Selectieregels elektronische transitie

[Marko]

Ik vroeg me af waarom voor elektronen-overgang in H (of vergelijkbare atomen) de selectieregel \(\Delta \ell = \pm 1\) geldt. En dan meer bepaald, waarom alleen 1, en niet ook 3, of 5 of andere oneven getallen.

Naar ik begrepen heb (al enige tijd geleden, dus 't is wat weggezakt) moet een elektronische overgang gepaard gaan met inversie van pariteit, omdat de elektrische dipool operator oneven pariteit heeft.

Dit zou dan toch ook een overgang waarbij l verandert van 0 naar 3 (bijvoorbeeld: van 1s naar 4f) moeten toestaan?

[physicalattraction]

Heb je het nu over absorptie van een foton? Die heeft toch spin 1? Volgens mij kan één foton dan slechts een verandering van

\(\Delta \ell = \pm 1\)

teweeg brengen. Een verandering van 3 zou dan absorptie van 3 fotonen tegelijkertijd moeten betekenen, dit is hoogst onwaarschijnlijk.

[aestu]

Ik vroeg me af waarom voor elektronen-overgang in H (of vergelijkbare atomen) de regel \(\Delta \ell = \pm 1\) geldt. En dan meer bepaald, waarom alleen 1, en niet ook 3, of 5 of andere oneven getallen.

Naar ik begrepen heb (al enige tijd geleden, dus 't is wat weggezakt) moet een elektronische overgang gepaard gaan met inversie van pariteit, omdat de elektrische dipool operator oneven pariteit heeft.

Dit zou dan toch ook een overgang waarbij l verandert van 0 naar 3 (bijvoorbeeld: van 1s naar 4f) moeten toestaan?

Een vrij atoom heeft

\(O^+(3)\)

symmetrie, die NRV's

\( D^{(L)}\)

heeft. De spin speelt hierbij geen rol. x,y en z transformeren volgens

\(D^{(1)}\)

We moeten dan het volgende matrixelement bekijken

\(< D^{(L)} | D^{(1)} | D^{(L')} \)

voor een overgang tussen L en L' of m.a.w. dit matrixelement kan slechts verschillen van 0 als

\( D^{(L)}\)

in de reductie zit van

\(D^{(1)} \otimes D^{(L')}\)

Clebsch Gordan zegt dat

\(D^{(1)} \otimes D^{(L')} = D^{(L'+1)} \oplus D^{(L')} \oplus D^{(L'-1)}\)

L kan dus slechts de waarden L = L'+1,L' of L'-1 aannemen. L = 0 naar L = 0 is verboden. Dus alleen L = L'+1 en L'-1 blijven over voor een waterstofatoom.

Daarop gesuperponeerd komt inderdaad dat er alleen overgangen kunnen zijn tussen 2 toestanden met een verschillende pariteit. Alleen deze matrixelementen zijn verschillend van 0:

\(< \Gamma^{\pm} | \Gamma^- | \Gamma^{\mp}> \)

[Marko]

"NRV" en de symbolen

\(\otimes\)

en

\(\oplus\)

die je hier gebruikt zeggen mij helaas niets. Clebsch-Gordan zegt me alleen iets in de zin van "ooit eerder tegengekomen als term". Ik ben dan ook geen fysicus, maar misschien kun je een en ander in wat minder specifieke termen uiteenzetten?

[thermo1945]

De 'selectieregels' (zoals bijvoorbeeld \(\Delta \ell = \pm 1\)) hangen samen met de overgangswaarschijnlijkheid. Zou bijvoorbeeld de wet van behoud van impuls geschonden worden, dan spreekt men van een verboden overgang. De overgangswaarschijnlijkheid is dan erg klein.

Andere sprongen dan \(\Delta \ell = \pm 1\) leidt tot een verboden overgang.

[aestu]

"NRV" en de symbolen

\(\otimes\)

en

\(\oplus\)

die je hier gebruikt zeggen mij helaas niets. Clebsch-Gordan zegt me alleen iets in de zin van "ooit eerder tegengekomen als term". Ik ben dan ook geen fysicus, maar misschien kun je een en ander in wat minder specifieke termen uiteenzetten?

Een atoom heeft een bepaalde symmetrie onder rotaties en een inversie door het middeldpunt van het atoom. Deze operaties vormen een groep, de symmetriegroep van het atoom. Een symmetriegroep bevat dus een aantal symmetrieoperaties en elkeen kan ook voorgesteld worden aan de hand van matrices. (cf. de rotatiematrix). Het blijkt dat elke groep een aantal 'elementaire' voorstellingen (homomorfe groep matrices) heeft. Die elementaire voorstellingen ( met de dimensie van de voorstelling gelijk aan de dimensie van de matrix) heten 'niet reducibele voorstellingen'.(NRV) Voor de symmetriegroep van een atoom ( dit is de groep O^+(3) ) worden die NRV's voorgesteld door het symbool D^(L).

Hier, voor het probleem dat wij beschouwen is die L = orbitaal kwantumgetal van de toestand waarin het waterstofatoom zich bevindt. Aangezien de spin hier geen rol speelt (ik bedoel dat de spin niet mag veranderen, ook dit kan makkelijk aangetoond worden), wordt de toestand, de golffunctie van een elektron dat zich in de toestand L bevindt, beschreven door die niet reducibele voorstelling D^(L). We zeggen ook wel dat die toestand transformeert volgens de NRV D^(L) van O^+(3)

Het blijkt dat de elektrische dipooloperator transformeert volgens (of hoort bij) de NRV D^(1) van de groep O^+(3). Zeggen we nu dat het elektron zich in de toestand L' bevindt. Laten we nu kijken wat de overgangswaarschijnlijkheid is als het elektron naar een toestand L gaat, een toestand L die hoort bij de NRV D^(L) van O^+(3). Uit de theorie blijk dat het overgangsmatrixelement zeker 0 is als L' verschillend is van L' = L+1, L-1, L. Ook blijkt dat L = 0 -> L = 0 uitgesloten is.

[Marko]

Bedankt! Ik was bekend met het gebruik van symmetriegroepen en kende wel de term irreducible representation, maar het was natuurlijk geen moment in me opgekomen om dat te vertalen met niet-reduceerbare voorstelling

Ben er inmiddels ook achter wat

\(\otimes\)

is.

[aestu]

Was ik vergeten te vermelden

\(\otimes \)

en

\(\oplus\)

is het direct product en de directe som.