Impuls en kracht

[henkjan.bultman]

Ik heb een kleine metalen letter (17 mm doorsnede) op een stukje graniet gelijmd om de verbinding te testen. Ik heb er met een grote schroevendraaier tegenaan geduwd met minimaal 200N en dat wordt gemakkelijk weerstaan. Als ik er echter met een kleine hamer en de schroevendraaier tegenaan ga tikken, komt de letter al snel los. Ik ervaar dit als tegenstrijdig en vraag me af of iemand mij een logische verklaring, liefst mbv formules, kan geven. Het gaat mij erom welke duwkracht overeenkomt met de kracht die de hamer op het moment van tikken uitoefent. De hamer weegt 0,5 kg en bewoog naar schatting met een snelheid van 3m/s.

[Jan van de Velde]

Aangaande tegenstrijdigheid: je vind het naar ik mag aannemen heel normaal dat je met zulke hamerslagjes vrij moeiteloos een spijker in een stuk hout slaat. Maar diezelfde spijker lacht je uit als je er een gewichtje van 200 N op legt.

Je komt zelf al met "impuls". Hoe zet je die p=m·v=0,5 x 3 = 1,5 kgm/s van die hamer om naar kracht (in newton, in SI-grondeenheden kgm/s²) ?

Welk gegeven mist daarvoor in je verhaal?

[henkjan.bultman]

Aan de spijker had ik nog niet gedacht. Ik vermoed dat de botsingstijd het ontbrekende gegeven is, zodat je F kan bepalen door p/delta t. Stel dat de letter bij bv een afschuifkracht van 300N zou losraken, dan heeft een coresponderende hamerklap van 5/1000 seconde (delta t=p/F=1,5/300=5/1000) hetzelfde effect. Dat lijkt mij wel een erg kort contact.

Ik kan die botsingstijd niet meten. Weet jij aan wat voor soort waarden ik zou moeten denken?

[aadkr]

Wat in feite gegeven zou moeten zijn ,is de kracht F als funktie van de tijd.

De volgende formule geldt:

\(\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt} \)

Daar we dit niet weten valt er weinig over te zeggen.

[Bartjes]

Hiermee moet het lukken:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Wet_van_Hooke

[Jan van de Velde]

Ik kan die botsingstijd niet meten. Weet jij aan wat voor soort waarden ik zou moeten denken?

met die botstijd sla je de spijker op de kop

En ja, die is ongetwijfeld héél kort. Geen idee hoe kort precies, maar met een stalen hamer op een stalen beiteltje slaand tegen een hard voorwerp misschien nog wel korter dan een milliseconde?

[henkjan.bultman]

Ik heb weliswaar niet echt kunnen rekenen aan mijn vraag omdat er een gegeven mist, maar ik begrijp wel beter wat zich afspeelt. Bij een zeer korte botstijd komen grote krachten vrij. Allen hartelijk bedankt voor de reacties.

[Jan van de Velde]

Bij een zeer korte botstijd komen grote krachten vrij.

En laten we daarbij niet vergeten wat Aadkr en Bartjes je hierboven proberen te vertellen: die kracht zal bovendien niet constant zijn: de kracht die je uitrekent met het versimpelde sommetje F = Δp/Δt geeft je een gemiddelde kracht gedurende de botsing. Gedurende een deel van de botstijd zal die kracht dus nog aanmerkelijk groter zijn dan dat.

[Bartjes]

Je kan het wel uitrekenen, maar dan moet je een differentiaalvergelijking opstellen en oplossen. De kleine metalen letter werkt als een "veer" volgens de Wet van Hooke. Voor het gemak kan je de zaak ook zo voorstellen dat je met een hamer direct op de letter slaat. Dan moet het uit te rekenen zijn.

Zie ook:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Elasticiteitsmodulus

[henkjan.bultman]

Dag Bartjes, het intrigeert me dat je aan mijn vraag toch zou kunnen rekenen. Ik heb beide artikelen doorgenomen, waar jij een link van gaf, maar ik zie de verbanden niet en ik heb geen idee hoe te beginnen. Het vwo-natuurkunde ligt 20 jaar achter me, dus ik kan niet meer zelfstandig een differentiaalvergelijking opstellen. Ik zou er graag aan rekenen, maar dan heb ik even stevige beleiding nodig, en ik weet niet of dat de bedoeling van dit forum is (ik ben nieuw).

[Bartjes]

Dag Bartjes, het intrigeert me dat je aan mijn vraag toch zou kunnen rekenen. Ik heb beide artikelen doorgenomen, waar jij een link van gaf, maar ik zie de verbanden niet en ik heb geen idee hoe te beginnen. Het vwo-natuurkunde ligt 20 jaar achter me, dus ik kan niet meer zelfstandig een differentiaalvergelijking opstellen. Ik zou er graag aan rekenen, maar dan heb ik even stevige beleiding nodig, en ik weet niet of dat de bedoeling van dit forum is (ik ben nieuw).

Ik bedenk mij net dat je de zaak met een vereenvoudigde energiebeschouwing simpeler kan oplossen. Stel dat het metalen lettertje vast blijft zitten, dan wordt de hamer door het lettertje tot stilstand gebracht en ideaal gesproken ook weer teruggeworpen (wanneer er geen deuk in het lettertje blijft zitten). We nemen aan dat de hamer direct op het lettertje slaat en dat het gehele gebeuren in een horizontaal vlak plaats vindt (om het zo eenvoudig mogelijk te houden).

De bewegingsenergie van de (kop van de) hamer is op het moment dat deze tot stilstand is gekomen geheel omgezet in potentiële energie van het als veer te beschouwen lettertje. Op dat moment zijn de indeuking en kracht maximaal, deze noemen we respectievelijk d en F_max. Bij de maximale indeuking treedt immers ook de maximale kracht F_max op. Dus:

\( F_{max} = k . d \)

(Hierin is k de veerconstante.)

Voor de potentiële energie E_p van het maximaal ingedrukte lettertje geldt:

\( E_p = \frac{1}{2} . k . d^2 \)

.

Zie:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Potenti%C3%AB...stische_energie

Zodat:

\( E_p = \frac{1}{2} . k . \left ( \frac{F_{max}}{k} \right )^2 \)

\( E_p = \frac{1}{2} . k . \frac{(F_{max})^2}{k^2} \)

\( E_p = \frac{1}{2} . \frac{(F_{max})^2}{k} \)

.

Voor de oorspronkelijke kinetische energie E_k van de (kop van de) hamer geldt:

\( E_k = \frac{1}{2} . m .v^2 \)

.

Hierin is m de massa van de (kop van de) hamer en v de snelheid vlak voor het botsen.

Dus hebben we:

\( E_p = E_k \)

\( \frac{1}{2} . \frac{(F_{max})^2}{k} = \frac{1}{2} . m .v^2 \)

\( \frac{(F_{max})^2}{k} = m .v^2 \)

\( (F_{max})^2 = k.m .v^2 \)

\( F_{max} = v . \sqrt{k.m} \)

.

Nu moet je alleen de veerconstante k van het lettertje nog uitrekenen.

[henkjan.bultman]

Nu moet je alleen de veerconstante k van het lettertje nog uitrekenen. (bartjes)

Bedankt voor interessante en duidelijke berekening. Het lettertje is van titanium, grade 2, dat is een relatief zachte soort. E=105 Gpa=105x10^9 N/m^2 (tabel); v=3 m/s; m=0,5 kg. Als ik deze waarden in de laatste formule invul is F gelijk aan 687 kN.

Dat is een enorme kracht, heb ik toch iets verkeerd uitgerekend?

Ik dacht zelf dat in werkelijkheid de kracht van de letter op de epoxylijm wordt overgebracht, die aanmerkelijk flexibeler is dan de titanium letter (E is ongeveer 20x10^9 N/m^2; ik kom waarden tegen variererend van 5 tot 30x10^9 N/m^2). F zou dan 131 kN zijn, maar dat kan ik ook niet geloven.

Is het niet zo dat je op deze manier het elastische gedrag van de lijm in het oneindige extrapoleert, terwijl in werkelijkheid de plastische fase en de rekgrens al overschreden is en breuk is opgetreden?

[Bartjes]

Eigenlijk zijn het twee veren (het lettertje en de lijm) in serie. De veerconstante k is de evenredigheidsconstante tussen de kracht F en de uitrekking (of compressie) x, dus: F = k.x . Verder hebben we strikt genomen eerder te maken met 'schuif':

http://nl.wikipedia.org/wiki/Schuif

Als je zeker weet dat het lettertje veel minder meegeeft dan de lijm, kan je je ook tot het meegeven (de schuif) van de lijm beperken en de indeuking en schuif van het lettertje verwaarlozen.

Zodra de lijm van het lettertje het begeeft, valt de kracht weg. Dus de maximale kracht is die waarbij de lijm het net niet meer houdt. Dit zou je wellicht ook op kunnen zoeken, alleen is er dan weinig meer aan te rekenen. De berekeningen gaan uit van het geïdealiseerde geval dat de lijm en het lettertje het niet begeven.

[henkjan.bultman]

Laat ik ter vereenvoudiging even aannemen dat de letter niet is gelijmd, maar star is geschroefd op een groot blok graniet. En dat de titanium niet vervormt, maar terugveert. Dan zou de maximale kracht 687 kN zijn op het moment dat het materiaal maximaal is ingedrukt. Ik kan mij niet voorstellen dat een kleine hamertik zo'n kracht kan veroorzaken ook al duurt die zeer kort, ik verwacht dan eerder een moker of zelfs een stormram. Vind jij dit niet vreemd?

De trekspanning van de lijm en diverse afschuifwaarden van andere vergelijkbare lijmen heb ik opgezocht, maar het ging mij erom te begrijpen waarom je met een kleine stoot de maximale schuifspanning al overschrijdt.

[Bartjes]

Laat ik ter vereenvoudiging even aannemen dat de letter niet is gelijmd, maar star is geschroefd op een groot blok graniet. En dat de titanium niet vervormt, maar terugveert.

Mooi - dat vereenvoudigt de zaak enorm!

Dan zou de maximale kracht 687 kN zijn op het moment dat het materiaal maximaal is ingedrukt. Ik kan mij niet voorstellen dat een kleine hamertik zo'n kracht kan veroorzaken ook al duurt die zeer kort, ik verwacht dan eerder een moker of zelfs een stormram. Vind jij dit niet vreemd?

Ik heb het afgeleerd in natuurkundige problemen op mijn intuïtie te vertrouwen. Wel is het mij nog niet duidelijk hoe je de elasticiteitsmodulus naar de veerconstante hebt omgerekend.

De trekspanning van de lijm en diverse afschuifwaarden van andere vergelijkbare lijmen heb ik opgezocht, maar het ging mij erom te begrijpen waarom je met een kleine stoot de maximale schuifspanning al overschrijdt.

Goed - het is altijd belangrijk een vraag tot de kern terug te brengen. Daarmee is dan het vraagstuk vaak al bijna opgelost.