afleiding schrodinger vgl

[Dr-Z]

Halo, wilt iemand me a.u.b de schrodinger vergelijking afleiden?

alvast bedank

[Stef]

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...?showtopic=6808

[Dr-Z]

ik ken de vergelijking, maar ik wil de afleiding er van

[Bart]

http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0205047

[Dr-Z]

Ik kan ook even googlen om zulke afleiding te kunnen vinden. het idee is om de afleiding hier te plaatsen en mischien er over te discussieren?

[Bart]

Ik kan ook even googlen om zulke afleiding te kunnen vinden. het idee is om de afleiding hier te plaatsen en mischien er over te discussieren?

Ik weet niet wat er valt te discussieren over een afleiding. Verder denk ik dat het gros van de forumgangers moeite zullen hebben met het volgen van de afleiding.

[haushofer]

Ik kan ook even googlen om zulke afleiding te kunnen vinden. het idee is om de afleiding hier te plaatsen en mischien er over te discussieren?

Ik weet niet wat er valt te discussieren over een afleiding. Verder denk ik dat het gros van de forumgangers moeite zullen hebben met het volgen van de afleiding.

Nou, ik vind jouw linkje wel erg leuk. Heb er zelf nog niet zo tegenaangekeken, en ik kan me nog best de verwarring herinneren toen ik dat ding voor het eerst zag ( kwam ook door dhr Griffiths, in mn 2e jaar ). Er zijn verschillende manieren om er tegenaan te kijken; daar valt toch best iets leuks over te vertellen?

[physicalattraction]

Ik ben bezig met het afleiden van de Schrödingervergelijking uit het padformalisme van Feynman. Ik heb het boek Quantum Transport Theory van J. Rammer voor me liggen. Hij stelt hierin het volgende:

\(\psi(x,t) = \int \mathrm{d}x' K(x,t;x',t') \psi(x',t')\)

,

waarbij K de conditional probability amplitude is. Merk op dat x hier een drie-dimensionale vector is. Voor een Lagrangiaan

\(L(x,\dot{x},t) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x,t)\)

, geldig voor een deeltje met massa m in een potentiaal V, vindt hij een uitdrukking voor K voor een infinitesimale tijd

\(\Delta t\)

:

\(K(x,t+\Delta t;x',t) = \frac{1}{\Bigl(\frac{2 \pi \hbar i \Delta t}{m}\Bigr)^{3/2}} e^{\frac{i}{\hbar} \frac{m (x-x')^2}{2 \Delta t} - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\frac{x+x'}{2},t)}\)

.

Dit is niet direct triviaal, maar de afleiding staat in het boek, maar die zal ik hier maar besparen. Deze twee vergelijkingen kun je nu combineren tot:

\(\psi(x,t+\Delta t) = \int \mathrm{d}x' \frac{1}{\Bigl(\frac{2 \pi \hbar i \Delta t}{m}\Bigr)^{3/2}} e^{\frac{i}{\hbar} \frac{m (x-x')^2}{2 \Delta t} - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(\frac{x+x'}{2},t)} \psi(x',t')\)

.

Nu introduceert hij de variabele

\( \bar{x} = x - x'\)

en doet een Taylor expansie aan beide kanten voor de laagste orde termen in

\(\Delta t\)

:

\(\psi(x,t) + \Delta t \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \Bigl( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t}\Bigr)^{3/2} \int \mathrm{d}\bar{x} e^{\frac{i}{\hbar} \frac{m \bar{x}^2}{2 \Delta t}} \Bigl[ 1 - \frac{i}{\hbar} \Delta t V(x,t) + \hdots \Bigr] \cdot \Bigl[\psi(x,t) - \bar{x} \cdot \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} + \frac{1}{2} \bar{x}_{\alpha} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}} \bar{x}_{\beta} + \hdots \Bigr]\)

.

Tot hier snap ik het, maar nu staat er letterlijk: performing the Gaussian integrals we obtain the Schrödinger equation for a particle in a potential

\(i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t) \Bigr) \psi(x,t)\)

.

Weet iemand hoe hij hierbij komt? Ik heb al gezocht op Gaussian integral op Wikipedia, maar daarmee heb ik dit probleem niet kunnen oplossen. Enig idee hoe je van de een na laatste formule naar de laatste formule komt?

p.s. Ik hoop trouwens dat de TeX code te lezen is voor iedereen. Zo niet, dan moet je het even zeggen, dan probeer ik het te verbeteren of een plaatje te posten met de formules.

[phoenixofflames]

Ik denk dat hij die [1 - ... V]*Psi(x,t) buiten de integraal brengt, al de rest verwaarloost en uiteindelijk dit

\(\int \mathrm{d}\bar{x} e^{\frac{i}{\hbar} \frac{m \bar{x}^2}{2 \Delta t}}\)

integreert. Merk op dat x niet de integratievariabele is.

EDIT: Maar dan komt het nog niet uit.

[phoenixofflames]

Tuurlijk komt het niet uit. Je moet ook de term in

\(\bar{x}^2\)

meenemen...

de term in

\(\bar{x}\)

geeft 0 omdat het integrandum oneven is. De integralen met

\(\bar{x}^0\)

en

\(\bar{x}^²\)

hebben een gesloten vorm. De golffunctie hangt af van x en niet van

\(\bar{x}\)

en mag dus als constant beschouwd worden onder de integraal.

http://books.google.be/books?id=dcpJqS9N4d...ion&f=false

p. 32

en

http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals

onder "Definite integrals lacking closed-form antiderivatives"

[physicalattraction]

Hoe integreer je dan

\(\int \mathrm{d}\bar{x} e^{\frac{i}{\hbar} \frac{m \bar{x}^2}{2 \Delta t}}\)

? Ik dacht eerst met behulp van de standaardintegraal

\(\int \mathrm{d}x e^{-ax^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\)

(in één dimensie), maar die gaat ervan uit dat Re(-a) < 0. Hier is de exponent echter volledig imaginair. Is deze integraal wel gedefinieerd?

[phoenixofflames]

Er bestaat een veralgemening van

http://en.wikipedia.org/wiki/Common_integr...um_field_theory

"Integrals with a complex argument of the exponent"

[physicalattraction]

Maar ook hier staat: "This result is valid as an integration in the complex plane as long as

\(a\)

has a positive imaginary part." In dit geval is

\(a = \frac{1}{\hbar} \frac{m \bar{x}^2}{2 \Delta t}\)

en heeft dus geen positief imaginair gedeelte.