Potentiaalput

[bazinga]

vgl:

\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}E\psi=0\)

opl:

\(\psi(x)=A sin(kx)\)

Ik kreeg op een examen de vraag: "hoe kom je van de vgl naar die oplossing?"

Ik volg een richting zonder wiskunde, dus aub een duidelijke, eenvoudige uitleg.

Alvast bedankt!

[aestu]

Wat is de algemene oplossing van een homogene 2e orde differentiaalvergelijking? Zegt de karakteristieke vergelijking u iets?

Kan je die algemene oplossing omvormen naar deze gegeven oplossing?

Een andere manier is de oplossing er gewoon in te steken en te zien dat die klopt als

E= h²k²/(8pi²m), maar dat lijkt niet echt de bedoeling te zijn.

Wat je mss ook kan helpen is je te realiseren dat deze diff.vgl. de vorm heeft van die voor een harmonische oscillator

Ter info: dit is de Schrödingervergelijking voor een deeltje met massa m waarbij er geen potentiële energie is, alleen kinetische energie, maar dat wist je waarschijnlijk al.

[bazinga]

ken eigenlijk niks van differentiaalvergelijkingen ](*,)

[Math-E-Mad-X]

vgl:

\(\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{(h/2\pi)^2}E\psi=0\)

opl:

\(\psi(x)=A sin(kx)\)

Ik kreeg op een examen de vraag: "hoe kom je van de vgl naar die oplossing?"

Ik volg een richting zonder wiskunde, dus aub een duidelijke, eenvoudige uitleg.

Alvast bedankt!

Ik vind dit echt een hele rare vraag. Het lijkt me namelijk dat je hier toch echt wel een flinke dosis wiskunde voor nodig hebt (het oplossen van differentiaalvergelijkingen). Zonder wiskunde zou ik geen flauw idee hebben wat voor antwoord je hierop zou kunnen geven.

Misschien kun je iets meer toelichten over hat vak en de opleiding waarbij je dit examen kreeg?

[aestu]

Wat je dan hoogstens zou kunnen doen is het er gewoon insteken ( en daaruit een voorwaarde halen voor k ) denk ik of er een analogie in zien met de bewegingsvergelijking van een harmonische oscillator.. Meer kan je dan echt niet doen...

[bazinga]

Ik volg Farmaceutische Wetenschappen, 1e jaar. vak: natuurkunde

Waar je je allemaal niet mee bezig moet houden om pillen te kunnen maken ](*,)

[mendoza]

om een lang verhaal kort te maken,

vervang elke partiele afgeleide door, bvb, L, en elke hogere afgeleide wordt L^n (met n, de zoveelste afgeleide van de functie)

=> de functie zelf is dan L^0 = 1

dat geeft:

=> L^2 + 2mE/(h/2*pi)^2=0

met als oplossing: L^2=-K^2 (met K^2=2m*E/(h/2*PI)^2 >0!! (groter dan nul, omdat m>0, E>0...enz))

of L= +/- i*K

om weer een theoretische blabla over te slaan, komt de oplossing gewoon door uw oplossing in de exponent te gooien met een paar constantes (A en B, 2 stuks, omdat je 2 oplossingen hebt)

=> F(x)=A*e^(i*K*x)+B*e^(-i*K*x)

nog mee met de zaak?

nu weet je dat je die exponentiele vorm ook goniometrisch kunt schrijven of dus:

F(x)=A(cos(i*K*x)+i*sin(i*K*x))+B(cos(i*K*x)-i*sin(i*K*x)) (merk op, cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x))

===> ©(cos(i*K*x))+(D)(sin(i*K*x)) (met A+B=C, A-B=D, 2 nieuwe constantes)

=> door randvoorwaarden (2 stuks, omdat je 2 constanten hebt te bepalen) te eisen, en wat rekenwerk, ga je kunnen stellen dat => C=0, en bekomt u uw oplossing

questiones?

[mendoza]

om een lang verhaal kort te maken,

vervang elke partiele afgeleide door, bvb, L, en elke hogere afgeleide wordt L^n (met n, de zoveelste afgeleide van de functie)

=> de functie zelf is dan L^0 = 1

dat geeft:

=> L^2 + 2mE/(h/2*pi)^2=0

met als oplossing: L^2=-K^2 (met K^2=2m*E/(h/2*PI)^2 >0!! (groter dan nul, omdat m>0, E>0...enz))

of L= +/- i*K

om weer een theoretische blabla over te slaan, komt de oplossing gewoon door uw oplossing in de exponent te gooien met een paar constantes (A en B, 2 stuks, omdat je 2 oplossingen hebt)

=> F(x)=A*e^(i*K*x)+B*e^(-i*K*x)

nog mee met de zaak?

nu weet je dat je die exponentiele vorm ook goniometrisch kunt schrijven of dus:



F(x)=A(cos(i*K*x)+i*sin(i*K*x))+B(cos(i*K*x)-i*sin(i*K*x)) (merk op, cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x))

===> ©(cos(i*K*x))+(D)(sin(i*K*x)) (met A+B=C, A-B=D, 2 nieuwe constantes)



=> door randvoorwaarden (2 stuks, omdat je 2 constanten hebt te bepalen) te eisen, en wat rekenwerk, ga je kunnen stellen dat => C=0, en bekomt u uw oplossing

questiones?

correctie: daar vallen de i-tjes in het argument weg natuurlijk !!!

[1Steven1]

Als je naar de vergelijking kijkt staat er : 2e afgeliede van een (onbekende) functie + een constante * de funtie = 0

dit herschrijf je als : 2e afgeleide = funtie * -(constante), hiervoor heb je een beetje wiskundige kennis nodig, nu moet je een functie nodig die dus gelijk is aan zijn 2e afgeleide op een consante na, en dit is b.v. een sinus (er had net zo goed een cosinus kunnen nemen)

hoe die sinus er verder uit ziet hoef je niet te weten, er staan ook namelijk ook 2 onbekende constate in (A en k) die je ook met deze vergelijking kan uitrekenen. voor de rest heb je voor de geven oplossing ( Asin(kx) ) dus geen quantummechanische kennis nodig, het enige wat je dus nodig had is een wiskunde vergelijking op te lossen (en dan hoef je de getallen A en k niet eens te vinden)

Het is overgens wel een vergelijking die in QM voor komt, en de met de uiteindelijke oplossing moet gennommeerd zijn de de afgeleide ervan continu maar dat is nu noch niet nodig..

hopenlijk is het een beetje duidelijk