Transformatie traagheidstensoren

[In physics I trust]

Hallo,

Uiteraard ben ik bekend met volgende formule voor de transformatie van de traagheidstensor naar een ander orthogonaal assenstelsel:

\(\overline{\overline{I'}}=A \cdot \overline{ \overline{I}} \cdot A^{\tau}\)

waarbij A de matrix is die de componenten van een vector x op en vector x' afbeeldt in dit nieuwe orthogonale assenstelsel.

Men kan deze formule echter ook in indexnotatie schrijven, en het is daar dat ik niet goed mee ben:

\(I'^{\lambda \mu}= \alpha_i^{\lambda} \cdot \alpha_j^{\mu} \cdot I ^{ij}\)

waarbij

\( \alpha_i^{\lambda}\)

de indexnotatie is voor de matrix A. Hoe kan ik inzien hoe men de getransponeerde van A voor de tensor schrijft? Is dat omdat we simpelweg werken met componenten in deze representatie en dat bij scalairen de vermenigvuldiging uiteraard wel commutatief is (in tegenstelling tot de matrices)?

[aestu]

\(I = I^{\mu \lambda}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{ \lambda}}\)

onder een algemene transformatie is

\(\frac{\partial}{\partial x^{ \mu}} = \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \)

en dus

\(I = I^{'\kappa \nu}\frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{' \nu}} = I^{\mu \lambda}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{ \lambda}}=I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) \frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{' \nu}}\)

waaruit

\( I^{'\kappa \nu} = I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) = \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) = \alpha^{\kappa}_{\,\,\mu} I^{\mu \lambda} \alpha^{ \, \,\nu}_{ \lambda}\)

de componenten van

\(\alpha\)

zijn getallen of functies

[aestu]

en die componenten volgen gewoon uit de transformatieformules van een coordinatentransformatie. Het is mss te laat, maar hier heb je toch een antwoord. Voor een orthogonale coordinatentransformatie is

\(\alpha^{T}\alpha \)

de eenheidsmatrix. Een voorbeeld hiervan is een rotatie van een assenstelsel over een bepaalde hoek ( met nog steeds dezelfde oorsprong) waar je dingen zoals

\(cos(\theta)\)

en

\(sin(\theta)\)

zal zien opduiken als componenten.