Ik heb een vraagje ik heb huiswerk en ik hem een opdracht gemaakt maar ik ben niet zo zeker van het bewijs. En ik hoop dat jullie mij er mee kunnen helpen.
Dit is de oorspronkelijke opgave:
"In deze opgave mag gebruikt worden dat de machtreeks
\(\sum^\infty _{i=1} \frac{z^n}{n} \)
convergeert voor |z|≤1, z≠1.a. Bewijs m.b.v. de stelling van Abel dat
\(\sum^\infty _{i=1} \frac{e^i^x^n}{n} = -\ln(1-e^i^x)\)
voor \(0<x<2\pi\)
b. Bewijs m.b.v. (a) dat \(\sum^\infty _{i=1} \frac{\sin {nx}}{n} = \frac{\pi - x}{2}\)
als \(0<x<2\pi\)
c. Bepaal de som van de reeks \(\sum^\infty _{i=1} \frac{\cos{nx}}{n} \)
. Voor welke x convergeert de reeks?"
De opdrachten zijn volgens mij niet zo moeilijk maar ik denk dat mijn bewijs erg los ik kan iemand hem aub onderuit halen zodat ik weet wat ik moet doen? Ik vraag hier niet om een antwoord! Het is een inlever opdracht en dat zou niet eerlijk zijn, ik heb alleen niet veel ervaring met dit soort vragen en ik vind dit verdacht makkelijk en er moet dus een addertje onder het gras zitten! Dit is wat ik heb gedaan:
a.
\(\sum^\infty _{i=1} \frac{z^n}{n} =-\ln{(1-z)}\)
voor z≠1 dit is een standaard som en is dus neem ik aan al bewezen genoeg. Als je nu neemt dat \(z=e^i^x\)
waarbij dit dus geen 1 mag zijn en dus geen \(2 \pi n\)
mag zijn en dus is dit \(\sum^\infty _{i=1} \frac{e^i^n^x}{n} =-\ln{(1-e^i^x)}\)
met \(0<x<2\pi\)
.b.
\(\sum^\infty _{i=1} \frac{\sin {nx}}{n}=\sum^\infty _{i=1} \frac{e^i^n^x-e^-^i^n^x}{2ni}\)
dit wordt \(\frac{1}{2i}(\ln{e^-^i^x}+ln{\frac{e^i^x-1}{1-e^i^x}})\)
en dit wordt dan \(\frac{\pi-x}{2}\)
nog steeds voor \(0<x<2\pi\)
uit (a).c.
\(\sum^\infty _{i=1} \frac{\cos {nx}}{n}=\sum^\infty _{i=1} \frac{e^i^n^x+e^-^i^n^x}{2n}\)
dit wordt dan \(\frac{-1}{2}(\ln{(1-e^i^x)}+\ln{(1-e^-^i^x)})\)
dit is \(-\ln{(1-e^i^|^x^|)}\)
en volgens (a) convergeert deze reeks voor |z|≤1, z≠1 in (a) en dat wordt dan dus voor \(0<x<2\pi\)
Ik twijfel alleen vooral heel erg over de laatste omdat deze nogal makkelijk is en er dus bijna wel een addertje onder het gras moet zitten.Ik heb niet zoveel met bewijzen (ik doe natuurkunde en geen wiskunde) als het werkt vind ik het eigenlijk wel goed! Maar zal het nu toch moeten kunnen. Kan iemand wat hier boven staat aanvullen of mij kunnen wijzen op fouten? Alvast heel erg bedankt!
Aron
