Scharnierligger

[Coen S]

Ik ben gister op het volgende gekomen. De oplegreacties in A en B heb ik bepaald uit het gegeven dat het moment in S nul moet zijn:

M(as)s = 0 = 0,5*x^2*q - x*Av + 0,5Ma

M(sb)s = 0 = 0,5*Bv + (l-x)*Bv - (l-x)*F

VE = 0 = Av + Bv + q*x + F

Het punt waar het moment maximaal is, is daar waar de dwarskracht 0 is, en dat punt noem ik C. Hieruit volgt de eis dat (bij opgave a) Mc = Ma.

Punt C kan worden gevonden door C*q bij Av op te tellen. Dus C = Av/q

Het moment in C wordt berekend uit: Mc = -Av*c + 0,5*q*c^2

Mc = Ma --->

-Av*c + 0,5*q*c^2 = 2x*Av - x^2*q

Av = q*x + 15 - Bv

Bv = 15 - (Mb / (2*(9,1-x)))

Als ik alles invul wat ik weet (en Bv alvast invul in Av) krijg ik:

-Av*c + 0,5*11*c^2 = 2x*Av - 11x^2

Av = 11x + (52,4667/(2*(9,1-x)))

C = Av / 11

Als ik dit nu met Maple oplos krijg ik echter de volgende uitkomsten:

x = 9,15 en c = -40,7 (kan niet)

x = 9,55 en c = 4,3 (kan niet)

x = -0,05 en c = 0,21 (kan niet)

x = -0,45 en c = 0,20 (kan ook niet)

Oftewel: Ergens gaat iets fout, want ik krijg niet een antwoord dat mogelijk is.

Ik moet ook zeggen dat ik niet echt overeenkomsten zie met met wat jij voor Av, Bv en Ma hebt gevonden, jhnbk.

Wat doe ik (nu weer ) verkeerd?

Ik heb overigens geen antwoord voor het probleem, maar ik kan het wel controleren. Het doel van het practicum is namelijk om feeling te krijgen met het programma Matrixframe, zodat ik dat goed leer gebruiken. We moeten dus eerst een handberekening doen en vervolgens deze controleren met dit programma.

[oktagon]

Het moment rechts van rol B ( dus met alleen een verticale oplegreactie) is naar mijn mening 52.67 kNm en zal een verticale druk naar boven in het scharnier veroorzaken van 52.47 kNm/ {(2*9.10/3)-x}mtr ofwel 52.47 kNm/ (6.0667-x)mtr.

Omgekeerd wordt er door het deel AS een druk naar beneden doorgegeven op het scharnier S en die zou je mogelijk kunnen berekenen door het inkl.moment bij A te berekenen door AS te beschouiwen als ingeklemde ligger en dan wordt dat 0.5* 11 *x² en om de drukkracht naar beneden te vinden zou je de gelijkm.belasting omzetten naar P*x,waarbij de P dan 0.5* 11 *x² /x = 0.5 *11*x kN zou worden.

Er wordt door het scharnier geen moment doorgegeven.

Die drukkrachten houden het scharnier in evenwicht wat zou betekenen dat 52.47 kNm/ (6.0667-x)mtr.[/b]=0.5*11*x kN;

als je dat verder in een alg.vergelijking opzet:52.47 kNm = (6.0667-x)mtr.*0.5*11*x kN [/b] en dan vervolgens 5.5x² -33.37x -52.47=0;de verdere algebra laat ik aan jou over om hier de x uit te halen.

[oktagon]

Mijn snelle berekening levert x= 3.0337 mtr op ,toevallig weer L/3,ik vind het antwoord te mooi om waar te zijn,dus studeer erop!;de discriminant leverde geen wortels op,doordat die negatief was (-51)

[Coen S]

Bedankt voor je moeite oktagon. Ik ben op dit moment even voor een verjaardag naar mijn ouders en heb m'n spullen niet meegenomen. Morgenochtend vroeg ga ik er weer aan verder en zal ik er weer naar kijken!

[jhnbk]

Als ik het goed heb zou je alvast moeten vinden voor de reactie krachten (in functie van alle variabelen):

\([A=\frac{3\,T+l\,F+3\,q\,{x}^{2}-3\,l\,q\,x}{3\,x-3\,l},B=-\frac{3\,T+\left( 4\,l-3\,x\right) \,F}{3\,x-3\,l},A_z=-\frac{6\,x\,T+2\,l\,x\,F+3\,q\,{x}^{3}-3\,l\,q\,{x}^{2}}{6\,x-6\,l}]\)

Beschouw eerst x als bekend zodat je de reactie krachten in functie van x hebt. Stel dan de nodige voorwaarden op voor x.

Die voorwaarde is dus dat het maximaal veldmoment gelijk moet zijn aan het inklemmingsmoment. (Let op de tekens )

@Oktagon: ik heb andere waarden voor x. (Wat uiteraard niet wil zeggen dat ik het aan het juiste eind heb )

[oktagon]

Ik ben ook benieuwd naar het antwoord,dat Coen wel erbij gekregen heeft ter controle,maar zelf moet aantonen!

[Coen S]

Nogmaals, ik kan slechts controleren en weet (nog) niet wat het exact moet zijn. Wel ben ik er achter dat bij vraag a, x rond de 7,7m zal zitten.

Jhnbk, ik snap je formules nu (heb even m'n lijst met standaardregeltjes er bij gepakt) en achteraf had ik dat zelf natuurlijk ook moeten krijgen.

Ik heb een beetje gespeeld met een waarde voor x, waaruit ik heb geconcludeerd dat x rond de 7,7 meter zal zitten:



Ik heb vervolgens geprobeerd om [x=7,7] uit de vergelijking te halen en te vervangen door de voorwaarde: Ma = Mc. Hier houdt Maple alleen niet erg van terwijl ik dan van mening ben dat er genoeg eisen zijn gesteld om x te kunnen bepalen...

Edit: Pff... Nu gaat het weer niet goed zie ik; Ik heb voor Mc (x-c) niet in het kwadraat genomen en ik heb zowel (x-c) als c^2 niet met een half vermenigvuldigd. Wanneer ik dat wel doe zijn Ma en Mc niet aan elkaar gelijk te stellen... Ook zal Mc + Ma =0 moeten gelden, ipv Ma = Mc wat ik nu had gesteld...

Edit 2: Bovenstaande foutjes gecorrigeerd:



Nu even een windows pc met matrixframe opstarten en controleren!

[Coen S]

Hm, deze uitkomsten lijken nog te kloppen ook, al vind ik ze wel wat vreemd.

Bij x = 0,558 is het inklemmings- en veldmoment beiden gewoon heel laag. Vanaf x = 8,54 wordt het inklemmingsmoment tevens het maximale veldmoment, dus dit klopt in dat opzicht ook.

In het eerste geval wordt het steunpuntmoment in B wel erg groot vergeleken met het inklemmings- en veldmoment, in het 2e geval is het inklemmingsmoment erg groot.

P.S. Dit zijn natuurlijk uitkomsten voor vraag b, in tegenstelling tot wat ik in het vorige bericht zei. Het antwoord voor a moet ik nog even naar kijken!

[oktagon]

Die drukkrachten houden het scharnier in evenwicht wat zou betekenen dat 52.47 kNm/ (6.0667-x)mtr.[/b]=0.5*11*x kN;

als je dat verder in een alg.vergelijking opzet:52.47 kNm = (6.0667-x)mtr.*0.5*11*x kN [/b] en dan vervolgens 5.5x² -33.37x -52.47=0;de verdere algebra laat ik aan jou over om hier de x uit te halen.

Ik haalde een fout uit ](*,) door de totale lengte van de balk op 910 cm te nemen;het blijk echter de afstand tussen de 2 steunpunten te zijn en die nam ik aan als 2/3 deel ofwel 606.67 cm en zou mijn berekening

52.47 kNm = (9.10-x)mtr.*0.5*11*x kN en dan vervolgens 5.5x² -50.05x -52.47=0 moeten zijn

Mijn weer handmatige berekening levert nu voor x op 10.05 mtr bij een positieve discriminant en bij een neg.discr. -0.95 mtr,(tel je dat bij elkaar op dan krijg je de L van 9.10 mtr!?);bekijk dat eens!

[jhnbk]

@oktagon: x moet kleiner zijn dan l denk ik om jouw redenering te doen kloppen.

Ik denk dat het te ingewikkeld gemaakt wordt.

Voor de eerste opgave reken ik verder als volgt:

De momenten vergelijking is (voor u als variabele! ) :

\(M\left( u\right) :=\frac{\left( -11\right) \,{u}^{2}}{2}+\frac{-\left( 330\,{x}^{3}-3003\,{x}^{2}+3148\,x\right) }{60\,x-546}+\frac{u\,\left( 330\,{x}^{2}-3003\,x+1574\right) }{30\,x-273}\)

Nu is het maximum hiervan te vinden waarde afgeleide nul is:

1e afgeleide:

\(\frac{330\,{x}^{2}-3003\,x+1574}{30\,x-273}-11\,u\)

en deze is nul voor

\([u=\frac{330\,{x}^{2}-3003\,x+1574}{330\,x-3003}]\)

Het maximaal moment is dan M(waar u nul) dus

\(\frac{-330\,{x}^{3}+3003\,{x}^{2}-3148\,x}{60\,x-546}+\frac{{\left( 330\,{x}^{2}-3003\,x+1574\right) }^{2}}{\left( 30\,x-273\right) \,\left( 330\,x-3003\right) }-\frac{11\,{\left( 330\,{x}^{2}-3003\,x+1574\right) }^{2}}{2\,{\left( 330\,x-3003\right) }^{2}}\)

Nu moeten we een voorwaarde opstellen om x te vinden:

| maximale veldmoment| = | steunpuntsmoment | (in absolute waarden wegens verschil in teken)

Dit resulteert in volgende vergelijking:

\(-\frac{-330\,{x}^{3}+3003\,{x}^{2}-3148\,x}{60\,x-546}-\frac{{\left( 330\,{x}^{2}-3003\,x+1574\right) }^{2}}{\left( 30\,x-273\right) \,\left( 330\,x-3003\right) }+\frac{11\,{\left( 330\,{x}^{2}-3003\,x+1574\right) }^{2}}{2\,{\left( 330\,x-3003\right) }^{2}}=-\frac{787}{15}\)

De absolute waarden heb ik laten vallen door één van de vergelijkingen van teken te veranderen.

Oplossen naar x geeft dan:

\([x=-\frac{\sqrt{259710}-3003}{330},x=\frac{\sqrt{259710}+3003}{330}]\)

of:

\([x=7.555704534472602,x=10.6442954655274]\)

Nu kan x enkel een oplossing zijn indien het maximum tussen 0 en x ligt. (Als het ware in het deel waarop de uniforme belasting aangrijpt. ) De tweede oplossing voor x moet dus verworpen worden.

Conclusie: het maximale veldmoment is gelijk (in absolute waarde) aan het steunpuntsmoment voor x=7,56

@Coen S: Kan je mijn redenering/oplossing even controleren met MatrixFrame?

[jhnbk]

@Coen S: je stelt dat het steunpuntmoment gelijk moet zijn aan het inklemmingsmoment wat niet de vraag was.

Ik zie tevens dat jij nu met matrix frame een andere oplossing hebt dan de mijne? Ik ga daar even zelf naar kijken ](*,)

[jhnbk]

Behoudens afrondingen geeft de computer mij alvast voor de eerste vraag gelijk. Uiteraard zit de oplossing van Coen S ook daar zeer dicht bij ](*,) (Ik moet afronden bij ingeven in de software en misschien rekent de software nog met dwarskracht vervorming dus lijkt mij dat de antwoorden wel kunnen)

[robertus58a]

Ik volg al een tijdje dit probleem en de discussies:

Een (vereenvoudigde) benadering is als volgt:

Moment in scharnier, S, = 0, Het maximale moment links naast het scharnier (afstand is

\(\alpha\)

gemeten van scharnier) is Mb en wordt veroorzaakt door de gelijkmatige belasting over

\(\alpha\)

,

\(q*\alpha*\alpha / 2 = -Mb\)

of

\(\alpha = \sqrt{2\frac{T + \frac{F\, L}{3}}{q}}\)

= 3.0886

Dwars kracht ter plaatse van

\(\alpha\)

is 0 (aangezien M=maximaal), of:

\(Va+q*(x-\alpha)= 0\)

:

\( \frac {101.923500\, x - 770.103856}{27.3 - 3.0\, x} \)

= 7.5557045

[jhnbk]

Je vergeet dat een scharnier wel dwarskracht doorgeeft. Ik zie die nergens staan bij de splitsing van het probleem.

Het zou als volgt kunnen (Wat mijn kortere manier is). Het rechter deel geeft een opwaartse kracht op het scharnier. Deze kracht is dan

\(B=-\frac{3\,T+l\,F}{3\,x-3\,l}\)

Nu kan het deel naast de ligger als een geval apart worden beschouwd door deze kracht B opwaarts aan te brengen! Voor u startend te B en lopend naar links is dan de momenten vergelijking:

\(M\left( u\right) :=\frac{-787\,u}{5\,\left( 3\,x-\frac{273}{10}\right) }-\frac{11\,{u}^{2}}{2}\)

Maximum is bij

\(u=-\frac{1574}{330\,x-3003}\)

(afleiden én oplossen naar u)

Maximaal moment:

\(\frac{1238738}{5\,\left( 3\,x-\frac{273}{10}\right) \,\left( 330\,x-3003\right) }-\frac{13626118}{{\left( 330\,x-3003\right) }^{2}}\)

Dit moet gelijk zijn aan het steunpuntsmoment (in absolute waarde), dus:

\(\frac{13626118}{{\left( 330\,x-3003\right) }^{2}}-\frac{1238738}{5\,\left( 3\,x-\frac{273}{10}\right) \,\left( 330\,x-3003\right) }=-\frac{787}{15}\)

Oplossen geeft dan: [x=7.555704534472602,x=10.6442954655274] waarbij de laatste oplossing weer verworpen moet worden.

[Coen S]

@Coen S: je stelt dat het steunpuntmoment gelijk moet zijn aan het inklemmingsmoment wat niet de vraag was.

Ik had het maximaal veldmoment gelijkgesteld aan het inklemmingsmoment (er moest zowel een waarde voor x gevonden worden waar het veldmoment hieraan gelijk was, als een waarde voor x waarvoor het veldmoment gelijk was aan het steunpuntmoment) Mijn waarden voor x voldoen in ieder geval aan deze eis. ](*,)

x=7.555704534472602

Voor deze waarde is het veldmoment inderdaad gelijk aan het steunpuntmoment!

Ik moet toegeven dat ik door tijdgebrek hier zelf sinds gisterochtend niet meer mee bezig ben geweest, maar op dat moment zelf dit nog niet te hebben gevonden. Verder ben ik er afgelopen week zo lang op aan het puzzelen geweest, dat ik het dit weekend echt even opzij leg voor ik maandag weer verder ga. Dan ga ik maar eens kijken of ik wel de doorbuiging zelf kan vinden!

jhnbk, oktagon en robertus: Allemaal heel vriendelijk bedankt voor de tijd die jullie hier in hebben gestopt.