Fout in redenering behoud van energie

[amateur-hobbyist]

Hallo,

Ik heb me speciaal geregistreerd om deze vraag te kunnen stellen. Degene die mij kan zeggen waar mijn redenering fout loopt, zal ik zeer dankbaar zijn.

Stel een geïsoleerde ruimte zonder mogelijkheid tot interactie met zijn omgeving. In deze geïsoleerde ruimte bevinden zich 2 stelsels van puntmassa's, S1 en S2. S1 bevat p aantal puntmassa's, S2 q aantal. Voor de puntmassa's van elk van beide stelsels geldt dat ze enkel onderlinge krachten kunnen uitoefenen binnen hun eigen stelsel, waarbij al die krachten conservatief zijn. Geen enkele puntmassa van S1 oefent dus krachten uit op een puntmassa van S2, en vice versa.

Beschouw nu een tijdsinterval van t=0 tot t=T. Gedurende dit tijdsinterval is er precies één puntmassa van S1 die een kracht F12 uitoefent op precies één puntmassa van S2. Volgens de 3e WvN oefent die ene puntmassa van S2 dan een kracht F21 uit op die puntmassa van S1, waarbij geldt dat F12=-F21. Veronderstel dat die puntmassa van S1 een verplaatsing r1 ondergaat, en die van S2 een verplaatsing r2. De arbeid tengevolge van F12 en r1 noemen we W1, en de arbeid tengevolge van F21 en r2 noemen we W2. Ook al is F12=-F21, geldt dit niet voor W1 en -W2. Dus: W1 is niet gelijk aan -W2.

Gezien alle onderlinge krachten van S1 conservatief zijn, heeft S1 als systeem potentiële energie U1. Elke puntmassa van S1 heeft ook kinetische energie, zodat S1 als systeem ook kinetische energie K1 heeft. Stel K1+U1 = E1. Gedurende het tijdsinterval van 0 tot T geldt: delta (K1+U1) = delta E1 = W1.

Met een analoge redenering voor S2 komen we eveneens tot: delta E2 = W2.

En nu komt het: volgens de wet van behoud van energie geldt binnen de geïsoleerde ruimte dat een verandering in energie van S1 gepaard gaat met een even grote maar tegengestelde verandering van energie van S2, dus: delta E1 = -delta E2. En gezien delta E1=W1, en delta E2=W2, moet gelden: W1=-W2.

Dus:

eerst bekom ik: W1 is niet gelijk aan -W2

vervolgens bekom ik: W1=-W2

Beide uitdrukkingen zijn tegenstrijdig. Wie kan mij zeggen waar mijn fout zit ?

[bessie]

Interessant onderwerp, maar je weet dat het niet klopt. De totale energie in de ruimte is gelijk gebleven, dus moet de toename van energie van stelsel 1 gelijk zijn aan de afname van stelsel 2.

De fout zit dus in het eerste deel.

Ik vind de aanname dat er geen interactie kan zijn tussen de twee stelsels verdacht, want je gaat vervolgens van elk stelsel één deeltje toch laten reageren met één van de ander. Maar ik denk dat dat nog wel kan.

Je tweede alinea heeft meer wiskunde nodig. Je zegt dat de kracht gedurende precies t seconden werkt. Welke versnellingen en welke bewegingsvergelijkingen krijg je. je weet dat je op moet passen met potentiele energie want je hebt aannames gedaan omtrent aantrekkingskrachten tussen de stelsels. gelden die aannames nog? Ik denk het, want je beweert dat alleen die twee deeltjes met elkaar reageren. Maar wat gebeurt er met de potentiele energie van deeltje 1 binnen stelsel 1? En wat gebeurt er in stelsel 2? is het conservatief zijn van de krachten voldoende om de situatie volledig te beschrijven?

Dit geldt ook voor alinea 3. Je moet omschrijven wat er gebeurt met de kinetische energie na t seconden, dus als de kracht tussen 1 en 2 niet meer aanwezig is. De deeltjes worden niet afgeremd, maar bewegen wel binnen hun stelsel. Geef de vergelijkingen voor kinetische energie van de deeltjes en van de stelsels expliciet, dan kun je pas zien wat er gebeurt.

[amateur-hobbyist]

Bedankt voor jouw antwoord, maar het helpt me niet verder.

Je vertrekt trouwens van de aanname dat mijn eerste redenering fout is, maar dat klopt niet. Enkel binnen het tijdsinterval t=0 tot t=T interageren de beide puntmassa's van de verschillende stelsels met mekaar, maar voor en na dat tijdsinterval bestaan er enkel interne interacties binnen de stelsels, en dus niet tussen de stelsels onderling.

Ik weet zeker dat alle noodzakelijke beschrijvingen zijn gegeven om te kunnen bepalen waar mijn redenering fout loopt.

Toch bedankt voor jouw reactie.

[317070]

Gezien alle onderlinge krachten van S1 conservatief zijn, heeft S1 als systeem potentiële energie U1. Elke puntmassa van S1 heeft ook kinetische energie, zodat S1 als systeem ook kinetische energie K1 heeft. Stel K1+U1 = E1. Gedurende het tijdsinterval van 0 tot T geldt: delta (K1+U1) = delta E1 = W1.

Met een analoge redenering voor S2 komen we eveneens tot: delta E2 = W2.

(..)

Dus:

eerst bekom ik: W1 is niet gelijk aan -W2

No you don't, je bekomt dat (delta E1 = W1), (delta E2 = W2) en zoals je zelf al aangaf is (delta E1=-delta E2)

[amateur-hobbyist]

Jij gaat er van uit dat W1 = -W2, daar waar ik zeg dat dat niet klopt.

d(W1) = F21 x d(r1)

d(W2) = F12 x d(r2)

Volgens jou is W1=-W2, waaruit volgt dat d(W1) = -d(W2), hetgeen weer betekent dat:

F21 x d(r1) = - F12 x d(r2), en omdat F12 = -F21, geldt dat:

F21 x d(r1) = F21 x d(r2), en hieruit volgt dat:

d(r1) = d(r2), hetgeen equivalent is met r1 = r2 + constante

Dit zou betekenen dat de afstand tussen de 2 betrokken puntmassa's altijd constant blijft, hetgeen in het algemene geval zeker niet zo is.

Hieruit besluit ik dat jouw aanname dat W1 = -W2 niet klopt.

Bedankt voor jouw antwoord, maar je hebt het mis. Mijn redenering loopt ergens anders mank.

[317070]

Jij gaat er van uit dat W1 = -W2, daar waar ik zeg dat dat niet klopt.

d(W1) = F21 x d(r1)

d(W2) = F12 x d(r2)

Nee, dat klopt niet. In de formule (W=F.d) is het een dotproduct tussen 2 vectoren. Zie ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Work_%28physics%29

Het gevolg is dus dat als je op 1-as werkt, neem bijvoorbeeld de x-as, waarbij F21 in de positieve richting werkt:

d(W1) = F21 . d(r1) = F21 x d(r1) x cos(theta) = |F21|x|d(r1)|

d(W2) = F12 . d(r2) = F12 x d(r2) x cos(theta) = -|F21|x|d(r2)|x(-1)

Want je stelt d(r2) in dezelfde richting als d(r1) en F12 in tegengestelde richting van F21.

[bessie]

En ik zeg dat W1 en W2 niet gelijk zijn, en dat het verschil gaat zitten in de beide systemen. Immers doordat in elk systeem de deeltjes verplaatst zijn is de potentiele energie van dat systeem veranderd. Maar de hele potentiele energie laat jij buiten beeld, met als enige argument dat de krachten conservatief zijn.

[bessie]

Neem twee planeten net als de aarde, met U=m.g.h. Op geringe hoogte boven beide planeten hangen twee massa's, m1=1 en m2=2 kg.

Gedurende 1 seconde trekken beide massa's aan elkaar met 1N. Hierdoor krijgt m1 een versnelling a1 van 1 m/s2, dus na 1 seconde heeft hij een s1 van 1/2 m afgelegd. De arbeid die daarvoor nodig is, is 1/2 J.

Voor m2 wordt a2=1/2 m/s2, hij legt een s2 af van 1/8 m, de arbeid is 1/8 J.

Ofwel, op de lichtere massa is meer arbeid verricht. De potentiele energie tov zijn aarde is nu met 1/2.1.g toegenomen, dat is de arbeid die op hem is verricht. Immers doordat hij verder van zijn aarde is gekomen, heeft hij nu meer potentiele energie.

De zwaardere massa m2 heeft maar 1/8 meter hoogte gewonnen, dus zijn potentiele energie is maar met 2.1/8.g toegenomen, dus 1/4 J.

Dat deze energieen samen geen nul geven, is duidelijk. Immers de massa's hebben nog snelheid. Zou je de kinetische energien erbij optellen, dan zou je weer op nul komen.

[amateur-hobbyist]

Nee, dat klopt niet. In de formule (W=F.d) is het een dotproduct tussen 2 vectoren. Zie ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Work_%28physics%29

Het gevolg is dus dat als je op 1-as werkt, neem bijvoorbeeld de x-as, waarbij F21 in de positieve richting werkt:

d(W1) = F21 . d(r1) = F21 x d(r1) x cos(theta) = |F21|x|d(r1)|

d(W2) = F12 . d(r2) = F12 x d(r2) x cos(theta) = -|F21|x|d(r2)|x(-1)

Want je stelt d(r2) in dezelfde richting als d(r1) en F12 in tegengestelde richting van F21.

Ik werk niet met scalaire grootheden volgens de 3 assen, maar wel met vectorgrootheden. Mijn F12, F21, r1 en r2 zijn vectoren. Ik weet namelijk niet hoe ik een pijltje moet plaatsen boven deze notaties. Ik wil dus zeggen dat mijn vergelijkingen geen scalaire-, maar wel vectorvergelijkingen zijn. En die vergelijkingen kloppen voor de volle 100 %. En indien het verschil tussen 2 plaatsvectoren in de tijd constant blijft, blijft de afstand tussen de puntmassa's ook constant. Natuurlijk wijzigen de plaatsvectoren voortdurend in de tijd, maar ze wijzigen zodanig dat hun verschil constant blijft.

De reden waarom ik vectorvergelijkingen gebruik is net om de hele toestand van scalair product (dotproduct) en scalaire grootheden volgens de assen te vermijden, omdat dit alleen maar verwarrend werkt.

Dus: uit de vectorvergelijkingen volgt dat de afstand constant blijft indien W1=-W2, en omdat dit niet kan, besluit ik dat W1 niet gelijk is aan W2.

[317070]

Ik werk niet met scalaire grootheden volgens de 3 assen, maar wel met vectorgrootheden. Mijn F12, F21, r1 en r2 zijn vectoren.

Dan mag je dit niet doen. Vectordeling bestaat niet...

F21 x d(r1) = F21 x d(r2), en hieruit volgt dat:

d(r1) = d(r2)

Er zijn veel verschillende vectoren d(r1) en d(r2) waarvoor F21.d(r1) = F21.d(r2)

Verborgen inhoud

(dotproduct, kruisproduct is nog iets anders en dat maakt het voor mij extreem verwarrend )

Een aanrader is ook de duidelijke faq over LaTeX, om pijltjes enzo te kunnen gebruiken op dit forum.

Maar misschien zit je ergens anders vast in je gedachten. Er is maar 1 soort kracht die je kunt 'aanzetten' en 'uitzetten', namelijk de combinatie van contactkracht en normaalkracht. En die zorgt meestal wel degelijk dat beide objecten in ongeveer dezelfde richting bewegen. Dat is in ieder geval precies wat je hier nu gaat uitkomen.

Beschouw nu een tijdsinterval van t=0 tot t=T. Gedurende dit tijdsinterval is er precies één puntmassa van S1 die een kracht F12 uitoefent op precies één puntmassa van S2.

Die onderstelling mag je dus niet maken voor elektrische kracht, zwaartekracht, enzoverder. Die onderstelling is namelijk in tegenstelling met de wetten van behoud van lading en massa. Vandaar dat voor alle krachten die beweging in tegengestelde richtingen veroorzaken (zoals bij afstoting of aantrekking) er nog een behoudswet nodig is, precies zodat de energie behouden blijft.

[amateur-hobbyist]

En ik zeg dat W1 en W2 niet gelijk zijn, en dat het verschil gaat zitten in de beide systemen. Immers doordat in elk systeem de deeltjes verplaatst zijn is de potentiele energie van dat systeem veranderd. Maar de hele potentiele energie laat jij buiten beeld, met als enige argument dat de krachten conservatief zijn.

Ik begrijp niet waar jij een probleem van maakt.

Natuurlijk wijzigt de potentiële energie van elk stelsel voortdurend, net zoals de kinetische energie van elk stelsel voortdurend wijzigt. Zolang er geen interactie is tussen beide stelsels, wijzigen de kinetische energiën en de potentiële energieën van beide stelsels voortdurend, echter zodanig dat hun som voor elk stelsel constant blijft. Dus: K1+U1= constante1 en K2+U2= constante2. Echter, gedurende het beruchte tijdsinterval worden beide constantes vermeerderd met resp W1 en W2, dus na t=T geldt plots: K1+U1= constante1+W1= contante1bis, en K2+U2= constante2+W2=constante2bis.

Nergens verwaarloos ik de potentiële energie.

[amateur-hobbyist]

Neem twee planeten net als de aarde, met U=m.g.h. Op geringe hoogte boven beide planeten hangen twee massa's, m1=1 en m2=2 kg.

Gedurende 1 seconde trekken beide massa's aan elkaar met 1N. Hierdoor krijgt m1 een versnelling a1 van 1 m/s2, dus na 1 seconde heeft hij een s1 van 1/2 m afgelegd. De arbeid die daarvoor nodig is, is 1/2 J.

Voor m2 wordt a2=1/2 m/s2, hij legt een s2 af van 1/8 m, de arbeid is 1/8 J.

Ofwel, op de lichtere massa is meer arbeid verricht. De potentiele energie tov zijn aarde is nu met 1/2.1.g toegenomen, dat is de arbeid die op hem is verricht. Immers doordat hij verder van zijn aarde is gekomen, heeft hij nu meer potentiele energie.

De zwaardere massa m2 heeft maar 1/8 meter hoogte gewonnen, dus zijn potentiele energie is maar met 2.1/8.g toegenomen, dus 1/4 J.

Dat deze energieen samen geen nul geven, is duidelijk. Immers de massa's hebben nog snelheid. Zou je de kinetische energien erbij optellen, dan zou je weer op nul komen.

Sorry, maar ik wil dit onderwerp graag wiskundig correct behandelen.

[amateur-hobbyist]

Maar misschien zit je ergens anders vast in je gedachten. Er is maar 1 soort kracht die je kunt 'aanzetten' en 'uitzetten', namelijk de combinatie van contactkracht en normaalkracht. En die zorgt meestal wel degelijk dat beide objecten in ongeveer dezelfde richting bewegen. Dat is in ieder geval precies wat je hier nu gaat uitkomen.

Die onderstelling mag je dus niet maken voor elektrische kracht, zwaartekracht, enzoverder. Die onderstelling is namelijk in tegenstelling met de wetten van behoud van lading en massa. Vandaar dat voor alle krachten die beweging in tegengestelde richtingen veroorzaken (zoals bij afstoting of aantrekking) er nog een behoudswet nodig is, precies zodat de energie behouden blijft.

Toch heb ik een probleem met jouw uitleg. Het gaat trouwens om een gedachte-experiment; ik weet dat krachten niet aan- en uitgezet kunnen worden (toch niet de 4 krachten die we nu kennen). Ik ga trachten aan te tonen dat jouw uitleg niet klopt.

Je zegt dat ik een vectordeling uitvoer, maar dat klopt niet:

ik vertrok van F21 . d(r1) = F21 . d(r2)

waaruit volgt: F21 . d(r1-r2)=0

F21 is niet 0, dus d(r1-r2)=0, of r1-r2=constant

nergens heb ik gedeeld door een vector.

Ik ga het eenvoudiger maken: Veronderstel dat S1 enkel uit die ene puntmassa bestaat, en S2 enkel uit die andere. De vergelijkingen voor de vorige grote stelsels blijven geldig. Het enige verschil is dat S1 noch S2 potentiële energie bezitten, want S1 noch S2 hebben interne krachten. Veronderstel dat de krachten die beide puntmassa's op mekaar uitoefenen graviatiekrachten zijn. En veronderstel dat beide puntmassa's in rust zijn op t=0.

Er geldt: U1=0, want onbestaande; idem voor U2=0

en dus: E1=K1+U1=K1, want U1=0; idem voor E2=K2

delta(E1)=delta(K1)=W1 en delta(E2)=delta(K2)=W2

Jij zegt nu dus dat volgens behoud van energie geldt dat: W1=-W2

Dan geldt ook: delta(K1)=-delta(K2)

Maar het gaat hier over de gravitatiekracht, zodat beide puntmassa's mekaar aantrekken vanuit rust op t=0, versnellen volgens een rechte lijn naar mekaar toe, en dus toenemen in snelheid, met een verplaatsing in dezelfde richting als de ondervonden krachten. W1 en W2 zijn dus beiden positief en niet 0, zodat onmogelijk kan gelden dat W1=-W2; of nog: de verandering van kinetische energie is voor beiden positief en niet 0, zodat onmogelijk delta(K1)=-delta(K2), zodat terug onmogelijk kan zijn dat W1=-W2.

Dus opnieuw: waar maak ik hier mijn redeneerfout ?

PS: mijn excuses voor het gebruik van x (crossproduct) ipv . (dotproduct); ik bedoel natuurlijk dotproduct.

[317070]

Je zegt dat ik een vectordeling uitvoer, maar dat klopt niet:

ik vertrok van F21 . d(r1) = F21 . d(r2)

waaruit volgt: F21 . d(r1-r2)=0

F21 is niet 0, dus d(r1-r2)=0, of r1-r2=constant

nergens heb ik gedeeld door een vector.

Dus opnieuw: waar maak ik hier mijn redeneerfout ?

Je zegt:

F21 . d(r1-r2)=0

F21 is niet 0, dus d(r1-r2)=0

Dat hoeft helemaal niet. Als d(r1-r2) loodrecht staat op F21, dan is het dotproduct toch ook nul?

Je deelt nu wel niet expliciet door een vector, maar je hebt nu de nulvoorwaarde verkeerd. Het zijn VECTOREN VECTOREN!

Maar het gaat hier over de gravitatiekracht, zodat beide puntmassa's mekaar aantrekken vanuit rust op t=0, versnellen volgens een rechte lijn naar mekaar toe, en dus toenemen in snelheid, met een verplaatsing in dezelfde richting als de ondervonden krachten. W1 en W2 zijn dus beiden positief en niet 0, zodat onmogelijk kan gelden dat W1=-W2; of nog: de verandering van kinetische energie is voor beiden positief en niet 0, zodat onmogelijk delta(K1)=-delta(K2), zodat terug onmogelijk kan zijn dat W1=-W2.

In dit geval komt alle toegevoegde kinetische energie uit de potentiële energie van je systeem. Als je de totale energie (potentiële + kinetische energie) in je systeem net na het aanzetten van je kracht bekijkt, en net voor je het terug uitzet, dan zie je dat die wel constant gebleven is.

De wet van energiebehoud gaat inderdaad niet op op het moment dat je bijvoorbeeld zwaartekracht aan of uit zet. Omdat dit in tegenspraak met de wet van behoud van massa is. En die wet is net nodig om energiebehoud bij gravitatiekracht te garanderen.

[bessie]

Sorry, maar ik wil dit onderwerp graag wiskundig correct behandelen.

Ik heb bij wiskunde geleerd, dat een geponeerde stelling bewezen moet worden voor alle gevallen. Wordt er één tegenvoorbeeld gevonden dat valt binnen de voorwaarden voor de stelling, dan is bewezen dat de stelling onjuist is.

Jouw stelling is volgens mij, dat de arbeid in jouw geval niet gelijk is voor beide voorwerpen, en dat dus de wet van behoud van energie niet opgaat voor de twee systemen. Je zegt dat de twee arbeiden niet gelijk zijn, en dat daardoor de eindtoestand (totale energie) van beide systemen niet gelijk kunnen zijn. Je doet dat, zonder wiskundig bewijs.

Twee planeten die gelijk zijn aan de aarde, met bij elk ervan een voorwerp, onderling op grote afstand zodat hun normale gravitatiekrachten geen invloed op elkaar hebben, voldoen aan jouw voorwaarde. Nu gaan de twee voorwerpen gedurende een seconde kracht op elkaar uitoefenen. Zij veranderen van hoogte en snelheid, en er wordt arbeid verricht. Na die seconde is de kracht weg. Jij stelt nu dat de wet van behoud van energie hier niet klopt, en ik stel dat hij wel klopt.

Wil jij zelf dit tegenvoorbeeld uitwerken of zal ik dat doen? Op voorwaarde natuurlijk, dat jij een tegenvoorbeeld als bewijs accepteert dat je stelling niet klopt. Het alternatief is, dat jij bewijst dat je stelling wel klopt. Dan moet je een wiskundige beschrijving geven van kinetische en potentiele energie van je systemen.