Arbeid

[Pollop XXIII]

In ons boek Fysica hebben we enige tijd geleden een formuletje gezien waarmaa je de arbeid die nodig is om een voorwerp een snelheid te geven kan berekenen.

De formule is W = (m.v²)/2 (W= arbeid, m=massa, v=snelheid)

We moeten deze formule gewoon aannemen, ze wordt ons verteld e wij moeten ze van buiten leren. Dit vind ik dikke zever, ze zouden ons beter het formuletje laten afleiden vanuit andere formules die we al kennen. Dit heb ik dan ook geprobeert, maar ik krijg iets raar. Ik heb het als volgt gedaan:

W = F. delta x

Verder weet ik dat F = m.a => W = m . a . delta x (a= versnelling)

a staat in m/s², dus maal delta x (in meter) geeft dat:

a.delta x= v²

==> W = m.v²

Nu zo het hele boeltje nog eens gedeeld moeten worden door twee, maar ik zie geen enkele reden waarom?

Dus mijn vraag: Vanwaar komt die 2? Aaargh... heeft vroeger zo al iets gevraagd, maar hij kreeg er toen geen antwoord op. Nog eens proberen kan geen kwaad hé.

Hetzelfde probleem is er trouwens bij de formule waarbij de arbeid nodig om een veer een bepaalde uitrekking te geven berekened kan worden.

W = (k.x²)/2

Als ik probeer af te leiden vanwaar die formule komt, heb ik hetzelfde probleem...

Kan iemand mij helpen?

[Mat '64]

is niet F = m[.]a de afgeleide van E = 1/2m[.]v²?

heeft denk ik ongeveer dezelfee reden als dat S = v[.]t de afgeleide is van S = 1/2at²

Zit waarschijnelijk dezelfde reden achter, maar wat voor reden, dat lukt mij helaas niet om het te herleiden. .

[Anonymous]

[quote='Mat '64']is niet F = m[.]a de afgeleide van E = 1/2m[.]v²?

heeft denk ik ongeveer dezelfee reden als dat S = v[.]t de afgeleide is van S = 1/2at²

Zit waarschijnelijk dezelfde reden achter, maar wat voor reden, dat lukt mij helaas niet om het te herleiden. .[/quote]

De hoeveelheid energie welke is opgeslagen in een stuk massa komt uit de wet van Newton (F=m*a). De hoeveelheid energie in een massa is gelijk aan de geleverde arbeid. De geleverde arbeid word gegeven door W=0.5*a*t^2*F a mag ik vervangen door F/m dus dat wordt dan (0.5*F^2*t^2)/m. Als je dit dan weer netjes gaat omschrijven dan krijg je.

precies de eenheid Kilogram maal meter kwadraat delen door seconden kwadraat (de eenheid van energie).

[jaja]

W = F*ds

met F = m*a = m*dv/dt = m*(dv/ds)*(ds/dt) = m*v*dv/ds

geeft

W = m*v*dv/ds*ds = m* v dv

= 1/2mv²eind - 1/2mv²begin

Hij is ook zonder integraal af te leiden trouwens

edit: foutje gewijzigd

[Anonymous]

Arbeid nodig om een voorwerp snelheid te geven?

Arbeid drukt een verschil tussen 2 energietoestanden uit.

-Praktische definitie: (gemiddelde) snelheid v = (x2-x1) / (t2 - t1)

-Theoretische definitie: (momentele) snelheid v = dx / dt

(d staat voor een oneindig klein verschil)

Waarom moet dit zo? Banen kunnen krom zijn en het is de gehele afgelegde weg en niet enkel het rechtlijnige plaatsverschil tussen twee toestanden dat relevant is voor de vraag wat er tussen deze 2 energietoestanden gebeurde! (het nut van afgeleiden)

=> Analoog: a = dv / dt

(snelheid, alsook versnelling kunnen in ALLE richtingen veranderen)

Newton: Definitie van kracht: m [kg] . a [m/s²] = F [N]

(ofte getal maal vector is dus (!) vector)

=> dF = m . da

Einstein: Massa verandert bij snelheidveranderingen (t.o.v. de constante lichtsnelheid)

=> Correcter: dF = d(m.a) = dm.a + m.da

Per definitie geldt ook: dE = d(F.x) = dF.x + F.dx

==>> dE = (dm.a + m.da).x + integraal(dm.a + m.da) . dx

==>> VEEL TE COMPLEX

Laten we verder de eenvoudigere Newtoniaanse fysica volgen!

==>> dE = F . dx = m . a . dx

==>> E = integraal[m.a.dx] = int[m.(dv/dt).dx] = int[m.dv.(dx/dt)]

= int[m.dv.v] = m . int[v.dv] = (m.v²)/2

WANT: dv² is 2.v.dv

Jouw formule voor arbeid W = (m.v²)/2 geldt enkel als de beginsnelheid nul is!

Anders geldt: W = m . (v2 - v1)² / 2

[Anonymous]

Of de eindsnelheid nul en de arbeid negatief.

[Pollop XXIII]

Ok bedankt!

Ik kan nog niet met differentialen of integralen werken, dus ik versta eigenlijk maar de helft van al deze uitleg (hoe spijtig ik het ook vindt)

Ik denk toch wel dat ik een idee heb van wat jullie bedoelen.

Omdat de beweging niet noodzakelijk rechtlijnig is en de kracht niet noodzakelijk altijd even hard inwerkt op het voorwerp, volgen er een hele reeks differentialen en integralen en daaruit komt die 2 (juist?)

Dus als het voorwerp perfect op een rechte lijn blijft en de kracht die voor de versnelling zorgt altijd even hard inwerkt op het voorwerp, zou het dan kunnen dat de formule W = m.v² toch een juiste uitkomst geeft?

[aaargh]

Ok bedankt!

Ik kan nog niet met differentialen of integralen werken, dus ik versta eigenlijk maar de helft van al deze uitleg (hoe spijtig ik het ook vindt)

Ik denk toch wel dat ik een idee heb van wat jullie bedoelen.

Omdat de beweging niet noodzakelijk rechtlijnig is en de kracht niet noodzakelijk altijd even hard inwerkt op het voorwerp, volgen er een hele reeks differentialen en integralen en daaruit komt die 2 (juist?)

Dus als het voorwerp perfect op een rechte lijn blijft en de kracht die voor de versnelling zorgt altijd even hard inwerkt op het voorwerp, zou het dan kunnen dat de formule W = m.v� toch een juiste uitkomst geeft?

Nop. Ik ga proberen et eens duidelijker uit te leggen.

(w=arbeid, f=kracht, x=afgelegde weg, a=versnelling, m =massa, t=tijd, v=snelheid)

arbeid is kracht maal afstand

W=F*x

W=ma*x

afgelegde afstand is at�/2

dus wordt het W=ma*at�/2

dus dat is ma�t�/2

at is snelheid dus uiteindelujk komen we aan

w=mv�/2

Is het nu duidelijk?

[Anonymous]

Stel:

- Je bevindt je op een rechte as op 2 meter van het nulpunt

* Dit noem ik x(1) = 2 meter

- Dan beweeg je je met een constante snelheid naar 5 meter v/h nulpunt

* Dit noem ik x(2) = 5 meter

Wat was de gemiddelde locatie op de as?

=> [x(2) + x(1)] / 2 = (5 + 2) / 2 = 3,5 meter van het nulpunt

Wat was de gemiddelde afwijking van de begintoestand x(1) of de eindtoestand x(2) dan?

=> [x(2) - x(1)] / 2 = (5 - 2) / 2 = 1,5 meter

(want: x(2) - 3,5 = 3,5 - x(1) = 1,5 meter)

Bij arbeid geldt analoog: W = E(2) - E(1) = m.[v(2)² - v(1)²] / 2

[Pollop XXIII]

Je neemt dus gewoon het gemiddelde van de twee

Aaargh zijn uitleg kon ik niet volgen. Waarom is x gelijk aan at²/2 ?

Als a = x/t² , dan is x toch at² zou ik denken? Hier tover je de twee zomaar ergens vandaan, en dat was wat ik met mijn vraag bedoelde... Vanwaar de 2?

Als je ook het gemiddelde neemt, waarom dan, waarom kan je hier niet gewoon lineair het formuletje afleiden met als uitkomst x=at² ?

Bedankt allemaal voor de uitleg!

Dus mv² is in feite gelijk aan het dubbele van de kinetische energie die het voorwerp bezit. Juist? Of zeg ik nu weeral iets dom?

Ik heb het gevoel dat ik ongelooflijk domme vragen aan het stellen ben, dus ik zal er op mijn gemak in alle rust eens over nadenken voor ik hier helemaal mijn kop niet meer durf te vertonen...

[aaargh]

Je neemt dus gewoon het gemiddelde van de twee

Aaargh zijn uitleg kon ik niet volgen. Waarom is x gelijk aan at�/2 ?

Dat is dan weer integraalrekening.

x(t)= v dt

x(t)= at dt

x(t)= at�/2

Voorbeeldje:

Een voorerp heeft een constante versnelling van 1m/s�.

Hoe ver is het na 5 seconden?

1*5�/2 = 12.5

Dus heeft het voorwerp 12.5 meter afgelegd.

Als je niet met integralen kunt werken moet je dit gewoon aanemen.

Dus mv� is in feite gelijk aan het dubbele van de kinetische energie die het voorwerp bezit. Juist? Of zeg ik nu weeral iets dom?

Dit is correct.

[Pollop XXIII]

Dit is correct.

oef

En ontzettend bedankt!

[Anonymous]

Als je niet met integralen kunt werken moet je dit gewoon aanemen.

Dat is inderdaad het eenvoudigste!

Het is echter ook logisch aanvoelbaar, vermits iemand ooit deze integraalrekening heeft uitgevonden en eens je het kunt aanvoelen moet je de gehele integraalrekening niet vanbuiten leren om ze te kunnen toepassen.

(zelf begrijp ik er ook niet veel van hoor)

x(t)=  v dt

x(t)=  at dt

x(t)= at�/2

Dit geldt enkel bij constante versnelling!

Snelheid kan je slechts bepalen aan de hand van plaatsverschillen op verschillende tijdstippen.

=> v = dx / dt

Versnelling kan je slechts bepalen aan de hand van snelheidsverschillen op verschilende tijdstippen.

=> a = dx / dt

dx = v . dt

=> x = v . dt

=> x = [ a . dt] . dt

Bij constante versnelling mag je a buiten de integraal brengen en geldt:

x = a . t . dt = (a . t²) / 2

Intuïtief (bij constante versnelling):

-Begincondities:

x(i) = 0 m

v(i) = 0 m / s

a(i) = a(u) = 1 m / s²

=> Eindcondities (na 1 seconde) ???

v(u) = 1 m / s WANT we versnellen gedurende 1 seconde met [1 m/s] per seconde

De snelheid NA één seconde is 1 m/s!

Als deze snelheid er constant was geweest hadden we na 1 seconde één meter afgelegd (a . t² = 1 m/s² . 1 s² = 1 m).

We zijn echter vertrokken van snelheid 0 m/s => De afgelegde weg x(u) - x(i) = x(u) - 0 = x(u) = 0,5 meter = (a . t²) / 2

Na een halve seconde bvb. zien we echter:

x(na 0,5 seconde) = [1 m/s² . (0,5 s)²] / 2 = 0,125 m

=> x(vanaf 0,5 seconde tot 1 seconde) = x(u) - x(na 0,5 seconde)

=> x(0,5 s --> 1 s) = 0,5 m - 0,125 m = 0,375 meter

Dit is toch logisch?

Ik versnel, dus mijn gemiddelde snelheid zal de tweede halve seconde hoger liggen dan de eerste halve seconde, dus de afgelegde afstand is de tweede halve seconde dan ook groter dan de eerste halve seconde !!!

[aaargh]

Dan is volgens mij de integraalrekening toch eenvoudiger hoor. 8)

[Anonymous]

F***, de integrallen vielen weg

dx = v . dt

=> x = integraal[v . dt]

=> x = integraal[integraal(a . dt)] . dt

Bij constante versnelling mag je a buiten de integraal brengen en geldt:

x = a . integraal[integraal dt] . dt

x = a . integraal[t . dt] = a . (t² / 2) = (a . t²) /2

[/i]