow {F_C} + \overrightarrow {F_m} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
.
Als we de som van de werkelijke kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)
en de twee schijnkrachten
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)
en
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)
als
\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)
aanduiden, komt er dus:
\( \overrightarrow{F'} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
.
Deze kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)
kan weer ontbonden worden in componenten langs de x'-as, de y'-as en de z'-as. Oftewel:
\( F'_{x'} . \overrightarrow{e_{x'}} + F'_{y'} . \overrightarrow{e_{y'}} + F'_{z'} . \overrightarrow{e_{z'}} = m . \left ( \frac{d^2 x'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{x'}} + \frac{d^2 y'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{y'}} + \frac{d^2 z'}{dt^2} . \overrightarrow{e_{z'}} \right ) \)
.
Dit leidt tenslotte tot:
\( F'_{x'} = m . \frac{d^2 x'}{dt^2} \)
,
\( F'_{y'} = m . \frac{d^2 y'}{dt^2} \)
,
\( F'_{z'} = m . \frac{d^2 z'}{dt^2} \)
.
We kunnen de bewegingen van het massapunt P uitgedrukt in de coördinaten van het roterende x'y'z'-stelsel dus uitrekenen
alsof we met een inertiaalstelsel te doen hadden. Hiertoe moeten we de werkelijke kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)
op het massapunt P vervangen door de "somkracht"
\( \scriptstyle \overrightarrow{F'}\)
bestaande uit de vectoriële som van de werkelijke kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F}\)
, de Corioliskracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_C}\)
en de middelpuntvliedende kracht
\( \scriptstyle \overrightarrow{F_m}\)
.
Nu nog even de springende persoon in het aardse draaiende referentiestelsel uitrekenen. :eusa_whistle:
