Logischtische vergelijking

[antokrui]

Goedenavond dames en heren,

Voor wiskunde D doe ik nu een eindproject aan het eind van de 6e klas, aangezien daar geen CE voor is.

Mijn leraar heeft ons zee lastige wiskundige opgaven gegeven. Er zitten er twee bij die ik zelf met geen mogelijkheid op kan lossen. Ik dacht: Ik gooi het hier op een wiskundeforum, wie weet zit er iemand bij met de wiskundige kennis om het op te lossen.

Het gaat over logistische vergelijkingen en dit zijn de opgaven:

De rij Un convergeert op de lange duur naar een dubbele limiet L+ en L- (in de vorige opgave heb ik dit aangetoond voor de vergelijking U(n+1)=3.2·Un(1-Un) met U0=0,5). (Overigens heb ik eerder aangetoond dat een dergelijke logistische vergelijking naar een limietwaarde convergeert: L = lim n->∞ Un. Voor zo'n limietwaarde geldt L=f(L) (f(x)=a·x(1-x)). De twee mogelijke limietwaarden zijn dan L=0 en L=(a-1)/a. Een limietwaarde wordt bereikt als die stabiel is. De voorwaarde daarvoor is -1 < df(L)/dL < 1). Bij een dubbele limietwaarde geldt er L = f(f(L)). Daaruit volgt dat de waarden van de dubbele limiet voldoen aan de vergelijking: a²L²-a(1+a)L+1+a=0.

Dit moet aangetoond worden.

Als ik dit probeer op te lossen loop ik op een gegeven moment vast bij

L = a³L-a^4L²+a^4L³-a³L²+a^4L³-a^4L^4.

Dit lijkt in de verste verte nog niet op wat ik moet krijgen.

De tweede vraag is een verdere uitwerking hiervan, namelijk:

De voorwaarde voor stabiliteit is nu: -1 < df(f(L))/dL < 1.

Dit betekent dat: -1 < a²-2a²(a+1)L+6a³L²-4a³L³ < 1.

Tezamen met de vergelijking a²L²-a(1+a)L+1+a=0 van de vorige vraag kan nu worden berekend dat de dubbele limiet optreedt voor 3 < a < 1+√6

Laat deze berekening zien.

Ik heb geprobeerd een begin te maken, maar ik krijg een ellenlange vergelijking waarvan ik niet denk dat daar een goed antwoord uit komt.

Ik weet dat ik niet veel informatie verstrek, maar als iemand meer informatie nodig heeft, vraag het gerust, wie weet kan ik nog meer informatie geven.

De opdrachten moeten komende vrijdag ingeleverd worden, dus dan zou ik graag een antwoord hierop willen hebben. Het levert me namelijk nogal wat punten op.

Alvast bedankt!

Anton

[Safe]

Wat is bij jou: f(f(L))

L = a³L-a^4L²+a^4L³-a³L²+a^4L³-a^4L^4.

Dit lijkt in de verste verte nog niet op wat ik moet krijgen.

Wat moet je dan krijgen?

Iig geldt L=0 en voor L ongelijk kan je l en r door L delen.

[janamdo]

Belangrijkste is natuurlijk dat je weet dat de evenwichtsvoorwaarde voor een iteratieve logistische vergelijking waar dat alles toe leid?

Is het evenwichtspunt aantrekkend of afstotend etc ?

Je kunt dan met verschillende evenwichtsituaties te maken krijgen

- monotone convergentie

- alternerende convergentie

-etc

----------------------------------------------------

Anders gezegd:

Is het een aantrekkend (stabiel) of afstotend (instabiel) evenwichtspunt??

Nog anders gezegd:

Krijgen we:

Een naar het evenwichtspunt krimpende spiraal

Periodiek gedrag

Een uitdijende spiraal.

[antokrui]

Wat is bij jou: f(f(L))

Wat moet je dan krijgen?

Iig geldt L=0 en voor L ongelijk kan je l en r door L delen.

Nou, f(f(L)) is f(a·L(1-L)) = a·(a·L(1-L))(1-(a·L(1-L)). Dat moet je vervolgens vereenvoudigen en dan moet ik uiteindelijk dus a²L²-a(1+a)L+1+a=0 krijgen.

Overigens zie ik niet waar je de termen l en r vandaan haalt.

Janamdo, wat jij zegt klinkt mij niet bekend in de oren. In de opgave staat ook niks van dergelijke strekking. Ik kan daar dus ook geen antwoord op geven. (Als ik overigens je tekst lees, denk ik dat het hier gaat om een alternerende convergentie)

[janamdo]

(Als ik overigens je tekst lees, denk ik dat het hier gaat om een alternerende convergentie)

Dat idee had ik er ook van omdat je het over een dubbele limiet hebt

[Safe]

Overigens zie ik niet waar je de termen l en r vandaan haalt.

l en r betekent (simpelweg) links en rechts.

Je beantwoordt de vraag niet.

[Safe]

Je beantwoordt de vraag niet.

Dit heb je wel gedaan.

[janamdo]

Nou, f(f(L)) is f(a·L(1-L)) = a·(a·L(1-L))(1-(a·L(1-L)). Dat moet je vervolgens vereenvoudigen en dan moet ik uiteindelijk dus a²L²-a(1+a)L+1+a=0 krijgen.

Overigens zie ik niet waar je de termen l en r vandaan haalt.

Janamdo, wat jij zegt klinkt mij niet bekend in de oren. In de opgave staat ook niks van dergelijke strekking. Ik kan daar dus ook geen antwoord op geven. (Als ik overigens je tekst lees, denk ik dat het hier gaat om een alternerende convergentie)

Klopt wat je zegt ik heb de geremde (logistische) groei( waar de vragen over gesteld zijn) verward met de lotka -voltera

prooi-jager competitie model... daar krijg je een spiraal

De geremde logistische groei gaat zeg over 1 diersoort , terwijk lotka voltera het heeft over 2 diersoorten die met elkaar concurreren om voedsel

[Safe]

Laat zien dat de opl van f(L)=L ook opl zijn van f(f(L))=L.

[janamdo]

Een dekpunt ( a , a )(= evenwichtspunt) heet "locaal aantrekkend", of "relatief aantrekkend", als er een omgeving van

x = a te vinden is, waarbinnen het een aanzuigende werking heeft.

Met andere woorden:

Als je een startwaarde binnen die omgeving van

x = a kiest, zal convergentie (monotoon of alternerend)

naar dat dekpunt optreden.

In formulevorm:

Kies x[0] uit de bedoelde omgeving.

Bepaal de volgende

x - waarden volgens het bekende schema:

x[n+1] = f ( x[n] )

Dan geldt:



limit(x[n],n=infinity = a



Voor

x - waarden buiten die omgeving wordt geen uitspraak gedaan.