Oefeningen bij vergelijkingen van lagrange

[VegTo91]

Hallo,

Volgende twee oefeningen gaan over Lagrange vergelijkingen:

1/ Beschouw een deeltje met een massa m dat gebonden is te bewegen langs een schroefoppervlak en verder van de as van het schroefoppervlak een afstotende kracht ondervindt, waarvan de grootte evenredig is met de afstand tot die as. Stel de Lagrange vergelijkingen op ...

2/ Een deeltje met m1 bevindt zich op de tafel en is via een onuitrekbaar koord met lengte l door een gat in de tafel verbonden met een deeltje met massa m2, onderworpen aan de zwaartekracht. Ste de vergelijkingen van Lagrange op...

Nu mijn twee vragen respectievelijk behorende bij bovenstaande vragen:

1/ In de oefenzitting zei men dat de afstotende kracht een conservatieve kracht is, hoe kan je dat afleiden uit de opgave?

2/ Aan de tweede oefening zit ik vast met de positie te bepalen van de massa's (ivm veralgemeende coordinaten). Ik dacht dat je de ene positie moest schrijven in functie van de positie van de andere massa... Ik weet niet of dit juist is, mocht dit juist zijn, dan weet ik niet zo goed hoe ik het zou doen.

Bedankt!

Mvg

VegTo91

[aestu]

Op 1/: Heb je die kracht niet in vectorvorm? Dan kan je nagaan of

\( \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0} \)

want dit betekent dat F kan geschreven worden als

\( \vec{F} = - \vec{\nabla} \phi \)

en dus afleidbaar van een potentiële energiefunctie.

[VegTo91]

Op 1/: Heb je die kracht niet in vectorvorm? Dan kan je nagaan of

\( \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0} \)

want dit betekent dat F kan geschreven worden als

\( \vec{F} = - \vec{\nabla} \phi \)

en dus afleidbaar van een potentiële energiefunctie.

Aangezien hij evenredig is met de afstand tot de as van de schroef is dit:

\(F = k\rho\vec{e}_{\rho}\)

Dus wat ik hoef te doen om te weten of de kracht conservatief is, is kijken of

\(\nabla \times \vec{F} = \vec{0}\)

?

[aestu]

Dit is idd equivalent.

http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_...th_independence

[VegTo91]

Dit is idd equivalent.

http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_...th_independence

Ik heb al iets geprobeerd, maar ik doe het waarschijnlijk verkeerd met die rotor want ik kom een niet conservatieve kracht uit :s

[aestu]

Ik vermoed dat je werkt in cilindercoordinaten.

Als dat je vectoriële kracht is, druk de nabla eens uit in cilindercoordinaten en werk gewoon uit.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_vers...e_assenstelsels

[VegTo91]

Ik vermoed dat je werkt in cilindercoordinaten.

Als dat je vectoriële kracht is, druk de nabla eens uit in cilindercoordinaten en werk gewoon uit.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_vers...e_assenstelsels

Dus is het eigenlijk zo?

\(\left | \begin{array}{ccc} \vec{e}_{\rho} & \vec{e}_{\phi} & \vec{e}_z \\\dfrac{\partial}{\partial{\rho}} & \dfrac{\partial}{\partial{\phi}} & \dfrac{\partial}{\partial{z}} \\k\rho & 0 & 0 \\\end{array} \right |= \vec{0}\)

\(-\dfrac{\partial}{\partial{\phi}}k\rho\vec{e}_z+\dfrac{\partial}{\partial{z}}k\rho\vec{e}_{\phi} = \vec{0}\)

Aangezien

\(\rho\)

niet afhankelijk is van

\(\phi\)

en z is dus beide leden 0?

[aestu]

Je uitdrukkingen in je determinant kloppen niet volledig. Je moet overgaan op een cilindrisch assenstelsel. Deze zal zorgen voor extra factoren. Je conclusie klopt inderdaad wel. Kijk nog eens goed hier naar. De rotor van A in cilindrische coördinaten wordt gegeven door:

\(A_{\rho} = k \rho \)

\(-\frac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial{\phi}}k\rho\vec{e}_z+\dfrac{\partial}{\partial{z}}k\rho\vec{e}_{\phi} = \vec{0}\)

Deze is idd onafhankelijk van z en phi en dus is de rotor van F 0.

[VegTo91]

Je uitdrukkingen in je determinant kloppen niet volledig. Je moet overgaan op een cilindrisch assenstelsel. Deze zal zorgen voor extra factoren. Je conclusie klopt inderdaad wel. Kijk nog eens goed hier naar. De rotor van A in cilindrische coördinaten wordt gegeven door:

\(A_{\rho} = k \rho \)

\(-\frac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial{\phi}}k\rho\vec{e}_z+\dfrac{\partial}{\partial{z}}k\rho\vec{e}_{\phi} = \vec{0}\)

Deze is idd onafhankelijk van z en phi en dus is de rotor van F 0.

Ah ok, heel erg bedankt!