Draait de aarde onder me door?

[Bartjes]

Nog even een vraagje:

Vraag 809 keer bekeken

De aardbol is voorgesteld als een ideale bol met straal R. Het beginpunt van de sprong is B en het eindpunt van de sprong is E. De springende persoon blijft in het vlak door B en E en het middelpunt van de aardbol. Stel dat de hoek β die hij in dit vlak aflegt bekend is. Verder nemen we ook aan dat de lengtegraad λ_B en de breedtegraad φ_B bekend zijn. (De baan van de sprong zelf is hier voor de duidelijkheid niet getekend.) Hoe berekenen we nu de exacte waarde van de lengtegraad λ_E en de breedtegraad φ_E van zijn eindpunt E?

[In physics I trust]

Over dat programmaatje:

Calculation range: 1.7e 308 to 5e-324

Accuracy: 18 digits

Display : 15 digits

Wolfram lijkt me wel sterker, en gezien de grootte van de effecten die we in beschouwing nemen, misschien niet slecht;

http://reference.wolfram.com/mathematica/t...lPrecision.html

Voor de berekening: heb je het eindpunt nodig voor de berekening? Ik bedoel, als je een perfecte bol beschouwt, is de vraag naar de exacte lengte en breedtegraad toch net dezelfde als de vraag naar zijn afwijking in richting x en richting y? Of ben ik verkeerd?

[Bartjes]

Over dat programmaatje:

Calculation range: 1.7e 308 to 5e-324

Accuracy: 18 digits

Display : 15 digits

Wolfram lijkt me wel sterker, en gezien de grootte van de effecten die we in beschouwing nemen, misschien niet slecht;

http://reference.wolfram.com/mathematica/t...lPrecision.html

Ik heb een formule in Wolfram proberen in te voeren, maar voordat ik klaar was kon er al niets meer bij. Het kan ook best zijn ik iets verkeerd doe. Ik ben het volstrekt niet gewend met zulke programma's te werken. Als ik eruit ben en mijn afleidingen netjes heb uitgewerkt, zal ik de uiteindelijke berekeningen wel overlaten aan hen die er meer verstand van hebben dan ikzelf.

Voor de berekening: heb je het eindpunt nodig voor de berekening? Ik bedoel, als je een perfecte bol beschouwt, is de vraag naar de exacte lengte en breedtegraad toch net dezelfde als de vraag naar zijn afwijking in richting x en richting y? Of ben ik verkeerd?

Ik werk in een referentiestelsel dat niet met de aarde mee roteert. Daardoor kan ik de Wetten van Kepler gebruiken. Zo vind ik uiteindelijk een hoek β tussen begin- en eindpunt van de sprong. Deze hoek ligt echter in een ander vlak dan dat waarin een op de aarde achterblijvende waarnemer roteert. Nemen we aan dat de op aarde achterblijvende waarnemer zich bij het begin van de sprong eveneens op het punt B bevindt. Deze op aarde achterblijvende waarnemer roteert dan tezamen met de aarde in het paarse vlak. De doorsnede met de aardbol van het vlak waarin de springende persoon "rondvliegt" is lichtblauw gekleurd. Als je de tijdsduur van de sprong weet kan je eenvoudig uitrekenen waar de op aarde achterblijvende waarnemer dan is. De springende persoon zal zich bij het neerkomen echter inmiddels op een andere breedtegraad bevinden. Het vlak waarin de springer beweegt is immers gekanteld ten opzichte van dat waarin de achterblijvende waarnemer roteert. Het gaat hier natuurlijk om minuscule effecten, maar het lijkt mij wel leuk om een exacte formule te vinden voor de totale afwijking.

[In physics I trust]

maar het lijkt mij wel leuk om een exacte formule te vinden voor de totale afwijking.

Zeker ^^.

maar voordat ik klaar was kon er al niets meer bij

Was dat de webversie?

[Bartjes]

Was dat de webversie?

Inderdaad. Maar misschien wil je zelf mijn eerder geplaatste voorlopige formules proberen? Daarin is:

h = hoogte van de sprong

α = β/2 (zie tekening)

R = de straal van de aarde

Ω = de hoekfrequentie van de draaiing aarde

φ = φ_B (zie tekening)

M = de massa van de aarde

γ = de universele gravitatieconstante

[Bartjes]

Hoe berekenen we nu de exacte waarde van de lengtegraad λ_E en de breedtegraad φ_E van zijn eindpunt E?

Ik kom er wel uit: het is een kwestie van de juiste aanzichten gebruiken. Met plaatjes van het bovenaanzicht en het zijaanzicht van het lichtblauwe vlak is φ_E eenvoudig te vinden. Voor λ_E gebruiken we de gevonden waarde van φ_E en het bovenaanzicht van de gehele situatie. Dat geeft een plaatje met drie cirkels en een ellips waaruit het verschil λ_E - λ_B te vinden is.

[In physics I trust]

Ik was er intussen ook net achter

Enkele schetsen helpen soms!

[Bartjes]

We gaan weer uit van de eerder gegeven situatie waarbij we φ_E en λ_E zoeken. Voor het gemak veronderstellen we dat al de hoeken β, φ_B, φ_E, λ_B en λ_E tussen 0 en π/2 rad liggen, wat voor Nederland en België alleszins redelijk is.

Vraagje 808 keer bekeken

Het onderstaande Bovenaanzicht van het Sprongvlak levert R.cos β voor de getekende projectie.

[attachment=5434:Bovenaan...rongvlak.JPG]

In het onderstaande Zijaanzicht van het Sprongvlak is dit resultaat overgenomen:

[attachment=5435:Zijaanzi...rongvlak.JPG]

Uit dit Zijaanzicht van het Sprongvlak lezen we nu af dat:

\( R . \sin \varphi_E = \frac{R \cos \beta}{R} . R \sin \varphi_B \)

,

\( \sin \varphi_E = \cos \beta \, . \sin \varphi_B \)

.

Oftewel:

\( \varphi_E = \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) \)

.

In het onderstaande Bovenaanzicht van de Gehele Situatie kunnen we φ_E nu bekend veronderstellen. De doorsnede met de aardbol van het vlak waarin de sprong plaats vindt is een cirkelschijf. In dit bovenaanzicht zien we echter een ellipsschijf omdat het sprongvlak ten opzichte van het vlak door de evenaar gekanteld is.

[attachment=5437:Bovenaan...Situatie.JPG]

Voor de ellips moet gelden:

\( \left (\frac{x}{a} \right )^2 + \left (\frac{y}{b} \right )^2 = 1 \)

.



Voor x = 0 zien we dat:

\( b = R \cos \varphi_B \)

.

Voor y = 0 zien we dat:

\( a = R \)

.

Dus:

\( \left (\frac{x}{R} \right )^2 + \left (\frac{y}{R \cos \varphi_B} \right )^2 = 1 \)

.

Dit geldt dan ook voor de coördinaten van E:

\( \left (\frac{x_E}{R} \right )^2 + \left (\frac{y_E}{R \cos \varphi_B} \right )^2 = 1 \)

,

\( (x_E)^2 + \left (\frac{y_E}{\cos \varphi_B} \right )^2 = R^2 \)

.

Tevens geldt voor de coördinaten van E:

\( (x_E)^2 + (y_E)^2 = (R \, \cos \varphi_E)^2 \)

,

\( (x_E)^2 = (R \, \cos \varphi_E)^2 - (y_E)^2 \)

.

Invullen in de ellipsvergelijking geeft:

\( (R \, \cos \varphi_E)^2 - (y_E)^2 + \left (\frac{y_E}{\cos \varphi_B} \right )^2 = R^2 \)

,

\( - (y_E)^2 + \left (\frac{y_E}{\cos \varphi_B} \right )^2 = R^2 - (R \, \cos \varphi_E)^2 \)

,

\( (y_E)^2 \, . \left ( \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} - 1 \right ) = R^2 (1 - \cos^2 \varphi_E ) \)

,

\( (y_E)^2 \, . \left ( \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} - \frac{\cos^2 \varphi_B}{\cos^2 \varphi_B} \right ) = R^2 \sin^2 \varphi_E \)

,

\( (y_E)^2 \, . \frac{1 - \cos^2 \varphi_B}{\cos^2 \varphi_B} = R^2 \sin^2 \varphi_E \)

,

\( (y_E)^2 \, . \frac{\sin^2 \varphi_B}{\cos^2 \varphi_B} = R^2 \sin^2 \varphi_E \)

,

\( (y_E)^2 \, . \tan^2 \varphi_B = R^2 \sin^2 \varphi_E \)

,

\( (y_E)^2 = R^2 \, . \frac{\sin^2 \varphi_E}{\tan^2 \varphi_B} \)

,

\( (y_E)^{-2} = R^{-2} \, . \frac{\tan^2 \varphi_B}{\sin^2 \varphi_E} \)

.

De eerder gevonden formule voor (x_E)² kunnen we als volgt omschrijven:

\( (x_E)^2 = (R \, \cos \varphi_E)^2 - (y_E)^2 \)

,

\( \frac{(x_E)^2}{(y_E)^2} = \frac{(R \, \cos \varphi_E)^2}{(y_E)^2} - 1 \)

,

\( \left (\frac{- x_E}{y_E} \right )^2 = R^2 \, . \cos^2 \varphi_E \, . \, (y_E)^{-2} \, - \, 1 \)

.

Derhalve zien we dat:

\( \left (\frac{- x_E}{y_E} \right )^2 = R^2 \, . \cos^2 \varphi_E \, . \, R^{-2} \, . \frac{\tan^2 \varphi_B}{\sin^2 \varphi_E} \, - \, 1 \)

,

\( \left (\frac{- x_E}{y_E} \right )^2 = \frac{\cos^2 \varphi_E}{\sin^2 \varphi_E} \, . \, \tan^2 \varphi_B \, - \, 1 \)

,

\( \left (\frac{- x_E}{y_E} \right )^2 = \tan^{-2} \varphi_E \, . \, \tan^2 \varphi_B \, - \, 1 \)

,

\( \left (\frac{- x_E}{y_E} \right )^2 = \frac{\tan^2 \varphi_B}{\tan^2 \varphi_E} - 1 \)

,

\( \frac{- x_E}{y_E} \right = \sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1} \)

.

Het Bovenaanzicht van de Gehele Situatie leert ons dat:

\( \frac{-x_E}{y_E} = \tan(\lambda_E - \lambda_B) \)

.

Zodat:

\( \tan(\lambda_E - \lambda_B) = \sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1} \)

,

\( \lambda_E - \lambda_B = \arctan{\sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1}} \)

,

\( \lambda_E = \lambda_B \, + \, \arctan{\sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1}} \)

.

Weer een stapje verder. Wanneer we de uiteindelijke formule voor de afwijking bij neerkomst hebben, mogen we haar wel inlijsten!

[In physics I trust]

Erg knap!

Wat bedoel je exact met

In het onderstaande Bovenaanzicht van de Gehele Situatie kunnen we φE nu bekend veronderstellen. De doorsnede met de aardbol van het vlak waarin de sprong plaats vindt is een cirkelschijf. In dit bovenaanzicht zien we echter een ellipsschijf omdat het sprongvlak ten opzichte van het vlak door de evenaar gekanteld is.

[In physics I trust]

tekening 810 keer bekeken

Ik zal mijn vraag even verduidelijken: je beschouwt het bovenaanzicht van het sprongvlak als een cirkel, of vergis ik me?

Maar aangezien het sprongvlak gekanteld ligt, zal het in bovenzicht toch geen exacte cirkel zijn? Als je nu als gedachte-experiment een veel grotere hoek krijgt, krijg je ongeveer het effect zoals op bovenstaande schets: van bovenaf gezien is het sprongvlak veel 'smaller' dan het perfecte cirkelvlak op de 0'de breedtegraad.

Ik heb twee verticalen bijgetekend: om aan te duiden dat het bovenaanzicht volgens mij geen cirkel zal zijn. Vandaar dat ik een beetje met je verdere berekeningen in de knoop zat.

Maar misschien heb ik het verkeerd?

[Bartjes]

[attachment=5449:tekening.png] Ik zal mijn vraag even verduidelijken: je beschouwt het bovenaanzicht van het sprongvlak als een cirkel, of vergis ik me?

Maar aangezien het sprongvlak gekanteld ligt, zal het in bovenzicht toch geen exacte cirkel zijn? Als je nu als gedachte-experiment een veel grotere hoek krijgt, krijg je ongeveer het effect zoals op bovenstaande schets: van bovenaf gezien is het sprongvlak veel 'smaller' dan het perfecte cirkelvlak op de 0'de breedtegraad.

Ik heb twee verticalen bijgetekend: om aan te duiden dat het bovenaanzicht volgens mij geen cirkel zal zijn. Vandaar dat ik een beetje met je verdere berekeningen in de knoop zat.

Maar misschien heb ik het verkeerd?

Het plaatje genaamd "Bovenaanzicht Sprongvlak" geeft aan hoe de doorsnede met de aardbol van het vlak waarin de springer tijdens zijn sprong beweegt eruit ziet als je dit vanuit een positie boven dit vlak in een richting loodrecht op dit vlak bekijkt. Omdat dit vlak het zwaarte- en dus middelpunt van de aarde bevat zie je dan een cirkelschijf met straal R (R is de straal van de aarde).

In het plaatje "Bovenaanzicht Gehele Situatie" bekijk je het geheel vanuit een positie boven de "Noordpool". Je ziet dat "de doorsnede met de aardbol van het vlak waarin de springer tijdens zijn sprong beweegt" er dan inderdaad uitziet als een ellips.

In het plaatje "Zijaanzicht Sprongvlak" kijk je nog weer vanuit een andere richting en zie je het bewuste vlak als een lijnstuk.

Geeft dit een antwoord op je vraag?

Er is nog wel een ander tricky punt, en dat is het gebruik dat ik hier maak van de lengte- en de breedtegraad. Deze zaken zijn eigenlijk gedefinieerd voor een referentiestelsel dat met de aarde mee draait. Anders zou de lengtegraad van bijvoorbeeld Amsterdam voortdurend veranderen. Om naderhand de Wetten van Kepler te kunnen gebruiken hebben we echter een referentiestelsel nodig dat niet met de aarde mee draait. Dit kan dan bij benadering als een inertiaalstelsel worden beschouwd. De rotatieas en het equatoriale vlak van de aarde zijn bekend. Het zwaarte- en middelpunt van de aarde eveneens. Deze kunnen we voor ons niet-roterende referentiestelsel evengoed gebruiken. Als "positieve richting" van de rotatieas nemen we de kant van de Noordpool. Nu hebben we voor ons niet-roterende referentiestelsel nog een nulmeridiaan nodig. Het probleem met de nulmeridiaan van Greenwich is dat deze in een etmaal met de aarde mee ronddraait. Om de zaak toch vast te leggen stellen we dat op het tijdstip waarop de springer zijn sprong begint de nulmeridiaan van ons niet-roterende referentiestelsel met de nulmeridiaan van Greenwich samenvalt.

Door deze opzet zijn de breedtegraden φ zoals hier gebruikt voor alle punten op een afstand R van O gelijk aan de conventionele breedtegraden. Maar de lengtegraden λ zijn enkel op het aanvangstijdstip van de sprong (en één of meerdere etmalen eerder of later) gelijk aan de conventionele lengtegraden. De lengtegraad waarop de sprong begint speelt natuurkundig geen rol. De gemaakte afspraken dienen dan ook enkel voor een gemakkelijker bewijsvoering.

[In physics I trust]

OK, dat geeft zeker een antwoord op de vraag, ik zie het verschil in nu, bedankt!

Goed dat je die opmerking maakt over de breedte- en lengtegraad, want dat zou ik waarschijnlijk ook over het hoofd hebben gezien.

[Bartjes]

Om de afwijking bij de sprong te kunnen berekenen moeten we nog één extra punt op het boloppervlak in het niet-roterende referentiestelsel weten. Het vertrekpunt op de aardkorst vanwaar de springer zijn sprong begon is door de draaiing van de aarde tijdens zijn sprong over een zekere hoek verdraaid. De plaats waar dit punt van de aardkorst zich op het moment van neerkomen van de springer bevindt zullen we met D aangeven. We noemen dit het Verdraaide Punt. In onderstaande tekening zijn de drie belangrijke punten in het niet-roterende referentiestelsel nog eens aangegeven.

[attachment=5455:Beginpun...aid_Punt.JPG]

B is het beginpunt van de sprong, E het eindpunt van de sprong, en D het verdraaide punt.

We geven de tijdsduur van de sprong aan met τ. De hoekfrequentie van de aardrotatie noteren we als Ω. Voor de breedtegraad en lengtegraad van D in het niet-roterende referentiestelsel schrijven we respectievelijk φ_D en λ_D. Dan is het - rekening houdend met de draairichting van de aarde - duidelijk dat:

\( \varphi_D = \varphi_B \)

,

\( \lambda_D = \lambda_B + \Omega . \tau \)

.

[Bartjes]

Eerder vonden we (in bericht # 114):

\( \varphi_E = \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) \)

,

\( \lambda_E = \lambda_B \, + \, \arctan{\sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1}} \)

.

Voor het gemak hebben we daarbij verondersteld dat al de hoeken β, φ_B, φ_E, λ_B en λ_E tussen 0 en π/2 rad liggen. Deze onderstelling zullen we ook in onderstaande afleiding gebruiken. Voor het vervolg is het handig λ_E direct in β, λ_B en φ_B te kunnen uitdrukken. Dus zonder de omweg via φ_E. Deze formule vinden we aldus:

\( \varphi_E = \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) \)

,

\( \sin \varphi_E = \cos \beta \, . \sin \varphi_B \)

.

En:

\( \tan \varphi_E = \frac{\sin \varphi_E}{\cos \varphi_E} \)

,

\( \tan \varphi_E = \frac{\sin \varphi_E}{\sqrt{1 - \sin^2 \varphi_E}} \)

.

Dus:

\( \tan \varphi_E = \frac{\cos \beta \, . \sin \varphi_B}{\sqrt{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }} \)

.

Vervolgens:

\( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} = \tan \varphi_B \, . (\tan \varphi_E)^{-1} \)

,

\( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} = \tan \varphi_B \, . \left (\frac{\cos \beta \, . \sin \varphi_B}{\sqrt{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }} \right )^{-1} \)

,

\( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} = \frac{\sin \varphi_B}{\cos \varphi_B} \, . \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }}{\cos \beta \, . \sin \varphi_B} \)

,

\( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }}{\cos \beta \, . \cos \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 = \frac{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B }{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} - \frac{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B}{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{1 - \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B - \cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B}{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{1 - \cos^2 \beta \, . (\sin^2 \varphi_B + \cos^2 \varphi_B)}{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{1 - \cos^2 \beta }{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{\sin^2 \beta }{\cos^2 \beta \, . \cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1 = \frac{\tan^2 \beta }{\cos^2 \varphi_B} \)

,

\( \sqrt{\left ( \frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1} = \frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \)

.

Eerder zagen we dat:

\( \lambda_E = \lambda_B \, + \, \arctan{\sqrt{ \left (\frac{\tan \varphi_B}{\tan \varphi_E} \right )^2 - 1}} \)

.

Hetgeen we nu kunnen vervangen door:

\( \lambda_E = \lambda_B + \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) \)

.

[Bartjes]

Voordat iedereen de draad kwijt raakt (inclusief ikzelf), nu eerst een samenvatting van de tot nu toe gevonden resultaten.

Het gaat om de situatie van een persoon die gezien vanaf de roterende aardkorst loodrecht omhoog springt. Dit geval wordt beschouwd in een met het middelpunt van de aarde verbonden maar niet mee roterend referentiestelsel. Het punt vanwaar de springer met zijn sprong begint heet B, dat waar hij neerkomt E, en de plaats waar het punt van de aardkorst vanwaar hij zijn sprong begon is beland op het moment dat hij neerkomt heet D. De tijdsduur van zijn sprong noemen we τ. De hoek tenslotte die de springer in het vlak van zijn sprong tijdens zijn sprong aflegt noemen we β. In onderstaande tekening staat dit aangegeven:

[attachment=5475:Tussenti...nvatting.JPG]

Wat we tot nu toe gevonden hebben zijn formules om de positie van het eindpunt E en het verdraaide punt D uit te rekenen als de positie van het beginpunt B, de duur van de sprong τ, en de hoekverdraaiing van de sprong β gegeven zijn. Dit zijn de volgende formules:

\( \varphi_E = \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) \)

(Uit bericht #114.)

\( \lambda_E = \lambda_B + \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) \)

(Uit bericht # 120.)

\( \varphi_D = \varphi_B \)

(Uit bericht # 119.)

\( \lambda_D = \lambda_B + \Omega . \tau \)

(Uit bericht # 119.)

(Ω is de hoekfrequentie van de aardrotatie.)

Voor de duur van de sprong τ en de hoekverdraaiing van de sprong β zullen we later met behulp van de Wetten van Kepler nog formules afleiden. Maar eerst moeten we uit de posities van het eindpunt E en het verdraaide punt D nog afleiden wat de lengte van het boogje DE over het boloppervlak is.