Draait de aarde onder me door?

[E.Desart]

We zullen de straal die dat bewerkstelligt de ordentelijke straal van de aarde R_ord noemen, en de bijbehorende waarde van 290 de ordentelijke geocentrische gravito-rotationele constante

\( [N_{\oplus}]_{ord} \)

. Wanneer geen verwarring mogelijk is, noteren we ze als R_o en N_o .

Een voorstel: noem het nominaal i.p.v. ordentelijk.

Nominaal wordt standaard of vaak gebruikt om afgeronde rekenwaarden weer te geven in contrast met exacte reken- of meetwaarden (ook in officiële normen).

[Bartjes]

Een voorstel: noem het nominaal i.p.v. ordentelijk.

Nominaal wordt standaard of vaak gebruikt om afgeronde rekenwaarden weer te geven in contrast met exacte reken- of meetwaarden (ook in officiële normen).

Dank voor de tip. Ik heb het gebruik van de uitdrukking 'nominaal' inderdaad overwogen. Het probleem met de naamgeving van de bedoelde constante is dat ik mij nauwelijks kan voorstellen dat deze niet al een naam heeft gekregen. En in dat geval is het voorstelbaar dat men ook al een andere waarde als nominale waarde heeft gekozen. Daarom heb ik vooralsnog de uitdrukking 'ordentelijk' genomen, om te voorkomen dat we straks eventueel twee nominale waarden hebben. In de berichten #140 en #142 heb ik ook al de vraag gesteld wat de wetenschappelijke naam van onze constante is. Maar ik heb dat zelf ook nu nog niet kunnen achterhalen, en ook geen antwoord gekregen.

Mocht onze constante vreemd genoeg nog geen wetenschappelijke naam hebben, dan verdient de uitdrukking 'nominale waarde' voor de waarde 290 en voor de daarbij horende grootte van de straal inderdaad de voorkeur.

[E.Desart]

Een nominale waarde verwijst niet noodzakelijk naar een specifiek begrip, maar naar een soort standaard rekenwaarde.

Geef toe dat "ordentelijke waarde" op zijn minst vreemd klinkt. Dat jij ordentelijk werkt is mij tussentijds wel duidelijk.

Uiteindelijk beschrijf jij waar je waarde voor staat (minstens tot je ooit wat anders of beters zou vinden).

http://en.wikipedia.org/wiki/Real_versus_nominal_value

Een voorbeeldje van mijzelf in verband met frequentieschalen. Wat jij overal ziet zijn de nominale waarden, niet de exacte waarden:

Wiskundig en meettechnisch rekenen we vaak met de exacte waarden.

Terzbanden 815 keer bekeken

[Bartjes]

Een nominale waarde verwijst niet noodzakelijk naar een specifiek begrip, maar naar een soort standaard rekenwaarde.

Geef toe dat "ordentelijke waarde" op zijn minst vreemd klinkt. Dat jij ordentelijk werkt is mij tussentijds wel duidelijk.

Uiteindelijk beschrijf jij waar je waarde voor staat (minstens tot je ooit wat anders of beters zou vinden).

OK - doen we. Wat voor index gaan we dan gebruiken?

\( N_{\oplus}_N \)

,

\( N_{\oplus}_n \)

,

\( N_N \)

of

\( N_n \)

ziet er niet uit...

Ik heb in het subforum "Sterrenkunde en Ruimtevaart" de vraag naar de wetenschappelijke naam van de constante nog eens gesteld, hier zit die verborgen tussen bladzijdenlange afleidingen.

[Bartjes]

We laten nu zien hoe U kan worden berekend.

Volgens de berichten #129 en #159 geldt:

\( \beta = 2 . \alpha \)

,

\( U = \cos \beta \)

.

Waardoor:

\( U = \cos (2 . \alpha) \)

,

\( U = \cos (\alpha + \alpha) \)

,

\( U = \cos \alpha \, . \cos \alpha\, - \, \sin \alpha \, . \sin \alpha\)

,

\( U = \cos^2 \alpha \, - \, \sin^2 \alpha \)

,

\( U = \cos^2 \alpha \, - \, (1 - \cos^2 \alpha) \)

,

\( U = 2 . \cos^2 \alpha \, - \, 1 \)

.

In bericht #147 vonden we:

\( \alpha= \arccos \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right ) \)

.

Zodat:

\( U = 2 . \cos^2 \left [ \arccos \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right ) \right ] \, - \, 1 \)

,

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

,

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{R + h}{R} \, . \, \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2 } \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

.

In bericht #166 definieerden we:

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

.

We mogen daarom schrijven:

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{R + h}{R} \, . \, N_{\oplus} \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

,

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h - R}{R}}{ \frac{R + h}{R} \, . \, \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

,

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h}{R} \, - \, \frac{R}{R}}{ \frac{R + h}{R} \, . \, \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

,

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h}{R} \, - \, 1}{ \, \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, \frac{R + h}{R} \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

.

Laat nu H gedefinieerd zijn door:

\( H = \frac{R + h}{R} \)

.

Dan vinden we:

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

.

In dit bericht hebben we derhalve laten zien dat:

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

,

\( H = \frac{R + h}{R} \)

.

[Bartjes]

Naar aanleiding van de discussie met E.Desart pas ik de introductie van de ordentelijke/nominale waarde van de geocentrische gravito-rotationele constante en van de bijbehorende ordentelijke/nominale waarde van de straal van de aarde enigszins aan. Omdat we in de afleidingen nog niet met die nominale waarden gewerkt hebben, is dat geen bezwaar. We krijgen nu:

Omdat de aarde geen zuivere bol is, zijn er meerdere manieren om de straal R te kiezen. De bekendste zijn:

\( R_{gem} = 6,3710 \, . \, 10^6 \, \, \mbox{m}\)

\( R_{equator} = 6,3781 \, .\, 10^6 \, \, \mbox{m} \)

\( R_{pool} = 6,3568 \, .\, 10^6 \, \, \mbox{m} \)

Bij iedere keuze van R behoort een bijbehorende waarde van de geocentrische gravito-rotationele constante

\( N_{\oplus} \)

. Zodat we vinden:

\( [ N_{\oplus} \, ]_{gem} = 289,8 \)

,

\( [ N_{\oplus} \, ]_{equator} = 288,9 \)

,

\( [ N_{\oplus} \, ]_{pool} = 291,8 \)

.

Wanneer er geen overwegende reden is om een specifieke straal aan te houden, mogen we de straal R voor het rekengemak dus ook zo kiezen dat

\( N_{\oplus} \)

exact 290 is. We zullen de straal die dat bewerkstelligt de nominale straal van de aarde

\( R_{ \circ } \)

noemen, en de bijbehorende waarde van 290 de nominale geocentrische gravito-rotationele constante

\( N_{\circ} \)

. De nominale waarden worden dus aangegeven door het gebruik van een cirkel zonder plusje als index. Bij de andere mogelijke specifieke waarden gebruiken we een cirkel met plusje als index. Willen we benadrukken dat R de straal van de aarde voorstelt dan kunnen we

\( R_{\oplus} \)

schrijven. Meestal zullen we - zoals we hierboven ook steeds gedaan hebben - voor

\( R_{\oplus} \)

simpelweg

\( R \)

schrijven.

[Bartjes]

We beginnen nu met de uitwerking van V.

In bericht #148 vonden we voor T dat:

\( T = 2 \pi . \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

.

En in bericht #155 voor

\( \textstyle{\frac{\tau}{T}} \)

dat:

\( \frac{\tau}{T} = \frac{1}{\pi} . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \)

.

Voor

\( \tau \)

krijgen we dus:

\( \tau = \frac{1}{\pi} . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, 2 \pi . \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( \tau = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

.

Op grond van bericht #159 schrijven we:

\( V = \Omega . \tau \)

.

Zodat ook:

\( V = \Omega \, . \, 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \frac{1}{\frac{1}{\Omega}} \, . \, \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\Omega^2}}} \, . \, \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\gamma M . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{(R + h)^3}{\frac{\gamma M}{\Omega^2} . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{(\frac{R + h}{R})^3}{\frac{\gamma M}{R^3 . \Omega^2} . \left ( 2 \, - \, \frac{R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M} \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{(\frac{R + h}{R})^3}{\frac{\gamma M}{R^3 . \Omega^2} . \left ( 2 \, - \, \frac{R}{R + h} . \frac{R^3 \, \Omega^2 }{\gamma M} . \cos^2 \varphi_B \right )^3} } \)

.

In de berichten #166 en #171 spraken we af dat:

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

,

\( H = \frac{R + h}{R} \)

.

Zodat we kunnen schrijven:

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{1}{H} . \frac{1}{ N_{\oplus} } . \cos^2 \varphi_B \right )^3} } \)

,

\( V = 2 \, . \left \{ \arcsin \left ( \frac{R . \sin \alpha}{b} \right ) \, + \varepsilon . \frac{R \sin \alpha}{b} \right \} \, \, . \, \, \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{ \cos^2 \varphi_B }{N_{\oplus} \, . \, H} \right )^3} } \)

.

Laten we nu de wortel (square root) met S aangeven, en het nader uit te werken quotiënt met Q:

\( S = \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{ \cos^2 \varphi_B }{N_{\oplus} \, . \, H} \right )^3} } \)

.

\( Q = \frac{R . \sin \alpha}{b} \)

.

Dan geldt er dus:

\( V = 2 . ( \arcsin Q \, + \, \varepsilon . Q ) \, . \, S \)

.

In dit bericht hebben we dus gevonden:

\( V = 2 . ( \arcsin Q \, + \, \varepsilon . Q ) \, . \, S \)

,

\( S = \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{ \cos^2 \varphi_B }{N_{\oplus} \, . \, H} \right )^3} } \)

,

\( Q = \frac{R . \sin \alpha}{b} \)

.

[Bartjes]

Laat ons nu de excentriciteit ε uitwerken.

In bericht #144 bewezen we onderstaande formule waarmee ε uitgerekend kan worden:

\( \varepsilon = 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

.

En in de berichten #166 en #171 spraken we af dat:

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

,

\( H = \frac{R + h}{R} \)

.

Zodat de formule voor ε aldus kan worden herschreven:

\( \varepsilon = 1 - \frac{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B }{(R + h) \, \gamma M } \)

,

\( \varepsilon = 1 - \frac{R}{R + h} \, . \, \frac{ R^3 \, \Omega^2 }{ \gamma M } \, . \, \cos^2 \varphi_B \)

,

\( \varepsilon = 1 - \frac{1}{H} \, . \, \frac{1}{N_{\oplus}} \, . \, \cos^2 \varphi_B \)

,

\( \varepsilon = 1 - \frac{\cos^2 \varphi_B}{N_{\oplus} \, . \, H} \)

.

In dit bericht hebben we daarmee gevonden:

\( \varepsilon = 1 - \frac{\cos^2 \varphi_B}{N_{\oplus} \, . \, H} \)

.

[Bartjes]

We werken nu Q nog uit.

Bericht #147 leerde ons dat:

\( \alpha= \arccos \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right ) \)

.

In bericht #114 veronderstelden we al dat de hoek β tussen 0 en π/2 rad ligt. De hoek

\(\alpha\)

= β/2 ligt dan tussen 0 en π/4 rad. Zodat:

\( \cos \alpha= \cos \left [ \arccos \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right ) \right ] \)

,

\( \cos \alpha = 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \)

,

\( \cos^2 \alpha = \left (1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \)

,

\( 1 - \sin^2 \alpha = \left (1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \)

,

\( \sin^2 \alpha \, - \, 1 = - \left (1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \)

,

\( \sin^2 \alpha = 1 - \left (1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2 \)

,

\( \sin \alpha = \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2} \)

.

Bericht #139 leverde ons:

\( b = \frac{R + h}{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}} } \)

.

(Waarin het duidelijk is dat b steeds ongelijk aan 0 is.)

Verder spraken we in bericht #173 af dat:

\( Q = \frac{R . \sin \alpha}{b} \)

.

Zodat we vinden:

\( Q = R \, . \, \frac{1}{b} \, . \, \sin \alpha \)

,

\( Q = R \, . \, \frac{ \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1}}{R + h} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2} \)

,

\( Q = \frac{R}{R + h} \, . \, \sqrt{\frac{2 . (R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{h}{R}}{ \frac{(R + h) \, \gamma M }{ R^4 \, \Omega^2 \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1 } \right )^2} \)

,

\( Q = \frac{R}{R + h} \, . \, \sqrt{2 \, . \, \frac{R + h}{R} \, . \, \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2} \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h - R}{R}}{ \frac{R + h}{R} \, . \, \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2 } \, . \, \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} \, - \, 1 } \right )^2} \)

,

\( Q = \frac{R}{R + h} \, . \, \sqrt{2 \, . \, \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2} \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, \frac{R + h}{R} \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h}{R} \, - \, \frac{R}{R}}{ \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2 } \, . \, \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, \frac{R + h}{R} \, - \, 1 } \right )^2} \)

,

\( Q = \frac{R}{R + h} \, . \, \sqrt{2 \, . \, \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2} \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, \frac{R + h}{R} \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{\frac{R + h}{R} \, - \, 1}{ \frac{ \gamma M }{ R^3 \, \Omega^2 } \, . \, \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, \frac{R + h}{R} \, - \, 1 } \right )^2} \)

.

En in de berichten #166 en #171 spraken we af:

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

,

\( H = \frac{R + h}{R} \)

.

De formule voor Q kan daarom als volgt worden herschreven:

\( Q = \frac{1}{H} \, . \, \sqrt{2 \, . \, N_{\oplus} \, . \, \frac{1}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ N_{\oplus} \, . \, \frac{1}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2} \)

,

\( Q = \frac{1}{H} \, . \, \sqrt{ \frac{2 \, . \, N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2} \)

.

In dit bericht hebben we daarmee gevonden:

\( Q = \frac{1}{H} \, . \, \sqrt{ \frac{2 \, . \, N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2} \)

.

[Bartjes]

Alle benodigde deelformules voor het formule-schema zijn nu gevonden. Hieronder staan die formules op een rijtje, met er achter de nummers van de berichten waaraan ze zijn ontleend. Zij vormen daarmee het gezochte formule-schema. Met dit schema kan de complete formule in elkaar worden gezet voor de berekening van de afwijking d voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φ_B van het beginpunt. Maar de concrete berekeningen kunnen uiteraard ook al met behulp van dit schema zelf worden uitgevoerd.

Formule-Schema:

\( d = 2 . R . \arcsin W \)

(Uit bericht #159)

\( W = \sqrt {\sin^2 \Phi + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, U^2 \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \Lambda } \)

(Uit bericht #159)

\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (U \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

(Uit bericht #159)

\( \Lambda = \frac{ V - \arctan \left ( \frac{1}{ \cos \varphi_B} \, . \, \sqrt{\frac{1}{U^2} - 1} \, \right ) }{2} \)

(Uit bericht #159)

\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)

(Uit bericht #171)

\( V = 2 . ( \arcsin Q \, + \, \varepsilon . Q ) \, . \, S \)

(Uit bericht #173)

\( Q = \frac{1}{H} \, . \, \sqrt{ \frac{2 \, . \, N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2} \)

(Uit bericht #175)

\( \varepsilon = 1 - \frac{\cos^2 \varphi_B}{N_{\oplus} \, . \, H} \)

(Uit bericht #174)

\( S = \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{ \cos^2 \varphi_B }{N_{\oplus} \, . \, H} \right )^3} } \)

(Uit bericht #173)

\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)

(Uit bericht #166)

\( H = \frac{R + h}{R} \)

(Uit bericht #171)

[Bartjes]

Met behulp van onderstaande website is het me gelukt een plaatje van de complete formule te fabriceren:

http://www.texify.com/links.php

Hieronder het plaatje:

Formule_d 833 keer bekeken

Wie kijkt het even na?

[Bartjes]

Wie heeft er wat waarden om de uitkomsten van de gevonden formule mee te vergelijken? Hier staat wel het een en ander:

http://scienceblogs.com/builtonfacts/2009/...on_and_cori.php

Maar zie het commentaar van Cleon Teunissen.

En verder:

http://www.cleonis.nl/physics/ejs/ballisti..._simulation.php

Wat we missen zijn doorgerekende of gemeten voorbeelden die ook rekening houden met de zuidelijke afwijking.

[Bartjes]

Ik heb in het subforum "Sterrenkunde en Ruimtevaart" de vraag naar de wetenschappelijke naam van de constante nog eens gesteld, hier zit die verborgen tussen bladzijdenlange afleidingen.

Bedoeld is de constante

\( N_{\oplus} \)

. Het bewuste afgeleide topic is:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php?showtopic=128436

Inmiddels is duidelijk dat het omgekeerde van onze constante (bij het gebruik van de equatoriale straal) een bekende verschijning is. Deze omgekeerde constante blijft echter vaak onbenoemd. Verder gebruiken de auteurs die er wel een naam en teken aan geven niet allen dezelfde naam of het zelfde teken. Een verwarrende zaak.

Ik laat mijn afleiding en formules daarom maar zoals ze zijn. Mocht dat wenselijk zijn, dan kan men varianten van onze formules op basis van die omgekeerde constante ook eenvoudig zelf opstellen.

[die hanze]

is dit nu de formule voor de afgelgde afstand als je sprint met een hoogte h op een bepaalde breedte graad??



kun je eens een paar vb uitrekenen want ik ben echt wel nieuwsgierig, ik ben zelf niet in staat om zo'n lang formule correct in te vullen enzo

[Bartjes]

is dit nu de formule voor de afgelgde afstand als je sprint met een hoogte h op een bepaalde breedte graad??



kun je eens een paar vb uitrekenen want ik ben echt wel nieuwsgierig, ik ben zelf niet in staat om zo'n lang formule correct in te vullen enzo

In de complete formule verdwaal je! Ik heb haar in elkaar gezet met behulp van het Formule-Schema uit bericht #176. Normaal kijk ik dan altijd nog even na of het klopt, maar hier was dat ondoenlijk. Ook voor berekeningen kan je het beste van dat Formule-Schema uitgaan. Als je onderaan begint met het invullen van de gegevens van de aarde, de hoogte van de sprong h en de breedtegraad φ_B van het beginpunt van de sprong, kan je stap voor stap de gevonden resultaten in de daarboven gelegen formules invullen totdat je uiteindelijk bovenaan bij de afwijking d eindigt.

Ik gebruik zelf het onderstaande programmatje:

http://sourceforge.net/projects/preccalc/

Denk er wel aan dat je minstens 200 decimalen achter de komma nodig hebt om zinvolle uitkomsten te krijgen. En dat je er wel even voor moet gaan zitten. Ik heb ook zelf een paar berekeningen gemaakt. Zie de berichten #157, #158 en #161. De afwijkingscomponent in zuidelijke richting lijkt intuïtief wat aan de grote kant, maar helaas kan ik dit vooralsnog nergens mee vergelijken.

Ik moet nu alleen nog bewijzen dat er voor het soort sprongen dat we hier bekijken aan de onderweg gemaakte vooronderstellingen ten aanzien van zekere hoeken voldaan is. Daar werk ik nu nog aan. Afgezien daarvan is de afleiding inderdaad klaar.

Nog een opmerking tot slot: ik ben bij de afleiding van de formules zeer zorgvuldig te werk gegaan, maar een foutje is zo gemaakt. Zeker in zo'n gigantische afleiding als van de huidige formule(s). Zolang er geen onafhankelijke bevestiging is van de correctheid van de resultaten of van de geldigheid van bewijsvoering, staat voor mij nog niet vast dat alles OK is.