Hulp nodig bij ggd en modulo

[Yoran1991]

Ja. Maar het moet deelbaar zijn door 2 én 4 tegelijk hè... En dat heb je nog niet.

Ik snap het niet helemaal... moet ik nu nog aantonen dat a^2-1 ook deelbaar is door 2?

[Drieske]

Mja, het punt is toch net dat ik nu heb dat het deelbaar is door 4. Maar niet dat het deelbaar is door 2 en 4 tegelijk. Dus eigenlijk: deelbaar door 8. Om dit aan te tonen zul je moeten tonen dat een van de twee stukken deelbaar is door 4. Dit omdat we reeds weten dat het deelbaar is door eenmaal 2...

[Yoran1991]

ik snap het denk ik niet helemaal meer... ik heb nu aangetoond dat a^2 - 1 deelbaar is door 2, 3 en 4 toch? Als ik aantoon dat hij deelbaar is door 2 en 4, heb ik aangetoond dat hij deelbaar is door 8. Als ik dan aantoon dat hij deelbaar is door 3 en 8 tegelijk, is a^2 -1 deelbaar door 24... is dat het idee?

[Drieske]

Nee, je hebt dat nog niet aangetoond. Lees mijn opmerkingen hierover eens rustig en laat ze bezinken . Je hebt aangetoond dat het deelbaar is door 4 inderdaad. Dit impliceert ook deelbaar door 2. Maar niet tegelijk hè! En dat heb je nu net nodig.

[Yoran1991]

Nee, je hebt dat nog niet aangetoond. Lees mijn opmerkingen hierover eens rustig en laat ze bezinken . Je hebt aangetoond dat het deelbaar is door 4 inderdaad. Dit impliceert ook deelbaar door 2. Maar niet tegelijk hè! En dat heb je nu net nodig.

aha, ik heb het opgelost! Heel erg bedankt voor je hulp

Ik heb alle stappen naar deelbaarheid door 24 ook gemaakt nu

[Drieske]

Kun je het dan, ter controle, eventueel hier posten hoe je het nu gedaan hebt?

En alvast graag gedaan .

[Yoran1991]

Kun je het dan, ter controle, eventueel hier posten hoe je het nu gedaan hebt?

En alvast graag gedaan .

We wisten dat (a-1) en (a+1) allebei even getallen zijn. Sterker nog, het zijn twee opeenvolgende even getallen. Dus schrijf (a-1)=2r en (a+1)=2s met |r-s|=1.

Dus r en s zijn twee opeenvolgende getallen in Z, dus een is even en de ander is oneven. Het product is dus even:

rs = 2t voor een t in Z.

We zien dus

(a-1)(a+1) = 4rs = 8t . Dus a^2-1 is deelbaar door 8. We wisten verder al dat hij deelbaar was door 3.

dus (a^2-1)/3 zit in Z en (a^2-1)/8 zit ook in Z. Dus, omdat 3 en 8 relatief priem zijn (andere priemfactoren), moet a^2-1 alle priemfactoren van 3 en 8 bevatten, en dus een veelvoud zijn van 24. Dus a^2 - 1 is deelbaar door 24, einde bewijs.

Kun je me tot slot uitleggen waarom de stap ggd(a^2,24)=1 belangrijk was om te zetten? Ik heb dat toch nergens meer gebruikt?

[Drieske]

Nee inderdaad, uiteindelijk was dat niet meer belangrijk . Dit omdat ik plots, bij het kijken, zag dat het nog veel inzichtelijker kon allemaal, door gewoon na te denken over wat voor getallen (a-1) en (a+1) waren .

Dit klopt nu dus ook volledig!