Complex getal bewijzen

[Nesta]

Ik kwam deze vraag over complexe getallen tegen:

Gegeven: |Z₁ + Z₂| = |Z₁ - Z₂| en Z₂ 0

Te bewijzen: Z₁ / Z₂ = een zuiver imaginair getal

Ik dacht misschien eerst alles delen door Z₂ zodat je krijgt:

|Z₁ / Z₂ +1| = |Z₁ / Z₂ -1|

Z₁ / Z₂ schrijven we evenals a+bi:

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| = |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Alles in het kwadraat:

|a² + 2a +1 - b²| = |a² -2a + 1 - b²|

Je kunt nu alles tegen elkaar wegstrepen, alleen 2a blijft over. Nou heb ik dus bewijzen dat het een reëel getal is...

Kan iemand mij vertellen wat ik verkeerd doe?

[Drieske]

Ik kwam deze vraag over complexe getallen tegen:

Gegeven: |Z₁ + Z₂| = |Z₁ - Z₂| en Z₂ 0

Te bewijzen: Z₁ / Z₂ = een zuiver imaginair getal

Ik dacht misschien eerst alles delen door Z₂ zodat je krijgt:

|Z₁ / Z₂ +1| = |Z₁ / Z₂ -1|

Z₁ / Z₂ schrijven we evenals a+bi:

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| = |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Tot hier gaat alles goed. Werk nu de absolute waarde (modulus) gewoon uit? De definitie daarvan vind je bijv hier. Dan kwadrateren om van die wortel af te zijn, geeft je quasi wat jij al had:

\((a+1)^2 + b^2 = (a-1)^2 + b^2.\)

Dit uitwerken, leidt tot:

4 a = 0,

dus

a = 0.

En dit was net wat je wou... Jij was hier dus ook bijna .

Overigens mag je dus niet gewoon wegstrepen zolang er absolute waardes staan hè. Wat jij dus wél deed (en dan nog zou je eigenlijk (toevallig) tot dezelfde conclusie moeten zijn gekomen).

[Nesta]

Ah natuurlijk, via r dus berekenen wat a is, en als a nul is betekent dat dat er dus bi overblijft, dus:

Z₁/Z₂ = bi

[Drieske]

Inderdaad . Maar was je bekend met die definitie van 'absolute waarde' (bij complexe getallen spreekt men normaal van modulus)? En begrijp je mijn opmerking waarom je niet gewoon mag schrappen zolang er "|" rond staan?

[Nesta]

Ja de modulus en θ ken ik inderdaad.

Dat met de absoluut strepen had ik geen idee van, maar dat weet ik nu!

[Drieske]

Bekijk dan even onderstaand simpel voorbeeld: |2 - 1| = |2 - 3|. Als ik nu de twee schrap, krijg ik |-1| = |-3|. Dit klopt uiteraard niet...

[Nesta]

Ja nu je het zo neerzet snap ik inderdaad dat het niet kan. Dank je wel voor de duidelijke uitleg!

[In physics I trust]

Dit voorbeeld van Drieske toont het inzichtelijk aan voor niet-complexe getallen. Die stel je voor op een as. Een norm is steeds een positief én natuurlijk getal. Het negatieve deel van de reële getallen zorgt dus dat er twee manieren zijn om dezelfde absolute waarde te bekomen. Dat kan je zien door die absolute waarde als een aftand te bekijken: 5 en -5 liggen beide even ver van de oorsprong.

Een complex getal stel je voor in het complexe vlak. Daar moet je de | streepjes dus weer zien als norm: alle getallen met dezelfde norm liggen even ver van de oorsprong, op een cirkel dus.

[Safe]

|(a+bi) + 1| = |(a+bi) - 1| <=> |(a+1) + bi| = |(a-1) + bi|

Alles in het kwadraat:

|a² + 2a +1 - b²| = |a² -2a + 1 - b²|

Die stap is fout. Wat is de definitie van |z|^2 met z=a+bi (a,b reële getallen)?