De
grootte van de momentane toename van de gepasseerde oppervlakte dA/dt volgt uit de omtreksnelheid van de aarde bij het beginpunt B. Hoe dit precies in elkaar steekt bekijken we in dit bericht en het daarop volgende.
- Situatie_bij_B 748 keer bekeken
Neem aan dat B zoals gebruikelijk het beginpunt van de sprong is; H het hoogste punt van de sprong is; en E het eindpunt van de sprong is. Stel verder dat de sprong op het tijdstip t
B aanvangt. Dan neemt in het tijdsinterval van t
B tot t
B + Δt de poolhoek θ toe van θ(t
B) tot θ(t
B + Δt); neemt de lengte r van de voerstraal toe van r(θ(t
B)) tot r(θ(t
B + Δt)); en passeert de voerstraal van de springende persoon P (hier als massapunt gedacht) gedurende dat tijdsinterval precies de perk met oppervlakte ΔA .
Er geldt daarom:
\( \frac{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)}{2 \pi} \, . \, \pi . \{r(\theta(t_B))\}^2 \, < \, \Delta A \, < \, \frac{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)}{2 \pi} \, . \, \pi . \{r(\theta(t_B + \Delta t))\}^2 \)
,
\( \frac{1}{2} . (\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)) . \{r(\theta(t_B))\}^2 \, < \, \Delta A \, < \, \frac{1}{2} . (\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)) . \{r(\theta(t_B + \Delta t))\}^2 \)
,
\( \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \, < \, \frac{\Delta A}{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)} \, < \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B + \Delta t))\}^2 \)
.
Verder:
\( \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \, = \, \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B + \Delta t))\}^2 \, = \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \)
.
Zodat:
\( \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)} \, = \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \)
,
\( \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \left ( \frac{\Delta A}{\Delta t} \, . \, \frac{\Delta t}{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)} \right ) \, = \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \)
,
\( \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta t} \, \, . \, \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta t}{\theta(t_B + \Delta t) - \theta(t_B)} \, = \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \)
,
\( \frac{d A}{d t} \, . \, \left (\frac{d \theta}{d t}(t_B) \right )^{-1} \, = \, \frac{1}{2} . \{r(\theta(t_B))\}^2 \)
,
\( \frac{d A}{d t} \, = \, \frac{1}{2} \, . \, r(\theta(t_B))\, \{ r(\theta(t_B)) \, . \, \frac{d \theta}{d t}(t_B) \} \)
.
Bij het begin van de sprong geldt r(θ(t
B)) = R, dus:
\( \frac{d A}{d t} \, = \, \frac{1}{2} \, . \, R \, .\, \{ r(\theta(t_B)) \, . \, \frac{d \theta}{d t}(t_B) \} \)
.
In een systeem met poolcoördinaten kan een snelheidsvector altijd in twee specifieke snelheidscomponenten ontbonden worden (behalve in de oorsprong of pool
O waar de voerstraal tot een punt is gedegenereerd en de richtingen van de twee componenten derhalve onbepaald zijn). De snelheid
\( \overrightarrow{v_{\theta}} \)
heet de
transversale snelheid. Loodrecht daarop staat de zogeheten
radiale snelheid \( \overrightarrow{v_r} \)
, die in het verlengde van de voerstraal ligt. De transversale snelheidscomponent
\( v_{\theta}\)
wordt positief gerekend in de richting van een toenemende poolhoek θ. De radiale snelheidscomponent
\(v_r\)
wordt positief gerekend in de richting van een toenemende poolstraal. Zie het onderstaande plaatje:
- In_Sprongvlak 747 keer bekeken
Het verband tussen de snelheid
\( \overrightarrow{v} \)
en haar transversale en radiale componenten
\(v_{\theta}\)
en
\(v_r\)
wordt hieronder met behulp van de vier eenheidsvectoren
\( \overrightarrow{e_1}\)
,
\(\overrightarrow{e_2}\)
,
\( \overrightarrow{e_{\theta}}\)
en
\( \overrightarrow{e_r}\)
afgeleid:
\( \overrightarrow{v} = \frac{d \overrightarrow{r}}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d (r . \overrightarrow{e_r})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d \overrightarrow{e_r}}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d (\cos (\theta - \frac{\pi}{2}) \, . \, \overrightarrow{e_1} \, \, + \, \, \sin (\theta - \frac{\pi}{2}) \, . \, \overrightarrow{e_2})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d (\cos (-(\frac{\pi}{2} - \theta)) \, . \, \overrightarrow{e_1} \, \, + \, \, \sin (-(\frac{\pi}{2} - \theta)) \, . \, \overrightarrow{e_2})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d (\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) \, . \, \overrightarrow{e_1} \, \, + \, \, (- \sin (\frac{\pi}{2} - \theta)) \, . \, \overrightarrow{e_2})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d (\sin \theta \, . \, \overrightarrow{e_1} \, \, + \, \, (- \cos \theta) \, . \, \overrightarrow{e_2})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d (\sin \theta \, . \, \overrightarrow{e_1})}{d t} \, + \, r . \frac{d ((-\cos \theta) \, . \, \overrightarrow{e_2})}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d \sin \theta}{d t} \, . \, \overrightarrow{e_1} \, + \, r . \sin \theta \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_1}}{d t} \, + \, r . \frac{d (-\cos \theta) }{d t} \, . \, \overrightarrow{e_2} \, + \, r . (-\cos \theta) \, . \, \frac{d \overrightarrow{e_2}}{d t} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \cos \theta \, . \, \frac{d \theta}{d t} \, . \, \overrightarrow{e_1} \, + \, \overrightarrow{0} \, + \, r . \sin \theta \, . \, \frac{d \theta }{d t} \, . \, \overrightarrow{e_2} \, + \, \overrightarrow{0} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d \theta}{d t} \, . \{\cos \theta \, . \, \overrightarrow{e_1} \, + \, \sin \theta \, . \, \overrightarrow{e_2}\} \)
,
\( \overrightarrow{v} = \frac{d r}{d t} . \overrightarrow{e_r} \, + \, r . \frac{d \theta}{d t} \, . \overrightarrow{e_{\theta}} \)
.
Voor de radiale snelheidscomponent
\(v_r\)
en de transversale snelheidscomponent
\(v_{\theta}\)
geldt dus:
\( \overrightarrow{v}= v_r . \overrightarrow{e_r} \, + v_{\theta} . \overrightarrow{e_{\theta}} \)
,
met:
\( v_r = \frac{d r}{d t} \)
,
\( v_{\theta} = r \, . \, \frac{d \theta}{d t} \)
.
We vonden al dat:
\( \frac{d A}{d t} \, = \, \frac{1}{2} \, . \, R \, .\, \{ r(\theta(t_B)) \, . \, \frac{d \theta}{d t}(t_B) \} \)
.
Uit de combinatie van deze resultaten zien we dat aan het begin van de sprong geldt:
\( \frac{d A}{d t} \, = \, \frac{1}{2} \, . \, R \, .\, v_{\theta} \)
.
(Het is mij bekend dat formules als bovenstaande door natuurkundigen en technici met schetsjes van "infinitesimale" hoekverdraaiingen, aangroeiingen, toenamen e.d. in een handomdraai kunnen worden gevonden. Maar in het kader van dit mega-project leek het mij wel zo aardig wat dieper te graven. ](*,) )
