Formele en metaformele getallen

[Bartjes]

16. Voor alle formele getallen K, L en M geldt:

\( K \, \heartsuit \, L \,\, \Rightarrow \,\, (K) \diamondsuit (M) \, \heartsuit \, (L) \diamondsuit (M) \)

.

Bewijs:

Stel dat K, L en M formele getallen zijn waarvoor:

\( K \, \heartsuit \, L \)

.



Dan bestaat er op grond van definitie 9. een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \, ; \, ... \, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( K = E_1 \)

&

\( L = E_n \)

.

Dus bestaat er wegens stelling 15. ook een eindige rij formele getallen

\( (E_1 ) \diamondsuit (M) \, , \, (E_2 ) \diamondsuit (M) \, , \, (E_3 ) \diamondsuit (M) \, , \, ... \, , \, (E_{n-1}) \diamondsuit (M) \, , \, (E_n ) \diamondsuit (M) \)

zodat:

\( (E_1 ) \diamondsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_2 ) \diamondsuit (M) \, ; \, (E_2 ) \diamondsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_3 ) \diamondsuit (M) \, ; \, (E_3 ) \diamondsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_4 ) \diamondsuit (M) \, ; \, ... \, ; \, (E_{n-1} ) \diamondsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_n ) \diamondsuit (M) \)

en

\( (K) \diamondsuit (M) = (E_1 ) \diamondsuit (M) \)

&

\( (L) \diamondsuit (M) = (E_n ) \diamondsuit (M) \)

.

Zodat op basis van definitie 9. geldt:

\( (K) \diamondsuit (M) \, \heartsuit \, (L) \diamondsuit (M) \)

.

[Bartjes]

17. Voor alle formele getallen A, A', B en B' geldt:

\( A \, \heartsuit \, A' \,\, \& \,\, B \, \heartsuit B' \,\, \Rightarrow \,\, (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \diamondsuit (B') \)

.

Bewijs:

Laat A, A', B en B' formele getallen zijn waarvoor:

\( A \, \heartsuit A' \,\, \& \,\, B \, \heartsuit B' \)

.

Wegens stelling 16. geldt dan:

\( (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \diamondsuit (B) \,\,\,\, (\alpha) \)

,

\( (B) \diamondsuit (A') \, \heartsuit \, (B') \diamondsuit (A') \,\,\,\, (\gamma)\)

.

Voor alle formele getallen C en D vinden we op grond van definitie 5. regel iii. en stelling 11. regel ii. en iii. dat:

\( ( C) \diamondsuit (D) \, \heartsuit_s \, (D) \diamondsuit ( C) \)

,

\( ( C) \diamondsuit (D) \, \heartsuit_t \, (D) \diamondsuit ( C) \)

,

\( ( C) \diamondsuit (D) \, \heartsuit \, (D) \diamondsuit ( C) \)

.

En dus in het bijzonder:

\( (A') \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (B) \diamondsuit (A') \,\,\,\, (\beta) \)

,

\( (B') \diamondsuit (A') \, \heartsuit \, (A') \diamondsuit (B') \,\,\,\, (\delta) \)

.

Met behulp van stelling 10. en de resultaten (α), (β), (γ) en (δ) vinden we dan achtereenvolgens:

\( (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \diamondsuit (B) \)

\( (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (B) \diamondsuit (A') \)

\( (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (B') \diamondsuit (A') \)

\( (A) \diamondsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \diamondsuit (B') \)

.

[Bartjes]

Met oog op het vervolg eerst wat theorie over equivalentieklassen en quotiëntverzamelingen.

18a. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Dan definiëren we voor alle x in A de equivalentieklasse

\( [x]_{\sim} \)

van A onder ~ als:

\( [x]_{\sim} = \{ y \in A \, | \, y \sim x \} \)

.

En alleen zulke verzamelingen noemen we hier equivalentieklassen. Equivalentieklassen zijn dus - per definitie - nooit leeg. Als X een dergelijke equivalentieklasse is dan noemen we een z uit A alleen dan een representant van X als:

\( X = [z]_{\sim} \)

.

Iedere equivalentieklasse heeft dus - eveneens per definitie - minstens één representant.

18b. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Dan geldt voor alle x in A dat:

\( x \,\, \in \,\, [x]_{\sim} \)

.

Bewijs: Laat zoals hierboven A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Voor alle x in A geldt dan dat: x ~ x (reflexiviteit). Zodat:

\( x \in A \,\, \& \,\, x \sim x \)

.

Wegens definitie 18a. geldt dan ook:

\( x \,\, \in \,\, [x]_{\sim} \)

.

18c. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Voor alle x en y in A geldt dan:

\( x \, \sim \, y \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, [x]_{\sim} = \, [y]_{\sim} \)

.

Bewijs: Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A.

Stel voor het bewijs van de rechtse implicatie dat voor x en y in A geldt: x ~ y. Dan geldt voor alle z in A dat:

\( z \, \in \, [x]_{\sim} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, z \, \sim x \)

(wegens 18a.)

\( z \, \in \, [x]_{\sim} \,\, \Rightarrow \, z \sim y \)

(transitiviteit)

\( z \, \in \, [x]_{\sim} \,\, \Rightarrow \, z \in [y]_{\sim} \)

(wegens 18a.) .

\( z \, \in \, [y]_{\sim} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, z \, \sim y \)

(wegens 18a.)

\( z \, \in \, [y]_{\sim} \,\, \Rightarrow \, z \sim x \)

(symmetrie & transitiviteit)

\( z \, \in \, [y]_{\sim} \,\, \Rightarrow \, z \in [x]_{\sim} \)

(wegens 18a.) .

Dus:

\( z \, \in \, [x]_{\sim} \,\, \Leftrightarrow \, z \in [y]_{\sim} \)

.

Omdat [x]_~ en [y]_~ wegens 18a. deelverzamelingen van A zijn, geldt dus ook:

\( x \, \sim \, y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [x]_{\sim} = \, [y]_{\sim} \)

.

Stel nu voor het bewijs van de linkse implicatie dat voor x en y in A geldt: [x]_~ = [y]_~ . Dan geldt wegens 18b. dat:

\( x \,\, \in \,\, [x]_{\sim} \)

.

Zodat:

\( x \,\, \in \,\, [y]_{\sim} \)

.

Wegens 18a. vinden we dan:

\( x \sim y \)

.

18d. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Voor alle x, y en z in A geldt dan:

\( x \sim y \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, ( \exists z)[ \, x \in [z]_{\sim} \,\, \& \,\, y \in [z]_{\sim} \, ] \)

.

Bewijs: Laat weer A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Verder gaan we ervan uit dat x, y en z elementen van A zijn.

Voor het bewijs van de rechtse implicatie nemen we aan dat: x ~ y. Dan geldt:

\( x \in [x]_{\sim} \)

(wegens 18b.)

\( y \in [x]_{\sim} \)

(wegens symmetrie & 18a.) .

En dus:

\( ( \exists z)[ \, x \in [z]_{\sim} \,\, \& \,\, y \in [z]_{\sim} \, ] \)

.

Voor het bewijs van de linkse implicatie nemen we aan dat:

\( ( \exists z)[ \, x \in [z]_{\sim} \,\, \& \,\, y \in [z]_{\sim} \, ] \)

.

Zodat:

\( ( \exists z)[ \, x \sim z \,\, \& \,\, y \sim z \, ] \)

(wegens 18a.)

\( ( \exists z)[ \, x \sim z \,\, \& \,\, z \sim y \, ] \)

(symmetrie)

\( x \sim y \)

(transitiviteit) .

18e. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Voor alle x, y en z in A geldt dan:

\( x \, \in \, [y]_{\sim} \,\, \& \,\, x \in [z]_{\sim} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [y]_{\sim} = [z]_{\sim} \)

.

Bewijs: Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Verder nemen we aan dat er x, y en z in A zijn zodanig dat:

\( x \, \in \, [y]_{\sim} \,\, \& \,\, x \in [z]_{\sim} \)

.

Er geldt dan:

\( x \sim y \,\, \& \,\, x \sim z \)

(wegens 18a.)

\( y \sim x \,\, \& \,\, x \sim z \)

(symmetrie)

\( y \sim z \)

(transitiviteit)

\( [y]_{\sim} = \, [z]_{\sim} \)

(wegens 18c.) .

18f. Twee equivalentieklassen van een niet-lege verzameling A onder een equivalentierelatie ~ zijn ofwel gelijk ofwel disjunct.

Bewijs: Twee equivalentieklassen X en Y van een niet-lege verzameling A onder een equivalentierelatie ~ hebben ofwel een gemeenschappelijk element z ofwel ze hebben geen gemeenschappelijk element z. In het tweede geval zijn ze disjunct, dus hoeven we alleen het eerste geval nog te onderzoeken. Daartoe nemen we aan dat de twee equivalentieklassen X en Y een gemeenschappelijk element z hebben. Oftewel:

\( z \in X \,\,\, \& \,\,\, z \in Y \)

.

Equivalentieklassen zijn per definitie nooit leeg (zie 18a.), dus mogen we aannemen dat er ook nog x en y in A zijn zodat:

\( \, X = [x]_{\sim} \,\,\, \& \,\,\, Y = [y]_{\sim} \, \)

.

Tezamen genomen geeft dit:

\( z \in [x]_{\sim} \,\,\, \& \,\,\, z \in [y]_{\sim} \)

.

Waaruit wegens 18e. volgt:

\( [x]_{\sim} \, = \, [y]_{\sim} \)

.

En dus:

\( X = Y \)

.

Inderdaad zijn dus twee equivalentieklassen van een niet-lege verzameling A onder een equivalentie relatie ~ ofwel gelijk ofwel disjunct.

18g. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. De quotiëntverzameling

\( A / \sim \)

van A onder ~ definiëren we dan als:

\( A / \sim \,\,\, = \,\, \{ X \in \mathcal{P}(A) \,\, | \,\, ( \exists x)[ \, x \in A \,\,\, \& \,\, X = [x]_{\sim} \} \)

.

18h. Onder een partitie van een niet-lege verzameling A verstaan we een verzameling van onderling disjuncte niet-lege deelverzamelingen van A zodanig dat de vereniging van al die deelverzamelingen precies A is.

18i. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Dan is de quotiëntverzameling A/~ een partitie van A.

Bewijs: Laat A weer een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. Dan bestaat A/~ per definitie uit niet-lege deelverzamelingen van A (zie 18a. en 18g.). Volgens 18f. zijn deze deelverzamelingen bovendien onderling disjunct. Uit 18b. en 18g. volgt verder nog dat er voor ieder element van A een equivalentieklasse in A/~ te vinden is waar dat element in zit. Dus vormt de vereniging van al de equivalentieklassen in A/~ precies A. Bijgevolg voldoet A/~ aan al de voorwaarden voor een partitie van A.

18j. Laat A een niet-lege verzameling zijn, en ~ een equivalentierelatie op A. We bekijken het geval dat er voor alle elementen x en y van A een som x+y en een product x.y zijn gedefinieerd, en dat voor alle x, x', y en y' in A geldt dat :

\( x \sim x' \,\,\, \& \,\,\, y \sim y' \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, + \, y \,\, \sim \,\, x' + y' \)

,

\( x \sim x' \,\,\, \& \,\,\, y \sim y' \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, . \, y \,\, \sim \,\, x' . y' \)

.

Op basis van 18c. vinden we dan:

\( [x]_{\sim} = [x']_{\sim} \,\,\, \& \,\,\, [y]_{\sim} = [y']_{\sim} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [x + y ]_{\sim} \,\, = \,\, [x' + y' ]_{\sim} \,\,\,\, ( ^{*} ) \)

,

\( [x]_{\sim} = [x']_{\sim} \,\,\, \& \,\,\, [y]_{\sim} = [y']_{\sim} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [x . y ]_{\sim} \,\, = \,\, [x' . y' ]_{\sim} \,\,\,\, ( ^{**} ) \)

.

Nu kunnen we voor de equivalentieklassen P en Q in A/~ een eenduidige som en een eenduidig product definiëren. Omdat equivalentieklassen per definitie nooit leeg zijn (zie 18a.), bestaan er voor alle equivalentieklassen P en Q in A/~ ook elementen p en q van A zodat:

\( P = [p]_{\sim} \,\,\, \& \,\,\, Q = [q]_{\sim} \)

.

De som P+Q en het product P.Q definiëren we respectievelijk als:

\( [p]_{\sim} \, + \, [q]_{\sim} \,\, = \,\, [ p + q ]_{\sim} \)

,

\( [p]_{\sim} \, . \, [q]_{\sim} \,\, = \,\, [ p . q ]_{\sim} \)

.

De som en het product kunnen dus voor alle equivalentieklassen P en Q in A/~ gevormd worden. Op grond van (*) en (**) zijn de som en het product onafhankelijk van de keuze van de representanten p en q, en dus eenduidig bepaald.

[Bartjes]

19. De quotiëntverzameling

\(\mathfrak{F} / \heartsuit \)

van de verzameling der formele getallen

\(\mathfrak{F}\)

onder de gelijkaardigheidsrelatie

\( \heartsuit \)

geven we weer als

\(\mathfrak{M}\)

. Omdat de verzameling der formele getallen

\(\mathfrak{F}\)

niet leeg is (zie 1.) en de gelijkaardigheid wegens stelling 10. een equivalentierelatie op

\(\mathfrak{F}\)

is, kunnen we de genoemde quotiëntverzameling op basis van definitie 18g. inderdaad vormen. De elementen van

\(\mathfrak{M}\)

noemen we metaformele getallen.

\(\mathfrak{M}\)

is dus de verzameling der metaformele getallen.

De som en het product van twee metaformele getallen

\( X = [A]_{\heartsuit} \)

en

\( Y = [B]_{\heartsuit} \)

definiëren we respectievelijk als:

\( [A]_{\heartsuit} \, + \, [B]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ (A) \clubsuit (B) ]_{\heartsuit} \)

,

\( [A]_{\heartsuit} \,\, . \,\, [B]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ (A) \diamondsuit (B) ]_{\heartsuit} \)

.

Deze definitie van de som en het product van metaformele getallen levert wegens definitie 1., stellingen 10., 14. en 17. en definitie 18j. voor alle metaformele getallen X en Y een uitkomst op, en die uitkomst is ook eenduidig bepaald. (Formele getallen A en B waarvoor

\( X = [A]_{\heartsuit} \)

en

\( Y = [B]_{\heartsuit} \)

bestaan er immers voor alle metaformele getallen X en Y omdat equivalentieklassen nooit leeg zijn (zie 18a.), en de keuze van representanten A en B maakt voor de uitkomsten van som en product niet uit.)

[Bartjes]

20. Voor alle metaformele getallen X, Y en Z geldt:

i. X + Y = Y + X .

ii. X . Y = Y . X .

iii. X . (Y + Z) = (X.Y) + (X.Z) .

iv. (Y + Z) . X = (Y.X) + (Z.X) .

Met andere woorden:

\( ( \mathfrak{M} , \, + \, , \, . \, ) \)

is een (additief en multiplicatief) commutatieve ringoïde (zie hier).

Bewijs: Laat X, Y en Z metaformele getallen zijn. Omdat er voor iedere equivalentieklasse altijd minstens één representant bestaat (zie 18a.), zijn er dan formele getallen A, B en C zodat:

\( X = [ A ]_{\heartsuit} \,\,\,\, \& \,\,\,\, Y = [ B ]_{\heartsuit} \,\,\,\, \& \,\,\,\, Z = [ C ]_{\heartsuit} \)

.

We zullen nu achtereenvolgens i. t/m iv. bewijzen:

i. Voor metaformele getallen X en Y met bijbehorende formele getallen A en B geldt:

\( (A) \clubsuit (B) \,\, \heartsuit_s \,\, (B) \clubsuit (A) \)

(zie 5. regel ii.)

\( (A) \clubsuit (B) \,\, \heartsuit_t \,\, (B) \clubsuit (A) \)

(zie 11. regel ii.)

\( (A) \clubsuit (B) \,\, \heartsuit \,\, (B) \clubsuit (A) \)

(zie 11. regel iii.)

\( [ (A) \clubsuit (B) ]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ (B) \clubsuit (A) ]_{\heartsuit} \)

(zie 18c.)

\( [A]_{\heartsuit} \, + \, [B]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [B]_{\heartsuit} \, + \, [A]_{\heartsuit} \)

(zie 19.)

\( X \, + \, Y \, = \, Y \, + \, X \)

.

ii. Voor metaformele getallen X en Y met bijbehorende formele getallen A en B geldt:

\( (A) \diamondsuit (B) \,\, \heartsuit_s \,\, (B) \diamondsuit (A) \)

(zie 5. regel iii.)

\( (A) \diamondsuit (B) \,\, \heartsuit_t \,\, (B) \diamondsuit (A) \)

(zie 11. regel ii.)

\( (A) \diamondsuit (B) \,\, \heartsuit \,\, (B) \diamondsuit (A) \)

(zie 11. regel iii.)

\( [ (A) \diamondsuit (B) ]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ (B) \diamondsuit (A) ]_{\heartsuit} \)

(zie 18c.)

\( [A]_{\heartsuit} \, . \, [B]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [B]_{\heartsuit} \, . \, [A]_{\heartsuit} \)

(zie 19.)

\( X \, . \, Y \, = \, Y \, . \, X \)

.

iii. Voor metaformele getallen X, Y en Z met bijbehorende formele getallen A, B en C geldt:

\( (A) \, \diamondsuit \, ( (B) \, \clubsuit \, ( C) ) \,\, \heartsuit_s \,\, ((A) \diamondsuit (B)) \,\, \clubsuit \,\, ((A) \diamondsuit ( C)) \)

(zie 5. regel iv.)

\( (A) \, \diamondsuit \, ( (B) \, \clubsuit \, ( C) ) \,\, \heartsuit_t \,\, ((A) \diamondsuit (B)) \,\, \clubsuit \,\, ((A) \diamondsuit ( C)) \)

(zie 11. regel ii.)

\( (A) \, \diamondsuit \, ( (B) \, \clubsuit \, ( C) ) \,\, \heartsuit \,\, ((A) \diamondsuit (B)) \,\, \clubsuit \,\, ((A) \diamondsuit ( C)) \)

(zie 11. regel iii.)

\( [ (A) \, \diamondsuit \, ( (B) \, \clubsuit \, ( C) ) ]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ ((A) \diamondsuit (B)) \,\, \clubsuit \,\, ((A) \diamondsuit ( C)) ]_{\heartsuit} \)

(zie 18c.)

\( [A]_{\heartsuit} \, . \, [ (B) \, \clubsuit \, ( C) ]_{\heartsuit} \,\, = \,\, [ (A) \diamondsuit (B) ]_{\heartsuit} \,\, + \,\, [ (A) \diamondsuit ( C) ]_{\heartsuit} \)

(zie 19.)

\( [A]_{\heartsuit} \, . \, ( [B]_{\heartsuit} \, + \, [C]_{\heartsuit} ) \,\, = \,\, ( [A]_{\heartsuit} \, . \, [B]_{\heartsuit} ) \,\, + \,\, ( [A]_{\heartsuit} \, . \, [C]_{\heartsuit} ) \)

(zie 19.)

\( X \, . \, ( Y \, + Z ) \, = \, ( X . Y ) \, + \, ( X . Z ) \)

.

iv. Voor het gemak zullen we deze laatste regel met behulp van de hierboven bewezen regels ii. en iii. bewijzen. Voor alle metaformele getallen X, Y en Z geldt:

\( (Y \, + \, Z) \, .\, X = X \, . \, (Y \, + \, Z) \)

(zie ii.)

\( (Y \, + \, Z) \, . \, X = (X.Y) \, + \, (X.Z) \)

(zie iii.)

\( (Y \, + \, Z) \, . \, X = (Y.X) \, + \, (Z.X) \)

(zie ii.) .

[Bartjes]

21. Voor alle formele getallen C en D geldt:

i.

\( C \, \spadesuit \, D \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

ii.

\( C \, \heartsuit_s \, D \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

Bewijs:

Uit definitie 3. volgt direct dat voor alle formele getallen C en D geldt:

\( C \, \spadesuit \, D \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

Volgens definitie 5. geldt voor de formele getallen C en D alleen

\( C \, \heartsuit_s \, D \)

in de onderstaande gevallen:

i. C en D zijn identiek.

ii. Er zijn formele getallen E en F zodat:

\( C = (E) \clubsuit (F) \)

en

\( D = (F) \clubsuit (E) \)

.

iii. Er zijn formele getallen E en F zodat:

\( C = (E) \diamondsuit (F) \)

en

\( D = (F) \diamondsuit (E) \)

.

iv. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:

\( C = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

en

\( D = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)

.

v. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:

\( C = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)

en

\( D = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

.

We bekijken nu achtereenvolgens deze vijf gevallen:

i. Als C en D identiek zijn geldt uiteraard rw(C) = rw(D) .

ii. Stel dat er formele getallen E en F zijn zodat:

\( C \, = \, (E) \clubsuit (F) \,\,\,\, \& \,\,\,\, D \, = \, (F) \clubsuit (E) \)

.

Dan geldt volgens stelling 4. regel ii. dat:

\( \mbox{rw}( C) \, = \, \mbox{rw}(E) \, + \, \mbox{rw}(F) \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mbox{rw}(D) \, = \, \mbox{rw}(F) \, + \, \mbox{rw}(E) \)

.

Dus:

\( \mbox{rw}( C) \, = \, \mbox{rw}(D) \)

.

iii. Stel dat er formele getallen E en F zijn zodat:

\( C \, = \, (E) \diamondsuit (F) \,\,\,\, \& \,\,\,\, D \, = \, (F) \diamondsuit (E) \)

.

Dan geldt volgens stelling 4. regel iii. dat:

\( \mbox{rw}( C) \, = \, \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}(F) \,\,\,\, \& \,\,\,\, \mbox{rw}(D) \, = \, \mbox{rw}(F) \, . \, \mbox{rw}(E) \)

.

Dus:

\( \mbox{rw}( C) \, = \, \mbox{rw}(D) \)

.

iv. Stel dat er formele getallen E, F en G zijn zodat:

\( C = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \,\,\, \& \,\,\, D = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)

.

Dan geldt volgens stelling 4. regels ii. en iii. dat:

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}((F) \clubsuit (G)) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(D) = \mbox{rw}((E) \diamondsuit (F)) \,\, + \,\, \mbox{rw}((E) \diamondsuit (G)) \)

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(E) \, . \, ( \mbox{rw}(F) \, + \, \mbox{rw}(G)) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(D) = \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}(F) \,\, + \,\, \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}(G) \)

.

Dus:

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

v. Stel dat er formele getallen E, F en G zijn zodat:

\( C = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \,\,\, \& \,\,\, D = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

.

Dan geldt volgens stelling 4. regels ii. en iii. dat:

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}((E) \diamondsuit (F)) \,\, + \,\, \mbox{rw}((E) \diamondsuit (G)) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(D) = \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}((F) \clubsuit (G)) \)

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}(F) \,\, + \,\, \mbox{rw}(E) \, . \, \mbox{rw}(G) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(D) = \mbox{rw}(E) \, . \, ( \mbox{rw}(F) \, + \, \mbox{rw}(G))\)

.

Dus:

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

Waarmee is bewezen dat uit alle vijf de gevallen volgt dat:

\( \mbox{rw}( C) = \mbox{rw}(D) \)

.

[Bartjes]

22. Voor alle formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit_t \, B \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) \, = \, \mbox{rw}(B) \)

.

Bewijs:

Volgens definitie 7. geldt voor formele getallen A en B alleen

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

wanneer er formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal A in B omzet. En dit stukje van A mag eventueel heel A zijn.

Op grond van definitie 2. en stelling 21 blijft de reële waarde van een formeel getal door een dergelijke vervanging onveranderd. Dus moet gelden:

\( A \, \heartsuit_t \, B \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) \, = \, \mbox{rw}(B) \)

.

[Bartjes]

23. Voor alle formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit \, B \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) = \, \mbox{rw}(B) \)

.

Bewijs:

Wegens definitie 9. geldt voor formele getallen A en B alleen

\( A \, \heartsuit \, B \)

indien er een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

bestaat zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( B = E_n \)

.

Bovenstaande definitie 9. leidt tezamen met stelling 22. tot de conclusie dat indien voor formele getallen A en B geldt dat

\( A \, \heartsuit \, B \)

er dan een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

bestaat waarvoor:

\( \mbox{rw}(E_1) = \, \mbox{rw}(E_2) \,\, ; \, \mbox{rw}(E_2) = \, \mbox{rw}(E_3) \,\, ; \, \mbox{rw}(E_3) = \, \mbox{rw}(E_4) \,\, ; \, ... \,\, ; \, \mbox{rw}(E_{n-1}) = \, \mbox{rw}(E_n) \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( B = E_n \)

.

Zodat:

\( A \, \heartsuit \, B \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) = \, \mbox{rw}(B) \)

.

[Bartjes]

24. Voor alle formele getallen A en B geldt:

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\, \& \,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\, \& \,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, \heartsuit \, B \)

.

Bewijs:

Wegens definitie 3. geldt voor alle formele getallen A en B dat:

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\, \& \,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\, \& \,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, \spadesuit \, B \)

.

Dus:

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\, \& \,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\, \& \,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, \heartsuit_t \, B \)

(zie 11. regel i.)

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\, \& \,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\, \& \,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \, \heartsuit \, B \)

(zie 11. regel iii.) .

[Bartjes]

25. Het formele getal 0 is alleen gelijkaardig aan het formele getal 0 zelf.

Bewijs:

Er zijn geen formele getallen A zodat

\( 0 \, \spadesuit \, A \)

(zie 2. en 3.).

Er zijn geen formele getallen B ongelijk aan

\( 0 \)

waarvoor:

\( 0 \,\, \heartsuit_s \,\, B \)

(zie 5.).

Er zijn geen formele getallen C ongelijk aan

\( 0 \)

waarvoor:

\( 0 \,\, \heartsuit_t \,\, C \)

(zie 7.).

Het formele getal 0 is dus alleen gelijkaardig aan het formele getal 0 zelf (zie 9.).

[Bartjes]

26. Voor alle formele getallen A noemen we de equivalentieklasse

\( [A]_{\heartsuit} \)

van

\( \mathfrak{F} \)

onder

\( \heartsuit \)

de metaformele waardering mw(A) van A. Soms zullen we de metaformele waardering van A om typografische redenen ook als

\( \ulcorner A \urcorner \)

noteren.

[Bartjes]

27. Neem aan dat A, B en C formele getallen zijn. Dan geldt:

i.

\( A \,\, \in \,\, \mbox{mw}(A) \)

.

ii.

\( A \,\, \heartsuit \, B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \mbox{mw}(A) \, = \, \mbox{mw}(B) \)

.

iii.

\( A \,\, \heartsuit \, B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, ( \exists C)[ \, A \in \mbox{mw}( C) \,\,\, \& \,\,\, B \in \mbox{mw}( C) \, ] \)

.

iv.

\( A \, \in \, \mbox{mw}(B) \,\, \& \,\, A \in \mbox{mw}( C) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{mw}(B) = \mbox{mw}( C) \)

.

En verder:

v. Twee metaformele getallen zijn ofwel gelijk ofwel disjunct.

vi. De verzameling der metaformele getallen

\( \mathfrak{M} \)

is een partitie van de verzameling der formele getallen

\( \mathfrak{F} \)

.

Bewijs:

Om te beginnen nemen we aan dat A, B en C formele getallen zijn. Dan volgt direct dat de regels i. t/m iv. gelden. Namelijk:

i. Op basis van stellingen 10. en 18b. en definitie 26. .

ii. Op basis van stellingen 10. en 18c. en definitie 26. .

iii. Op basis van stellingen 10. en 18d. en definitie 26. .

iv. Op basis van stellingen 10. en 18e. en definitie 26. .

Los daarvan is het duidelijk dat ook de regels v. en vi. correct zijn:

v. Op basis van stelling 18f. en definitie 19. .

vi. Op basis van stelling 18i. en definitie 19. .

[Bartjes]

28. Neem aan dat A, B en C formele getallen zijn. Dan geldt:

i.

\( \mbox{mw}(A) \, = \, \mbox{mw}(B) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) \, = \, \mbox{rw}(B) \)

.

ii.

\( ( \exists C)[ \, A \in \mbox{mw}( C) \,\,\, \& \,\,\, B \in \mbox{mw}( C) \, ] \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{rw}(A) \, = \, \mbox{rw}(B) \)

.

iii.

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \mbox{mw}(A) \, = \, \mbox{mw}(B) \)

.

iv.

\( \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(A) \neq 0 \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, ( \exists C)[ \, A \in \mbox{mw}( C) \,\,\, \& \,\,\, B \in \mbox{mw}( C) \, ] \)

.

Bewijs:

We nemen aan dat A, B en C formele getallen zijn. Dan volgt direct dat de regels i. t/m iv. gelden:

i. Op basis van stelling 23. en stelling 27. regel ii. .

ii. Op basis van stelling 23. en stelling 27. regel iii. .

iii. Op basis van stelling 24. en stelling 27. regel ii. .

iv. Op basis van stelling 24. en stelling 27. regel iii. .

[Bartjes]

29. Nu eerst een korte samenvatting. De onderstaande stellingen maken duidelijk hoe in grote lijnen de verhouding is tussen de formele en de metaformele getallen:

i. Alle metaformele getallen zijn verzamelingen van enkel formele getallen. Oftewel:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, X \subset \mathfrak{F} \)

.

ii. Een metaformeel getal bevat altijd één of meer formele getallen. Oftewel:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, A \in X \, ] \)

.

iii. Voor ieder metaformeel getal X is er minstens één formeel getal A zodat X = mw(A). Oftewel:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, X = \mbox{mw}(A) \, ] \)

.

iv. Wanneer een formeel getal A een element is van een metaformeel getal X dan geldt: X = mw(A). Oftewel:

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, X = \mbox{mw}(A) \)

.

v. Voor ieder formeel getal is er een metaformeel getal waar het een element van is. Oftewel:

\( A \in \mathfrak{F} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists X)[ X \in \mathfrak{M} \,\, \& \,\, A \in X \, ] \)

.

vi. Geen enkel formeel getal is een element van meer dan één metaformeel getal. Oftewel:

\( \neg ( \exists A)[ \, A \in X \,\,\,\, \& \,\,\,\, A \in Y \,\,\,\, \& \,\,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\,\, \& \,\,\,\, X \neq Y \,\,\,\, \& \,\,\,\, X \, \in \, \mathfrak{M} \,\,\,\, \& \,\,\,\, Y \in \mathfrak{M} \, ] \)

.

Bewijs:

We bewijzen achtereenvolgens i. t/m vi. :

i. Wegens definities 18g. en 19. geldt:

\( \mathfrak{M} \,\,\, = \,\, \{ X \in \mathcal{P}(\mathfrak{F}) \,\, | \,\, ( \exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\, X = [A]_{\heartsuit} \, \} \)

.

Dus:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, X \in \mathcal{P}(\mathfrak{F}) \)

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, X \subset \mathfrak{F} \)

.

ii. Wegens definities 18g. en 19. geldt:

\( \mathfrak{M} \,\,\, = \,\, \{ X \in \mathcal{P}(\mathfrak{F}) \,\, | \,\, ( \exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\, X = [A]_{\heartsuit} \, \} \)

.

Dus:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, X = [A]_{\heartsuit} \, ] \)

.

Op grond van stellingen 10. en 18b. vinden we dan:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, A \, \in \, X \, ] \)

.

iii. Wegens definities 18g. en 19. geldt:

\( \mathfrak{M} \,\,\, = \,\, \{ X \in \mathcal{P}(\mathfrak{F}) \,\, | \,\, ( \exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\, X = [A]_{\heartsuit} \, \} \)

.

Dus:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, X = [A]_{\heartsuit} \, ] \)

.

Op grond van definitie 26. vinden we dan:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists A)[ \, A \in \mathfrak{F} \,\, \& \,\, X = \mbox{mw}(A) \, ] \)

.

iv. Wegens definities 18g. en 19. geldt:

\( \mathfrak{M} \,\,\, = \,\, \{ X \in \mathcal{P}(\mathfrak{F}) \,\, | \,\, ( \exists E)[ \, E \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\, X = [E]_{\heartsuit} \, \} \)

.

Dus:

\( X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists E)[ \, X = [E]_{\heartsuit} \, ] \)

.

Zodat:

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, (\exists E)[ \, A \in X \,\,\, \& \,\, X = [E]_{\heartsuit} \, ] \)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, (\exists E)[ \, A \in [E]_{\heartsuit} \,\,\, \& \,\,\, X = \mbox{mw}(E) \, ] \)

(zie 26.)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, (\exists E)[ \, A \, \heartsuit \, E \,\,\, \& \,\, X = \mbox{mw}(E) \, ] \)

(zie 18a.)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, (\exists E)[ \, \mbox{mw}( A) \, = \, \mbox{mw}( E) \,\,\, \& \,\, X = \mbox{mw}(E) \, ] \)

(zie 27. regel ii.)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, (\exists E)[ \, X = \mbox{mw}(A) \, ] \)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, X = \mbox{mw}( A) \)

.

v. Wegens stellingen 10. en 18b. geldt:

\( A \in \mathfrak{F} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \in [ A ]_{\heartsuit} \)

.

Op basis van definities 18g. en 19. vinden we dan:

\( A \in \mathfrak{F} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, (\exists X)[ X \in \mathfrak{M} \,\, \& \,\, A \in X \, ] \)

.

vi. Dit volgt direct uit definitie 18h. en stelling 27. regel vi. .

[Bartjes]

30. Wanneer twee formele getallen A en B elementen zijn van een en hetzelfde metaformele getal X dan hebben deze formele getallen een gelijke reële waarde. Oftewel:

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, B \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, B \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \)

.

Bewijs:

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, B \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, B \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, X = \mbox{mw}(A) \,\,\, \& \,\,\, X = \mbox{mw}(B) \)

(zie 29. regel iv.)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, B \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, B \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \mbox{mw}(A) = \mbox{mw}(B) \)

\( A \in X \,\,\, \& \,\,\, B \in X \,\,\, \& \,\,\, A \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, B \in \mathfrak{F} \,\,\, \& \,\,\, X \in \mathfrak{M} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \mbox{rw}(A) = \mbox{rw}(B) \)

(zie 28. regel i.) .