Irrationaliteit bewijzen van cos/sin

[Drieske]

Een leuke die ik tegenkwam in een cursus: 'Bewijs de irrationaliteit van cos(1°) en sin(1°)'.

Ik post hem hier voor geïnteresseerden; achter de (een mogelijke) oplossing ben ik ondertussen zelf al gekomen. Waarschijnlijk vind je er genoeg over op internet, maar dat was/is niet mijn idee/bedoeling .

[JorisL]

Ik denk dat je door het uit te schrijven in e-machten vrij vlug kan bewijzen dat dit zo is.

[Drieske]

e-machten zijn inderdaad een goed begin. Maar, tenzij ik het te ingewikkeld maakte, is dat nog niet zooo rechttoe rechtaan hoor. Je moet uiteraard niet, maar evt kun je het eens uitwerken?

[JorisL]

Ik weet niet exact of ik er hiermee kom, Bewijs dat e irrationaal is

Dan kan ik door te gebruiken dat 0<x<1 een afschatting maken zodat ik terug in het gebied van dat bewijs geraken.

Denk ik. Zeker ben ik niet, is ook min of meer buiten mijn huidig niveau (Analyse I).

[Drieske]

De poging op deze manier staat je vrij . Ik heb het nog niet geprobeerd, maar het lijkt me moeilijk. In mijn ogen kan het simpelder (let op: niet simpel daarom ).

Kennis van Analyse I volstaat wel denk ik. Je moet vooral veel goniometrische identiteiten kennen en kunnen gebruiken. Bij interesse wel ik het bewijs voor cos wel geven...

[JorisL]

Ik zal het ergens in de loop van de week proberen. Het is iig moeilijker om te bewijzen dan ik in eerste instantie dacht.

Intuitief vindt ik wel dat je het redelijk rap ziet met e-machten maar dan een rigoureus bewijs oipschrijven is moeilijker.

[Jaimy11]

Een leuke die ik tegenkwam in een cursus: 'Bewijs de irrationaliteit van cos(1°) en sin(1°)'.

Ik post hem hier voor geïnteresseerden; achter de (een mogelijke) oplossing ben ik ondertussen zelf al gekomen. Waarschijnlijk vind je er genoeg over op internet, maar dat was/is niet mijn idee/bedoeling .

Ik vond een site die dit oploste m.b.v. het binomium van Newton.... (http://www.qbyte.org/puzzles/p070s.html)

Maar ik vraag me af of als je 2 irrationale getallen bij elkaar optelt, of ze dan ook irrationaal zijn, specifiek bedoel ik sin(1)+cos(1).

Want dat irr+irr=rationaal kan kloppen weet ik, maar hoe zit dat bij sin(1) en cos(1)?

Je kunt m.b.v. taylor polynomen een benadering vinden voor cos(1) en sin(1) en deze antwoorden neigen naar 4/3, maar ik wil graag bewijzen of sin(1)+cos(1) daadwerkelijk 4/3 is......

Dit heb ik bewezen:

(15/12) kleinergelijk sin(1)+cos(1) kleinergelijk (17/12)

en cos(1) is irrationaal en sin(1) is irrationaal

[Jaimy11]

Ik vond een site die dit oploste m.b.v. het binomium van Newton.... (http://www.qbyte.org/puzzles/p070s.html)

Maar ik vraag me af of als je 2 irrationale getallen bij elkaar optelt, of ze dan ook irrationaal zijn, specifiek bedoel ik sin(1)+cos(1).

Want dat irr+irr=rationaal kan kloppen weet ik, maar hoe zit dat bij sin(1) en cos(1)?

Je kunt m.b.v. taylor polynomen een benadering vinden voor cos(1) en sin(1) en deze antwoorden neigen naar 4/3, maar ik wil graag bewijzen of sin(1)+cos(1) daadwerkelijk 4/3 is......

Dit heb ik bewezen:

(15/12) kleinergelijk sin(1)+cos(1) kleinergelijk (17/12)

en cos(1) is irrationaal en sin(1) is irrationaal

Nog vergeten: de foutmarge die ik heb berekend is 1/12.

Maar toont dit aan dat sin(1)+cos(1)=16/12??

[Drieske]

Leuke vraag. Alleen lijkt je aanpak me niet effectief. Het is meer trial and error. Soms heeft dat zijn nut, maar hier niet zo . Het is volgens mij trouwens niet waar. Ik ga dus een aanzet geven om te bewijzen dat sin(1°)+cos(1°) irrationaal is.

Ik zou het aanpakken met contradictie. Ben je hiermee bekend? Stel dus dat sin(1°)+cos(1°) rationaal is. Probeer nu tot een tegenspraak te komen. Ik zal een (extra) tip nog even achterwege laten.

Overigens ben ik ook van mening dat er mooiere bewijzen bestaan voor de irrationaliteit van sin(1°) en cos(1°), maar dat even terzijde.

[Jaimy11]

Leuke vraag. Alleen lijkt je aanpak me niet effectief. Het is meer trial and error. Soms heeft dat zijn nut, maar hier niet zo . Het is volgens mij trouwens niet waar. Ik ga dus een aanzet geven om te bewijzen dat sin(1°)+cos(1°) irrationaal is.

Ik zou het aanpakken met contradictie. Ben je hiermee bekend? Stel dus dat sin(1°)+cos(1°) rationaal is. Probeer nu tot een tegenspraak te komen. Ik zal een (extra) tip nog even achterwege laten.

Overigens ben ik ook van mening dat er mooiere bewijzen bestaan voor de irrationaliteit van sin(1°) en cos(1°), maar dat even terzijde.

Misschien leuk voor iemand anders om zich hieraan te wagen....

Ik vroeg het eigenlijk uit nieuwsgierigheid en of er misschien een makkelijk eenduidig bewijs zou zijn.

Ik kwam het tegen bij calculus, daar ging het over de irrationaliteit van wortels...

En toen kwam ik uiteindelijk met mijn gedachte bij sin,cos en wilde ik er wel meer van weten (en ik kon me deze topic herinneren ;p).

[Drieske]

En heb jij je eraan gewaagd ? En vooral: ben je eruit geraakt?

Het is overigens inderdaad wel een mooie vraag.

[Jaimy11]

En heb jij je eraan gewaagd ? En vooral: ben je eruit geraakt?

Het is overigens inderdaad wel een mooie vraag.

Nee ik heb niet meer gedaan dan wat ik al had gepost hier

Misschien leuk voor over een paar maandjes haha

Ik zit nu ook pas in het eerste jaar en denk dat dit net een niveautje te hoog is ;p

[Drieske]

Het staat je uiteraard vrij om te passen ervoor, maar als je weet/begrijpt hoe je bewijst dat wortel2 irrationaal is, dan kun je dit normaal ook .

[Jaimy11]

Het staat je uiteraard vrij om te passen ervoor, maar als je weet/begrijpt hoe je bewijst dat wortel2 irrationaal is, dan kun je dit normaal ook .

Het enige wat ik heb moeten bewijzen was: wortel2 + wortel3 is irrationaal.

en dat kon heel makkelijk door te stellen dat wortel2 + wortel3 wel rationaal is.

Verder hebben we niet hoeven gaan...

[Drieske]

Hier begin je toch hetzelfde? Zie mijn aanzet hiervoor...