Draait de aarde onder me door?

[Bartjes]

ik kan niet volgen maar is het juist als ik zeg dat de afstand die de aarde onder je door draait als je springt te wijten is door de verminderde zwaartekracht op die kleine hoogte en de vergroting van je afstand tot het middelpunt waardoor Fz je baan minder snel afbuigt?

Op internet zijn veel applet's te vinden die Keplers Wetten illustreren. De Tweede Wet (bericht #131) beschrijft hoe de bewegingssnelheid van het object af hangt van de afstand tot het middelpunt. Zoek op "kepler's laws applet".

Overigens is het niet alleen een kwestie van sneller of langzamer gaan, ook het vlak waarin de springer zich beweegt en het vlak waarin de plek van de aardkorst roteert vanwaar de springer zijn sprong begon zijn verschillend. Zie het plaatje in bericht #107.

[Bartjes]

De voorgaande posts in beschouwing nemend, lijkt me dat een heel onvolledige uitspraak...

Het is maar goed dat ik van te voren niet wist wat er bij het exact uitrekenen van de afstand tussen het punt van afzetten en het punt van neerkomen op de draaiende aardkorst allemaal komt kijken. Aan de andere kant is het ook wel weer aardig dat een klassiek natuurkundige beschouwing van zoiets eenvoudigs als een sprongetje op aarde tot een persoonlijke intellectuele uitdaging kan uitgroeien. Zo valt er voor mindere goden (zoals ikzelf) ook nog wat te beleven. ](*,)

[Bartjes]

De Perkenwet impliceert - zoals we in bericht #131 opmerkten - dat de momentane toename van de door de voerstraal gepasseerde oppervlakte dA/dt gedurende het doorlopen van de gehele ellipsbaan gelijk blijft. We mogen daarom de twee gevonden uitdrukkingen voor (dA/dt)² aan elkaar gelijk stellen.

In bericht #131 hebben we afgeleid dat:

\( \left ( \frac{dA}{dt} \right )^2 = \frac{(R + h) \, \gamma M }{2 . \left ( ( \frac{R + h}{b} )^2 \, + \, 1 \right )} \)

.

En in bericht #134 vonden we:

\( \left ( \frac{dA}{dt} \right )^2 = \frac{1}{4} \, R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \)

.

Er geldt dus:

\( \frac{(R + h) \, \gamma M }{2 . \left ( ( \frac{R + h}{b} )^2 \, + \, 1 \right )} = \frac{1}{4} \, R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B \)

,

\( \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ ( \frac{R + h}{b} )^2 \, + \, 1 } = R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B \)

,

\( 2 . (R + h) \, \gamma M = \left (R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B \right ) . \left ( \left ( \frac{R + h}{b} \right )^2 \, + \, 1 \right ) \)

,

\( \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }} = \left ( \frac{R + h}{b} \right )^2 \, + \, 1 \)

,

\( \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }} \, - \, 1 = \left ( \frac{R + h}{b} \right )^2 \)

,

\( \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} = \frac{R + h}{b} \)

,

\( b \, . \, \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} = R + h \)

,

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} } \)

.

Hiermee kan de lengte van de halve korte as b van de ellipsbaan van P voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt uitgerekend worden.

(In bericht #114 hebben we reeds verondersteld dat al de hoeken β, φ_B, φ_E, λ_B en λ_E tussen 0 en π/2 rad liggen. Hieruit volgt dat b en cos φ_B positief zijn. Dat er in de boven gegeven afleiding door gedeeld wordt is dus geen probleem. Verder is de uitdrukking onder het wortelteken gelijk aan het kwadraat van een positieve breuk, en dus zelf ook positief. Hierbij is wel verondersteld dat P (een stukje van) een ellipsbaan beschrijft. In bericht #129 hebben we ervoor gekozen het ontaarde geval van een sprong met een hoogte van 0m buiten beschouwing te laten, evenals reuzensprongen waarbij de springende persoon meer dan een paar minuten in de lucht blijft. Deze beperkingen in aanmerking genomen hebben we altijd met een ellipsbaan te doen. De afleiding is dus in orde.)

[Bartjes]

Weet iemand of onderstaande dimensieloze grootheid

\( \frac{\gamma . M}{R^3 . \Omega^2} \)

een wetenschappelijke naam heeft?

[physicalattraction]

Reactie op bericht 135 van die hanze:

Volgens mij is het cruciale punt niet de verminderde zwaardekracht op grotere hoogte wanneer je springt, maar een grotere omtrek van de baan die je maakt, terwijl je snelheid in die richting niet veranderd is. Maar je moet met beide effecten rekening houden om precies te weten waar je uitkomt, hier heeft Bartjes een prestigeproject voor hemzelf van gemaakt, waarvoor hulde!

[Bartjes]

Volgens mij is het cruciale punt niet de verminderde zwaardekracht op grotere hoogte wanneer je springt, maar een grotere omtrek van de baan die je maakt, terwijl je snelheid in die richting niet veranderd is. Maar je moet met beide effecten rekening houden om precies te weten waar je uitkomt, hier heeft Bartjes een prestigeproject voor hemzelf van gemaakt, waarvoor hulde!

Ik hoop dat ik het niet in mijn hoofd haal het geval ook nog voor een niet met de hoogte verminderende zwaartekracht uit te rekenen. Dan zou pas echt het einde zoek zijn. ](*,)

De dimensieloze grootheid waar ik in bericht #140 naar verwees is een voor de aarde specifieke fysische constante. Het lijkt mij waarschijnlijk dat men hier al eens een naam en teken voor bedacht heeft, en er zal wellicht ook een internationaal afgesproken waarde aan zijn toegekend. Maar waar zoek je zoiets op? Moet ik deze vraag misschien liever in een ander subforum stellen?

Onze formules worden verderop nog ingewikkeld genoeg. Als de bedoelde constante in de wetenschap een bekend gegeven is, kunnen we alvast een flinke vereenvoudiging toepassen.

[Bartjes]

Tot er meer duidelijkheid is laat ik de aardse constante uit bericht #140 even voor wat die is. Onze volgende stap is het afleiden van een formule voor de lengte van de halve lange as a van de ellipsbaan van P voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt.

In bericht #139 vonden we:

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} \)

.

Volgens lemma III (zie bericht #130) geldt:

\( a \, = \, \frac{R + h}{2} \, . \left (1 \, + \, \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 \right ) \)

.

Dus:

\( \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = \left (\frac{1}{\sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} \right )^2 \)

,

\( \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{1}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 + \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = 1 + \frac{1}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 + \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} \, + \, \frac{1}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 + \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} \)

,

\( 1 + \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{1}{1 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{2 . (R + h) \, \gamma M}} \)

.

Zodat:

\( a \, = \, \frac{R + h}{2} \, . \frac{1}{1 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{2 . (R + h) \, \gamma M}} \)

,

\( a \, = \, \frac{R + h}{2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M}} \)

.

(In bericht #114 veronderstelden we al dat de hoek φ_B tussen 0 en π/2 rad ligt. Daarom is cos φ_B positief. Dat in de boven gegeven afleiding op zeker moment de teller en noemer van een breuk met onder meer cos²φ_B vermenigvuldigd worden is dan ook geen probleem.)

[Bartjes]

In dit bericht leiden we een formule af voor de excentriciteit ε van de ellipsbaan van P voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt.

In bericht #139 zagen we dat:

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} \)

.

Volgens lemma I (zie bericht #130) geldt:

\( \varepsilon = \frac{1 - \left (\frac{b}{R + h} \right )^2}{1 \, + \, \left (\frac{b}{R + h} \right )^2 } \)

.

Dus:

\( \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

.

Zodat enerzijds:

\( 1 - \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = 1 - \frac{1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 - \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} - \frac{1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 - \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 2}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

.

En anderzijds:

\( 1 + \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = 1 + \frac{1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 + \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} + \frac{1}{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

,

\( 1 + \left ( \frac{b}{R + h} \right )^2 = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } }{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \)

.

We krijgen dus:

\( \varepsilon = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 2}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }} \)

,

\( \varepsilon = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }} \, - \, \frac{2}{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }} \)

,

\( \varepsilon = 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

.

(We hebben in bericht #114 al verondersteld dat de hoek φ_B tussen 0 en π/2 rad ligt. Daarom is cos φ_B positief. Delen door of vermenigvuldigen met cos²φ_B geeft in deze afleiding dan ook geen problemen.)

[Bartjes]

In dit bericht leiden we - voor de volledigheid - nog een formule af voor de semi-latus rectum l van de ellipsbaan van P voor gegeven breedtegraad φ_B van het beginpunt.

Voor de ellipsbaan van P geldt:

\( r = \frac{l}{1 + \varepsilon . \cos \theta } \)

,

waarin ε de excentriciteit is en l de semi-latus rectum. De waarde van ε ligt voor ellipsen altijd tussen 0 en 1.

Semi_Latus_Rectum 696 keer bekeken

Toegepast op het punt H (zie bovenstaande plaatje) vinden we:

\( R + h = \frac{l}{1 + \varepsilon . \cos \pi} \)

,

\( R + h = \frac{l}{1 + \varepsilon . (-1) } \)

,

\( R + h = \frac{l}{1 - \varepsilon } \)

,

\( l = (R + h).(1 - \varepsilon ) \)

.

In bericht #144 bewezen we al:

\( \varepsilon = 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

.

Zodat:

\( l = (R + h). \left \{1 - \left ( 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \right ) \right \} \)

,

\( l = (R + h). \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

,

\( l = \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{ \gamma M } \)

.

[Bartjes]

Het is weer tijd voor een tussentijdse samenvatting. We hebben nu formules gevonden waarmee de belangrijkste geometrische gegevens van de ellipsbaan van P voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt uitgerekend kunnen worden.

Halve lange as a:

\( a \, = \, \frac{R + h}{2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M}} \)

(Uit bericht #143.)

Halve korte as b:

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} } \)

(Uit bericht #139.)

Excentriciteit ε:

\( \varepsilon = 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

(Uit bericht #144.)

Semi-latus rectum l:

\( l = \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{ \gamma M } \)

(Uit bericht #145.)

[Bartjes]

We zijn nu zo ver gevorderd dat we een formule kunnen opstellen waarmee de halve hoek

\( \alpha \)

(en daarmee ook de hoek

\( \beta = 2 . \alpha \)

) voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt kunnen worden uitgerekend. (Zie voor de definitie van die hoeken de berichten #129 en #121.)

In bericht #139 vonden we:

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} } \)

.

Zodat:

\( \left ( \frac{1}{b} \right )^2 = \left ( \frac{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} }{R + h} \right )^2 \)

,

\( \left ( \frac{1}{b} \right )^2 = \frac{ \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}{(R + h)^2} \)

,

\( (R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 = \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 \)

,

\( (R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1 \, = \, \frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 2 \)

,

\( (R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1 \, = \, 2 . \left ( \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 \right ) \)

,

\( \frac{1}{(R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1} \, = \frac{1}{\, 2 . \left ( \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 \right )} \)

,

\( \frac{2 h}{R} \, . \frac{1}{(R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1} \, = \frac{2 h}{R} \, . \frac{1}{\, 2 . \left ( \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 \right )} \)

,

\( \frac{2 h}{R} \, . \frac{1}{(R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1} \, = \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \)

,

\( 1 \, - \, \frac{2 h}{R} \, . \frac{1}{(R + h)^2 . \left ( \frac{1}{b} \right )^2 \, - \, 1} \, = 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \)

.

Volgens lemma II van bericht #130 geldt:

\( \alpha= \arccos \left (1 - \frac{2 h}{R} \, . \frac{1}{ (R + h)^2 . \left (\frac{1}{ b } \right )^2 \, - \, 1 } \right ) \)

.

Zodat we vinden:

\( \alpha= \arccos \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right ) \)

.

(Deze afleiding zou spaak lopen wanneer b = R + h. Dan wordt er immers bij het nemen van de omgekeerden door nul gedeeld. Het geval b = R + h correspondeert echter niet met een sprong, maar met een cirkelbaan op een hoogte h boven het aardoppervlak. Dit kunnen we als volgt inzien. Wanneer b = R + h zijn er minstens drie verschillende punten van de ellips waarvoor de poolstraal R + h is. Namelijk het hoogste punt van de sprong (dat op de lange as ligt) en de twee aan weerszijde liggende uiterste punten met de korte as. Maar R + h is tevens de grootste lengte van de voerstraal. Dit kan alleen maar als de ellips een cirkel is. Bij de berekening van sprongen met een beginpunt op aarde, een hoogste punt boven de aarde en een eindpunt op aarde zal dit geval zich nooit voordoen.)

[Bartjes]

Als opstapje tot een formule voor de tijdsduur τ van de werkelijk uitgevoerde sprong (waarbij alleen het ellipsdeel vanaf B via H tot aan E wordt doorlopen), leiden we hier een formule af waarmee de volledige omloopstijd T van de gehele (grotendeels denkbeeldige) ellipsbaan voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt kan worden uitgerekend.

In bericht #143 vonden we:

\( a \, = \, \frac{R + h}{2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M}} \)

.

Dus:

\( a^3 \, = \, \left ( \frac{R + h}{2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M}} \right )^3 \)

,

\( a^3 \, = \, \frac{(R + h)^3}{\left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} \)

,

\( \frac{a^3}{\gamma M} \, = \, \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} \)

.

In bericht #131 vermeldden we al:

\( T^2 = 4 \pi^2 . \frac{a^3}{\gamma M} \)

.

Zodat:

\( T = 2 \pi . \sqrt{\frac{a^3}{\gamma M}} \)

.

Invullen levert:

\( T = 2 \pi . \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

.

[Bartjes]

In het vervolg willen we nog een meetkundige vereenvoudiging toepassen. In dit berichtje laat ik zien dat dit is toegestaan. We gaan daarbij uit van gesloten figuren waaraan (in de gebruikelijke zin van het woord) een oppervlakte kan worden toegeschreven. De figuren waarop we dit later gaan toepassen zijn van een dergelijke aard.

[attachment=5657:Oorspron...ppervlak.JPG]

[attachment=5658:Gekrompe...ppervlak.JPG]

Over gesloten figuren kunnen we een raster met gelijke vierkantjes leggen. De vierkantjes die binnen de figuur vallen kunnen we dan tellen. De oppervlakte van de figuur is dan groter of gelijk aan de oppervlakte van één zo'n vierkantje maal het aantal vierkantjes dat binnen de figuur valt. Meestal zal je dan nog stukjes binnen de figuur overhouden die nog niet "bedekt" zijn. Daarom brengen we in die overblijvende stukjes een fijner raster aan dat vier vierkantjes heeft op de plaats waar het oorspronkelijke raster er maar één had. De vierkantjes van dit nieuwe raster die binnen de figuur passen, kunnen we dan weer tellen. De oppervlakte van één zo'n vierkantje maal het aantal vierkantjes dat binnen de figuur valt, kunnen we dan weer toevoegen aan de eerder op basis van de grotere vierkantjes gevonden oppervlakte. De oppervlakte van de figuur is dan nog steeds groter of gelijk aan deze nu gevonden oppervlakte. Deze procedure kan in principe eindeloos herhaald worden. We zullen zo oppervlakten vinden die de oppervlakte van de figuur steeds beter benaderen (of er in bijzondere gevallen vanaf een zeker stadium aan gelijk zijn). De eerste tekening Oorspronkelijk Uitgevuld Oppervlak geeft aan hoe dat er ongeveer uitziet.

Wat we nu doen is dat we de figuur inclusief de vierkantjes in vertikale richting gelijkmatig met een factor k laten krimpen. Het resultaat zien we in de tweede tekening Gekrompen Uitgevuld Oppervlak. We zien dat deze gekrompen figuur nog steeds keurig uitgevuld is, alleen zijn alle vierkantjes nu (in de hoogte met een factor k) tot rechthoekjes gekrompen. Hun oppervlakte is dus ook steeds k maal de oppervlakte van de oorspronkelijke vierkantjes. Maar voor de rest gaat de eerdere redenering nog steeds op. We zullen ook hier dus oppervlakten vinden die de oppervlakte van de gekrompen figuur steeds beter benaderen (of er in bijzondere gevallen vanaf een zeker stadium aan gelijk zijn). Maar voor ieder stadium is de gevonden oppervlakte nu k maal de oppervlakte in het overeenkomstige stadium bij de oorspronkelijke figuur. Dit kan alleen maar als ook de oppervlakte zelf van de gekrompen figuur k maal de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur is.

[E.Desart]

Heb je deze figuurtjes zelf gemaakt of heb je hier een bron voor? (Vraag geldt ook voor andere figuren).

[Bartjes]

Heb je deze figuurtjes zelf gemaakt of heb je hier een bron voor? (Vraag geldt ook voor andere figuren).

Zelf gemaakt. Toen ik de mooie afbeeldingen van Jan van de Velde hier op het Wetenschapsforum zag, dacht ik dat wil ik ook. Na wat tips ben ik uiteindelijk met Paint aan de slag gegaan. Al snel bleek dat programmatje veel meer te kunnen, dan ik aanvankelijk gedacht had. Eerdere freeware tekenprogramma's deden mijn computer steeds vast lopen, en waren voor het soort plaatjes dat ik nodig heb veel te uitgebreid. Er gaat in het maken van die plaatjes wel veel tijd zitten, maar ze zijn ook voor mijzelf een grote hulp bij het doorgronden van ingewikkelde situaties.