\(\mbox{f is een injectie} \ \Leftrightarrow \forall A\subset X: f^{-1}(f(A))=A\)
Bewijs kan dus opgedeeld worden in 2 delen, het deel dat me volgens mij lukt is:\(\Leftarrow\)
Te bewijzen: \(\forall A\subset X: f^{-1}(f(A))=A \Rightarrow \ \mbox{f is een injectie}\)
Bewijs:Kies
\(x_1 \in f^{-1}(f(A))\)
willekeurig, per definitie geldt er:\(A=\{x_1 \in X:f(x_1)\in f(A)\}\)
Kies \(x_2\in f^{-1}(f(A))\)
willekeurig, per definitie geldt er \(A=\{x_2 \in X: f(x_2) \in f(A)\}\)
Nu geldt er dat \(A=A\)
en dus \(x_1\in A \Leftrightarrow x_2 \in A\)
, dit bewijst dat:\(\forall x_1,x_2 \in A: x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\)
en dus is \(f\)
injectief.Is dit een goed bewijs? Of? ...
