Draait de aarde onder me door?

[Bartjes]

Voor de (denkbeeldige) volledige omloopstijd T bij het doorlopen van de gehele ellipsbaan hebben we in bericht #148 al een formule gevonden. Een aanvullende formule waarmee

\( \textstyle{\frac{\tau}{T}} \)

voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt uitgerekend kan worden, volstaat dus om ook

\( \tau \)

uit te kunnen rekenen. Zoals bekend verstaan we daarbij onder

\( \tau \)

de tijdsduur van de sprong vanaf het beginpunt B via het hoogste punt H tot aan het eindpunt E.

De oppervlakte van de perk die door de voerstraal van P gedurende P's sprong vanaf B via H tot aan E wordt gepasseerd, noemen we

\( \widetilde{A} \)

. Verder noemen we de totale oppervlakte binnen de gehele ellipsbaan ook hier wederom A. Volgens de Perkenwet (zie bericht #131) geldt dan:

\( \frac{\widetilde{A}}{\tau} = \frac{A}{T} \)

.

Oftewel:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{\widetilde{A}}{A} \)

.

Voor de bepaling van deze verhouding passen we een meetkundige truc toe. Wanneer we de lengte van de lange as van de ellips gelijkmatig tot de lengte van de korte as inkrimpen, gaat de ellips in een cirkel over. Zie onderstaande schetsjes:

Voor_het_Krimpen 850 keer bekeken

Na_het_Krimpen 850 keer bekeken

De oppervlakte van de zo ontstane "pseudo-perk" in de gekrompen figuur geven we aan met

\( \widetilde{G} \)

. De totale oppervlakte van de ellips (nu cirkel) in deze nieuwe, gekrompen figuur geven we aan als G. Voor zulke oppervlakten geldt zoals we in bericht #149 zagen dat:

\( \widetilde{G} = k . \widetilde{A} \)

,

\( G = k . A \)

.

Met in ons geval:

\( k = \frac{b}{a} \)

.

Omdat:

\( \frac{\widetilde{A}}{A} = \frac{k . \widetilde{A}}{k . A} \)

,

vinden we dan:

\( \frac{\widetilde{A}}{A} = \frac{\widetilde{G}}{G} \)

.

Daarom geldt ook:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{\widetilde{G}}{G} \)

.

[Bartjes]

Laten we de situatie na het krimpen eens gedetailleerder bekijken:

Gekrompen 851 keer bekeken

Laat

\( \widetilde{G} \)

de oppervlakte van de (hier tweekleurig weergegeven) gekrompen "pseudo-perk" zijn; en laat

\(G\)

de totale oppervlakte binnen de tot een cirkel gekrompen ellips zijn. Deze twee vlakken werden in bericht #152 reeds geïntroduceerd. Uit de Gekrompen Voorstelling zien we dan dat:

\( \widetilde{G} = 2 . \left \{ \left ( \frac{\upsilon}{2 \pi} \right ) . \pi b^2 \, + \frac{1}{2} \, OM . R . \sin \alpha \right \} \)

,

\( \widetilde{G} = \upsilon . b^2 \, + OM . R . \sin \alpha \)

.

\( G = \pi \, b^2 \)

.

In bericht #152 vonden we ook dat:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{\widetilde{G}}{G} \)

.

Zodat we nu mogen schrijven:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{ \upsilon . b^2 \, + OM . R . \sin \alpha }{ \pi \, b^2 } \)

,

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left \{ \upsilon \, + \frac{OM}{b} . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \)

.

Hiermee zijn we er nog niet ](*,) , maar het einde lijkt in zicht.

[Bartjes]

In bericht #153 vonden we:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left \{ \upsilon \, + \frac{OM}{b} . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \)

.

We werken OM/b hier verder uit. De excentriciteit ε ligt ook hier weer tussen 0 en 1.





Vergelijking van de plaatjes "Halve Korte As" en "Gekrompen Voorstelling" (die we voor het gemak allebei hierboven nog eens afbeelden) leert ons dat:

\( \frac{OM}{b} = \frac{a - r(0)}{a} \)

.

Voor de ellipsbaan geldt (zie bericht #129) dat:

\( r = \frac{l}{1 + \varepsilon . \cos \theta } \)

.

Dus:

\( r(0) = \frac{l}{1 + \varepsilon} \)

.

Eveneens (zie bericht #129) geldt:

\( a = \frac{l}{1 - \varepsilon^2} \)

.

Dus:

\( r(0) = \frac{l}{1 + \varepsilon} . \frac{1 - \varepsilon}{1 - \varepsilon} \)

,

\( r(0) = \frac{l}{(1 + \varepsilon).(1 - \varepsilon)} . (1 - \varepsilon) \)

,

\( r(0) = \frac{l}{1 - \varepsilon^2} . (1 - \varepsilon) \)

,

\( r(0) = a . (1 - \varepsilon) \)

.

Waardoor:

\( \frac{OM}{b} = \frac{a - a . (1 - \varepsilon)}{a} \)

,

\( \frac{OM}{b} = 1 - (1 - \varepsilon) \)

,

\( \frac{OM}{b} = \varepsilon \)

.

Zodat:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left ( \upsilon \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right ) \)

.

[Bartjes]

Hoe vinden we de hoek

\(\upsilon\)

? Laten we opnieuw het onderstaande plaatje bekijken:



Daaruit zien we dat:

\( \sin \upsilon = \frac{R . \sin \alpha}{b} \)

.

En - voor

\(\upsilon\)

tussen 0 en π/2 rad - geldt dus:

\( \upsilon = \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \)

.

In bericht #154 vonden we:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left ( \upsilon \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right ) \)

.

Invullen geeft:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \)

.

We hebben hier aangenomen dat

\(\upsilon\)

tussen 0 en π/2 rad ligt. We zullen voor deze beperking - evenals voor alle eerdere beperkende veronderstellingen aangaande hoeken e.d. - in een later bericht nog een voldoende voorwaarde afleiden waaronder hieraan zeker voldaan is.

[Bartjes]

De complete formule voor de afwijking d is te groot voor plaatsing op dit forum. We zullen daarom een schema samenstellen aan de hand waarvan die formule in elkaar kan worden gezet. Voor praktische berekeningen kan men met dit schema even goed - of wellicht zelfs beter - uit de voeten als met die reusachtige complete formule zelf.

De benodigde deelresultaten hebben we al, maar door de veelheid aan formules dreigt het overzicht hier voortdurend zoek te raken. Vandaar wat we ook hier stap voor stap, berichtje na berichtje zullen voortschrijden.

(Omdat ik toch wel benieuwd ben hoe die complete formule eruit ziet, zal ik later nog bekijken of ik er een plaatje van kan maken. )

[Bartjes]

Op blz 158-159 zelfde bron.

Bij verticaal naar omhoog gaan tot hoogte h met beginsnelheid v₀ krijgen we na een eveneens moeilijke wiskundige berekening en enkele aanpassingen:

Afwijking naar het Oosten:

\(\frac{2}{3}h\omega \sin(\lambda)\sqrt{\frac{2h}{g}}-\omega v_0\sin(\lambda)\frac{2h}{g}\)

Als v₀=0 krijgen we zelfde bovenstaande en aan de Polen geen afwijking.

Er was nogal wat verwarring over die formule: kan er een schatting mee gemaakt worden wat de afwijking is bij een ter plaatse van Amsterdam gemaakte "sprong" waarvan het hoogste punt op 100m hoogte ligt?

Voordat ik het schema voor mijn uiteindelijke formule voor de afwijking in elkaar zet, ben ik eerst nog wat proef-berekeningen aan het maken om te bezien of de uitkomsten wel ergens naar lijken. Eerst kreeg ik daarbij allerhande onmogelijke resultaten, maar bij berekeningen met een nauwkeurigheid van 200 decimalen achter de komma wordt het beter. Ik heb nu graag een getal waar ik mijn uitkomst globaal mee kan vergelijken. Ik vind een afwijking van ca. 67 cm.

[Bartjes]

... maar bij berekeningen met een nauwkeurigheid van 200 decimalen achter de komma wordt het beter. (...) Ik vind een afwijking van ca. 67 cm.

Zojuist heb ik de berekeningen met een nauwkeurigheid van 300 decimalen achter de komma nog eens over gedaan, en opnieuw vind ik een afwijking van ca. 67 cm. Als dat niet klopt is er dus iets mis met mijn formule.

Bedenk hierbij dat de afwijking niet alleen in westelijke richting maar ook in zuidelijke richting optreedt. Zie onderstaande - reeds in bericht #119 geplaatste - schetsje:



B is het beginpunt van de sprong, E het eindpunt van de sprong, en D het verdraaide punt. Het vertrekpunt op de aardkorst vanwaar de springer zijn sprong begon is door de draaiing van de aarde tijdens zijn sprong immers over een zekere hoek verdraaid. De plaats waar dit punt van de aardkorst zich op het moment van neerkomen van de springer bevindt is het verdraaide punt D.

[Bartjes]

We pakken nu de draad van het formule-bouwen weer op.

In bericht #122 leidden we de onderstaande formule voor de afwijking d af:

\( d = 2 . R . \arcsin \sqrt {\sin^2 \left ( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} \right ) + \cos \varphi_D \, . \, \cos \varphi_E \, . \, \sin^2 \left ( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} \right )} \)

.

Om te beginnen zullen we de wortelvorm in deze formule met W weergeven:

\( W = \sqrt {\sin^2 \left ( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} \right ) + \cos \varphi_D \, . \, \cos \varphi_E \, . \, \sin^2 \left ( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} \right )} \)

.

Zodat:

\( d = 2 . R . \arcsin W \)

.

Bericht #121 gaf ons de volgende samenvatting van tot dan toe gevonden formules:

\( \varphi_E = \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) \)

,

\( \lambda_E = \lambda_B + \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) \)

,

\( \varphi_D = \varphi_B \)

,

\( \lambda_D = \lambda_B + \Omega . \tau \)

.

Daaruit zien we dat:

\( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

.

En:

\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \frac{( \lambda_B + \Omega \, . \tau ) - \left ( \lambda_B + \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) \right ) }{2} \)

,

\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \)

.

Dat alles kunnen we nu in de formule voor W invullen:

\( W = \sqrt {\sin^2 \left ( \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \right ) + \cos \varphi_B \, . \, \cos \varphi_E \, . \, \sin^2 \left ( \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \right )} \)

.

In de bovenstaande formule voor W kan cos φ_E nog verder worden uitgewerkt. We maken daarbij gebruik van de in bericht #120 al gemaakte veronderstelling dat φ_E tussen 0 en π/2 rad ligt. We vinden:

\( \cos \varphi_E = \cos ( \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) ) \)

,

\( \cos^2 \varphi_E = \cos^2 ( \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) ) \)

,

\( \cos^2 \varphi_E = 1 \, - \, \sin^2 ( \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) ) \)

,

\( \cos^2 \varphi_E = 1 \, - \, (\cos \beta \, . \sin \varphi_B )^2 \)

,

\( \cos^2 \varphi_E = 1 \, - \, \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B \)

,

\( \cos \varphi_E = \sqrt{1 \, - \, \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B} \)

.

Invullen in de formule voor W geeft:

\( W = \sqrt {\sin^2 \left ( \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \right ) + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \left ( \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \right )} \)

.

We zien dat deze formule weer te groot dreigt te worden. Daarom schrijven we:

\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

,

\( \Lambda = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \)

.

Zodat:

\( W = \sqrt {\sin^2 \Phi + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \Lambda } \)

.

De tangens van β in

\( \Lambda \)

willen we nog graag in de cosinus van β uitdrukken. In bericht #120 hebben we al verondersteld dat β tussen 0 en π/2 rad ligt. We vinden daarom:

\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

,

\( \tan^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \)

,

\( \tan^2 \beta = \frac{1 - \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} \)

,

\( \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} - 1 \)

,

\( \tan \beta = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \beta} - 1} \)

.

Invullen in de formule voor

\(\Lambda\)

geeft:

\( \Lambda = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left ( \frac{1}{ \cos \varphi_B} \, . \, \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \beta} - 1} \, \right ) }{2} \)

.

We hebben nu dus gevonden:

\( d = 2 . R . \arcsin W \)

,

\( W = \sqrt {\sin^2 \Phi + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, \cos^2 \beta \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \Lambda } \)

,

\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

,

\( \Lambda = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left ( \frac{1}{ \cos \varphi_B} \, . \, \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \beta} - 1} \, \right ) }{2} \)

.

Verder uitgewerkt moeten nog worden cos β en het product

\( \Omega . \tau \)

. Voor de overzichtelijkheid schrijven we daarvoor:

\( U = \cos \beta \)

,

\( V = \Omega . \tau \)

.



Zodat we als resultaat van dit bericht krijgen:

\( d = 2 . R . \arcsin W \)

,

\( W = \sqrt {\sin^2 \Phi + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, U^2 \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \Lambda } \)

,

\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (U \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

,

\( \Lambda = \frac{ V - \arctan \left ( \frac{1}{ \cos \varphi_B} \, . \, \sqrt{\frac{1}{U^2} - 1} \, \right ) }{2} \)

,

\( U = \cos \beta \)

,

\( V = \Omega . \tau \)

.

[physicalattraction]

Ik vind een afwijking van ca. 67 cm.

Is dit voor een sprong vanaf de aarde van 100 meter hoog? Het is een grotere afwijking dan ik had verwacht, zelfs voor zo een megasprong, maar ik ben niet degene die er aan gerekend heeft.

[Bartjes]

Is dit voor een sprong vanaf de aarde van 100 meter hoog? Het is een grotere afwijking dan ik had verwacht, zelfs voor zo een megasprong, maar ik ben niet degene die er aan gerekend heeft.

Zo'n sprong bedoel ik: de sprong begint dus op het aardoppervlak, heeft het hoogste punt op 100m en eindigt weer op het aardoppervlak. Ik vind de berekende afwijking zelf ook aan de grote kant. Helaas heb ik niet de gegevens om het te kunnen controleren. Wel heb ik nog uitgerekend wat de afwijking zou zijn als we alleen letten op de afwijking in westelijke richting. Dit kan je uitrekenen door bij de berekening van W voor Φ nul te nemen. Dat levert dan ca. 9 cm.

[anusthesist]

Zo'n sprong bedoel ik: de sprong begint dus op het aardoppervlak, heeft het hoogste punt op 100m en eindigt weer op het aardoppervlak. Ik vind de berekende afwijking zelf ook aan de grote kant. Helaas heb ik niet de gegevens om het te kunnen controleren. Wel heb ik nog uitgerekend wat de afwijking zou zijn als we alleen letten op de afwijking in westelijke richting. Dit kan je uitrekenen door bij de berekening van W voor Φ nul te nemen. Dat levert dan ca. 9 cm.

Intuitief gezien is dit best gek. Je zou dus alleen omhoog springend de wereld rond kunnen gaan.

[physicalattraction]

Intuitief gezien is dit best gek. Je zou dus alleen omhoog springend de wereld rond kunnen gaan.

Hoewel dit een extremum is en de aannames dan wellicht niet meer geldig zijn, is dit niet zo vreemd; dit is in ieder geval de consensus die bereikt is in deze topic.

[317070]

Wat is het resultaat bij een sprong van 1m of 10m? Bij die kan ik me wel nog iets voorstellen...

En kun je aangeven waar je in je berichtjes bij die zuidelijke uitwijking uitkomt? Ik zou een noordelijke uitwijking verwachten.

Edit: bericht 114 it is.

[Bartjes]

Wat is het resultaat bij een sprong van 1m of 10m? Bij die kan ik me wel nog iets voorstellen...

De zaken gaan nu wat door elkaar lopen. Alle benodigde formules zijn al eerder geplaatst, maar ik wil het complete schema voor de opbouw van de totale formule en voor de berekeningen nog even netjes afronden. (Een formule voor β = 2.α vind je in bericht #147, en formules voor de bepaling van τ in berichten #148, #155 etc.) Voor het uitrekeningen gebruik ik:

http://sourceforge.net/projects/preccalc/

Hoe meer mensen mee rekenen, des te beter!

@ anusthesist. Bedenk wel dat een sprong die er staande op de ronddraaiende aardkorst als loodrecht omhoog uitziet, vanuit een niet meedraaiend referentiestelsel bezien bij de start wel degelijk een transversale snelheidscomponent heeft.

[Bartjes]

Laten we nu eerst een lijstje met de benodigde aardse en fysische constanten samenstellen.

Straal van de aarde:

\( R_{gem} = 6,3710 \, . \, 10^6 \, \, \mbox{m}\)

\( R_{equator} = 6,3781 \, .\, 10^6 \, \, \mbox{m} \)

\( R_{pool} = 6,3568 \, .\, 10^6 \, \, \mbox{m} \)

Massa van de aarde:

\( M = 5,9736 \, . \, 10^{24} \, \, \mbox{kg} \)

Hoeksnelheid van de aarde:

\( \Omega = 7,2921150 \, . \, 10^{-5} \, \, \mbox{rad/s} \)

Geocentrische gravitatieconstante (

\( = \gamma . M \)

):

\( \gamma M = 3,986004418 \, . \, 10^{14} \, \, \mbox{m^3} \, \mbox{s^{-2}} \)

Universele gravitatieconstante:

\( \gamma = 6,67428 \, . \, 10^{-11} \, \, \mbox{m^3} \,\, \mbox{kg^{-1}} \, \mbox{s^{-2}} \)

Deze waarden zijn ontleend aan:

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/facts.../earthfact.html

http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants.html

Nu definiëren we de geocentrische gravito-rotationele constante

\( N_{\oplus} \)

als volgt:

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

.

Dit is een voor de aarde karakteristieke dimensieloze grootheid. Een zuiver getal dus, zonder begeleidende eenheid. Het lijkt mij waarschijnlijk dat dit getal ooit al een wetenschappelijke naam en teken heeft gekregen, maar ik heb deze niet kunnen vinden. Daarom heb ik zelf maar een naam en teken bedacht.

Omdat de aarde geen zuivere bol is, zijn er meerdere manieren om de straal R te kiezen. Bij iedere keuze van R behoort een bijbehorende waarde van de geocentrische gravito-rotationele constante

\( N_{\oplus} \)

. Zodat we vinden:

\( [ N_{\oplus} \, ]_{gem} = 289,8 \)

,

\( [ N_{\oplus} \, ]_{equator} = 288,9 \)

,

\( [ N_{\oplus} \, ]_{pool} = 291,8 \)

.

Wanneer er geen overwegende reden is om een specifieke straal aan te houden, mogen we de straal R voor het rekengemak dus ook zo kiezen dat

\( N_{\oplus} \)

exact 290 is. We zullen de straal die dat bewerkstelligt de ordentelijke straal van de aarde R_ord noemen, en de bijbehorende waarde van 290 de ordentelijke geocentrische gravito-rotationele constante

\( [N_{\oplus}]_{ord} \)

. Wanneer geen verwarring mogelijk is, noteren we ze als R_o en N_o .