Nanocursus 2 vergelijkingen met twee onbekenden

[Jan van de Velde]

We zoeken met smart vrijwilligers om onderstaand picocursusje, even uit de losse pols in elkaar gegooid voor een "klant" in het huiswerkforum, op te werken tot een nanocursus of zelfs microcursus, door uitbreiding met mogelijk nog andere technieken, de idee van drie vergelijkingen met drie onbekenden en vooral met véél oefeningetjes oplopend in moeilijkheidsgraad, met overigens de nadruk op het systeem en de "geintjes" die je kunt toepassen om tot eliminatie of substitutie te kunnen komen, en minder op de moeilijkheidsgraad van de vergelijkingen zelf.

Missie: hou het helder.

picocursusje 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, basis

oplossen door eliminatie:

a + b = 20

a - b = 8

trek beide vergelijkingen van elkaar af:

a - a = 0 (joepie, a valt weg, is m.a.w. geëlimineerd)

b - (-b) = 2b

20 - 8 = 12

blijft over:

2b = 12, ofwel b = 6

vul nu 6 in voor b in in een van de twee oorspronkelijke vergelijkingen,

a + 6 = 20

en dan blijkt dat a gelijk moet zijn aan 14.

je kunt ook optellen:

a + a = 2a

b + -b = 0 (joepie, b geëlimineerd)

20 + 8 = 28

blijft over

2a = 28 ofwel a = 14

(vul weer in in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen om vervolgens b te vinden)

als er niets verdwijnt door direct optellen of aftrekken:

a + b = 20

2a-3b = 10

opdat door eliminatie of de a of de b kan verdwijnen, vermenigvuldig alle termen in de eerste vergelijking emt een handig getal, hier bijv 3, zodat je de b kunt elimineren

3a + 3b = 60

2a - 3b = 10

dan weer optellen om b te elimineren

5a + 0 = 70

en werk verder af.....

oplossen door substitutie (vervanging):

a + b = 20

2a - 3b = 10

herschrijf een van de vergelijkingen totdat je overhoudt a= ....... of b= ........ , (kies iets handigs)

a= 20 - b

vervang nu in de ándere vergelijking alle a's door (20-b)

2(20 - b) -3b =10

je hebt nu één vergelijking met één onbekende, werk uit

40 - 2b -3b = 10

40 - 5b = 10

-5b = -30

b= 6

(vul weer in in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen om vervolgens a te vinden)

En moeilijker is het eigenlijk niet. Alleen door lastigere vermenigvuldigingsfactoren bij je onbekenden kan het bijbehorende rekenwerk lastiger of vermoeiender worden.

nog een tip: controleer je opgeloste onbekenden door ze in BEIDE vergelijkingen in te vullen en de uitkomst te checken. Een rekenfoutje zit in een klein hoekje.

[Puntje]

Misschien een idee om lineaire algebra erbij te betrekken? Zoals aangevulde matrices reduceren door Gauss-eliminatie om zo tot een oplossing te komen van een stelsel vergelijkingen. Komt in principe neer op andere technieken zoals de eliminatie hierboven, maar het brengt misschien wat overzichtelijkheid.

[bessie]

Misschien een idee om lineaire algebra erbij te betrekken? Zoals aangevulde matrices reduceren door Gauss-eliminatie om zo tot een oplossing te komen van een stelsel vergelijkingen. Komt in principe neer op andere technieken zoals de eliminatie hierboven, maar het brengt misschien wat overzichtelijkheid.

Dat wel maar de mensen voor wie de cursus bedoeld is zijn waarschijnlijk niet blij met ook nog matrixrekenen. Je kan de verg. met twee onbekenden eenvoudig uitbreiden naar drie, zonder matrices.

Gebruik de zelfde twee methoden als het voorbeeld dat er staat. Leg er de nadruk op dat als je elimineert dat je dan één variabele 'kwijt raakt'. Verder dat als je een oplossing zoekt voor drie onbekenden, dat je dan drie vergelijkingen nodig hebt. Dus het voorbeeld wordt

Stel je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden.:

a + b +c = 20

a - b - c = 8

a + b - c =10

Je begint met elimineren, dus trek de eerste twee vergelijkingen van elkaar af:

a - a = 0 (joepie, a valt weg, is m.a.w. geëlimineerd)

b - (-b) = 2b

c - (-c) = 2c

20 - 8 = 12

blijft over:

2b + 2c = 12

Trek ook de tweede van de derde af, dan krijg je op dezelfde manier

2b = 2 (verrassing, in één keer a en c geelimineerd, b is dus 1!)

vul nu 1 in voor b in de gevonden vergelijking tussen b en c,

2+ 2c = 12

dus c= 5 (controleer dit)

Met de gevonden b en c kun je nu makkelijk a bepalen.

Je kunt ook optellen, net als in het eerste hoofdstuk. Soms is optellen makkelijker, soms niet. Kijk goed naar de vergelijkingen voor je beslist wat je doet, dat kan je een hoop tijd besparen.

Krijg je zoiets als

a + b +c = 20

2a-3b +3c= 10

3a-4b + 2c=50

dan kun je, net als in het vorige hoofdstuk, eerst één of meer vergelijkingen vermenigvuldigen met een handig getal.

Ook hier geldt: eerst goed kijken, niet meteen gaan rekenen.

Oplossen door substitutie (vervanging):

Heb je de eerste vergelijking (zie hierboven) vermenigvuldigd met 2, dus

2a+2b+2c=40

en afgetrokken van de tweede, dan heb je als antwoord gekregen

-5b +c = -30

Er is nu geen factor te verzinnen, waarmee direct één van de variabelen geelimineerd kan worden. Je moet nu direct gaan substitueren. Je kan namelijk het resultaat omrekenen naar

c = 5b -30

en dat kun je nu in alle vergelijkingen invullen. Op deze wijze krijg je een stelsel vergelijkingen waar c uit is verdwenen. Maar dat worden dan drie vergelijkingen met twee onbekenden, je noemt dat een afhankelijk stelsel. Om het op te lossen hoef je maar twee van de drie vergelijkingen te gebruiken:

etc.

[Puntje]

Dus dit is voor de echte beginner bedoeld? Ik ben niet zo bekend met dit forum, dus vandaar dat ik gewoon de suggestie gaf.

Mocht het lineaire algebra verhaal toch gewenst zijn, dan wil ik best een stukje schrijven met goede LaTeX opmaak.

[bessie]

Het antwoord dat ik gaf was op persoonlijke titel hoor, misschien zie ik het verkeerd. Dat laten we aan Jan over denk ik zo.

Nog even een andere suggestie, maak het onderscheid tussen elimineren en substitueren niet groter dan het is.

a + b = 20

a - b = 8

De onderste verg. kan worden geschreven als a= b+ 8. Substitueer je dat in de bovenste, dan krijg je (b+8)+b=20 en dat is gewoon 2b=12, b=6.

Dat is van belang, want voor een leerling kan het moeilijk zijn te kiezen. Het is in dat geval fijn om te weten, dat welke keuze je ook maakt, het resultaat uiteindelijk gelijk is.

Bovendien geeft het je de mogelijkheid, zelf te kiezen welke methode je neemt. Ik heb persoonlijk het optellen van vergelijkingen altijd een vreemde zaak gevonden, en ik heb in sommige situaties getwijfeld of het wel juist was wat ik deed.

Kies dan dus de methode waarvan je zeker bent.

Tenslotte vraag ik me nog af of het niet nuttig is om ook een toepasssing te noemen, bv. het snijden van grafieken van twee lineaire functies. Of mag je aannemen dat iemand die een stelsel wil oplossen, weet waarom dat moet?

[Jan van de Velde]

Dus dit is voor de echte beginner bedoeld?

Dit soort dingetjes, en dit cursusje in het bijzonder, ja, écht voor beginners, en voor degenen die het even kwijt zijn.

We komen het vaak tegen dat mensen klem zitten met soms de meest basale dingen. Informatie elders biedt dan niet altijd soelaas, niet zelden omdat er veel te veel wordt bijgehaald zodat de beginner in die uitleg alsnog verzuipt. De idee "je vindt wat je nodig hebt voor je dagelijks gebruik, niet meer en niet minder", toepassingsgericht, veelal voor de middenjaren van de middelbare school, blijkt succesvol. Het basiscursusje goniometrie is een topper: tientallen serieuze hits per dag. Rekenen met breuken, mol, vectorieel optellen van krachten, allemaal van die dingetjes die onmisbaar zijn maar helaas al te vaak té vaag blijven op school. Op de gebieden van de microcursussen krijgen we nu in het huiswerkforum gerichtere vragen (m.a.w. de basis is dan meestal wél begrepen, nu de details nog, of de toepasing in "speciale" gevallen).

Aan dit cursusje matrixen vastknopen lijkt me dan ook inderdaad het doel voorbij schieten.

[Puntje]

Dit soort dingetjes, en dit cursusje in het bijzonder, ja, écht voor beginners, en voor degenen die het even kwijt zijn.

We komen het vaak tegen dat mensen klem zitten met soms de meest basale dingen. Informatie elders biedt dan niet altijd soelaas, niet zelden omdat er veel te veel wordt bijgehaald zodat de beginner in die uitleg alsnog verzuipt. De idee "je vindt wat je nodig hebt voor je dagelijks gebruik, niet meer en niet minder", toepassingsgericht, veelal voor de middenjaren van de middelbare school, blijkt succesvol. Het basiscursusje goniometrie is een topper: tientallen serieuze hits per dag. Rekenen met breuken, mol, vectorieel optellen van krachten, allemaal van die dingetjes die onmisbaar zijn maar helaas al te vaak té vaag blijven op school. Op de gebieden van de microcursussen krijgen we nu in het huiswerkforum gerichtere vragen (m.a.w. de basis is dan meestal wél begrepen, nu de details nog, of de toepasing in "speciale" gevallen).

Aan dit cursusje matrixen vastknopen lijkt me dan ook inderdaad het doel voorbij schieten.

Ok, begrepen. Ook wel logisch eigenlijk, en nog voor een goed doel ook als je het zo bekijkt.

[Jan van de Velde]

bump
 
Liefhebbers gevraagd om op een regenachtige zondagnamiddag oefeningetjes in oplopende graad van moeilijkheid in elkaar te steken, compleet met antwoorden en ook volledige stap voor stap uitwerkingen met uitleg per stap, die we dan later eventjes netjes in verborgen inhouden wegsteken. 
 
voorbeeld van zo'n weergave: 
http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/93336-microcursus-formules-herschrijven-vergelijkingen-oplossen/?p=939390