Bode diagrammen/overdrachtsfuncties

[ZVdP]

Dat is correct. Als de pool op de imaginaire as ligt wel. We spreken dan ook over een instabiel systeem omdat er dan eindige ingangssignalen zijn waarvoor de uitgang oneindig wordt.

[Griertens]

Maar volgens mijn boek is het systeem altjd instabiel als de polen >= 0 zijn. En we hebben het net gehad over het geval > 0 maar ook voor polen met een reel deel dat positief is, is er instabiliteit... en grafisch gezien zie ik dat dan weer nie gebeuren met de manier van bekijken die je met die tekeningen gebruikte .... als je die 2 complexe polen aan de positieve kant van de reele as zet en je neemt terug een doosnede door de jw-as dan heb je weer gewoon een bode met een piekje ter hoogte van de polen ipv de volgens mij boek verwachte oneindige waarde om het systeem instabiel te hebben ? ...

[ZVdP]

Een instabiel systeem hoet niet perse een oneindige waarde hebben op de bode plot, dit zal enkel zijn wanneer de polen op de imaginaire as liggen.

Wanneer ze in het rechterhalfvlak liggen, krijg je het effect dat het uitgangssignaal onbegrensd blijft groeien.

Beschouw bijvoorbeeld het systeem:

\(G(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}\)

leggen we nu bijvoorbeeld een eenheidsstap aan: u(t)=1, u(s)=1/s

De uitgang is nu:

\(y(t)=L^{-1}(\frac{1}{s(s^2+2s+2)})=te^{-t}\)

Deze is begrensd.

Leggen we nu polen in het rechterhalfvlak:

\(G(s)=\frac{1}{s^2-2s+2}\)

Dan krijgen we als antwoord op de eenheidsstap:

\(y(t)=te^t\)

Deze functie is niet begrensd, dus het systeem is instabiel.

Wat zien we nu: een eindige bode plot staat niet altijd gelijk aan een eindig uitgangssignaal. Vandaar dat we ook kijken naar de polen in het complexe vlak.

[Griertens]

Het probleem is dat ik je voorbeelden steeds wel goed vind en begrijp maar toch nogaltijd moeite heb met die H(jw) die oneindig wordt. Het lijkt me zowat dat wnr de H(jw) naar oneindig neigt in een bepaalde frequentie dit in de praktijk wilt zeggen dat die frequentie eerder "met voorkeur doorgelaten wordt,en in de impulsresponsie verschijnt" en niet echt dat de amplitude van die frequentie echt oneindig wordt.

ik heb trouwens een heel leerzame en goede applet gevonden ! http://www.ee.usyd.edu.au/~hansen/bode/bode.html

veel plezier ermee !

[ZVdP]

Je hebt gelijk dat wanneer je een pool op de imaginaire as hebt, dat deze frequentie niet oneindig versterkt wordt in het uitgangssignaal. Ik was daar even in de war.

De Laplace van een sinus is oneindig op zijn frequentie op de imaginaire as. Een frequentie waar de transferfunctie oneindig wordt wil dus niet per se zeggen dat die frequentie oneindig versterkt wordt, maar eerder dat in het resultaat gewoon een sinus van die frequentie terecht komt.



Zoals bv volgende voorbeeld aantoont:

\(G(s)=\frac{1}{s^2+1}\)

Het impulsantwoord (waarin alle frequenties vertegenwoordigd zijn) geeft een simpele sin(t)

Of wanneer je het systeem aanslaat op een 'verkeerde' frequentie, dus een frequentie ongelijk aan de pool, krijg je als resultaat de som van een sinus op de frequentie van de ingang (de 'verkeerde' frequentie), plus nog de frequentie van de pool.

Of als je een talud aanlegt, krijg je een talud terug met daarop die sinus op gesuperponeerd.

Sla je het systeem nu aan op de frequentie van zijn pool, dan krijg je wel een oneindige versterking:

het antwoord hier is dan

\(y(t)=0.5(\sin{t}-t\cos{t})\)

. (Vergelijkbaar met een wrijvingsloze slinger die je op zijn eigenfrequentie blijft aandrijven.)

Nu denk ik dat ik ook zie waar je het over had in het begin. Je had het over een pool op a+wj en daarbij horend

\(\sin{\omega t}+e^{at}\)

Wanneer je een tweede-orde systeem hebt met polen a+-jw, dan is het impulsantwoord hiervan juist die gedempte sinus.

Dit geldt wel niet meer voor hogere orde systemen; ht impulsantwoord is dan iets complexer, maar je ziet er wel de voorgaande termen in terugkomen

Ik vermoed toch dat je het hierover had? Mijn excuses voor de verwarring hierrond.

Ik had de link eerlijk gezegd niet gelegd met het impulsantwoord, aangezien dat iets is wat ik in de praktijk niet zo vaak tegenkom; aangezien bij het regelen van systemen het stapantwoord en stabiliteit meestal bepalend is en je van 1e en 2e orde systemen ook de tf kan bepalen uit het stapantwoord, of je gewoon niet per se de tf moet weten.

[bessie]

Is het niet zo, dat een signaalbeschrijving en een overdrachtsfunctie nooit precies fysisch hoeven te zijn?

Ik gaf al aan dat een stap of deltafunctie wel een oneindige component kan hebben, maar dat dat alleen kan als de wiskundige beschrijving van dat signaal ook daadwerkelijk fysich uitvoerbaar is. Hetgeen bij een stapfunctie niet zo is.

Het zelfde geldt voor een overdrachtsfunctie. Je kan een slinger door hem op zijn eigenfrekwentie aan te slaan oneindig ver op laten slingeren, alleen gelden op dat moment de wiskundige vergelijkingen niet meer (gelden alleen voor kleine uitwijkingen) en heeft dus ook de overdrachtsfunctie nog slechts een wiskundige waarde. Oneindigheid is niet iets dat fysische waarde heeft.

Wie kan overigens een bodediagram laten zien waarin een oneindige amplitudeversterking staat? Dan zou je kunnen bestuderen welke fysische beperkingen achterwege zijn gelaten bij het opstellen van de overdrachtsfunctie.

[Griertens]

Daar lijkt het inderdaad op neer te komen bessie. Want het blijkt dat in de praktijk een pool meer een indicatie is voor een beperkte opzwaaiing van bepaalde frequenties dan echt het oneindig worden ervan bij excitatie. Ik vind het wel héél schandalig dat dit in de meeste cursussen niet zéér zéér duidelijk word behandelt want het handelt echt wel over de kern van de zaak ... Ik heb de indruk dat men in de cursussen die ik krijg op school die zaak een beetje vermeden word omdat ze wat ongemakkelijk is.

[ZVdP]

Natuurlijk kan je niet verwachten dat een reëel systeem een oneindige opslingering krijgt; daarvoor zou je er ook oneindig veel energie in moeten steken.

Een pool exact op de imaginaire as zal in de praktijk niet makkelijk voorkomen, aangezien je dan geen enkele demping mag hebben. Dat neemt niet weg dat voor kleine excitaties een pool op de imaginaire as een goede beschrijving vormt.

Merk ook op dat de polenligging niet tijdsonafhankelijk hoeft te zijn. In het begin, voor kleine excitaties, kan een pool op de imaginaire as liggen. Bij excitatie met deze frequentie zal de uitgang van het systeem groter en groter worden. Bij deze grote signalen kan het systeem anders reageren (bv niet-lineariteiten); er treedt bijvoorbeeld meer demping op en de polen verschuiven naar links.

In eerste benadering zal een goede integrator, met een opamp, een pool hebben in de oorsprong. Dit is natuurlijk alleen maar geldig zolang het signaal niet te groot is; wordt het te groot, dan krijg je een hele andere transferfunctie.