Problemen met faculteitsberekeningen

[stephanovich]

Hallo,

ik ben momenteel bezig met volledige inductie, sommaties en faculteiten

hierbij kreeg ik de volgende vraag:

bewijs met volledige inductie dat:

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

gelijk is aan (n+1)!-1

De eerste paar stappen gaan goed:

laat zien dat p(1) waar is

1*1!=2!*1 klopt

neem aan dat p(n) waar is, dus:

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

= (n+1)!-1

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, en in de volgende uitwerkingen volgen voor mij de problemen

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!)\)

=

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

+(n+1)*(n+1)!

ik snap hierbij niet hoe ze aan die " (n+1)*(n+1)!" komen

en vervolgens werken ze het verder uit:

1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

2:(n+2)(n+1)!-1

3:(n+2)!-1

4:((n+1)+1)!-1

ik snap hierbij niet hoe ze van de eerste naar de tweede vergelijking gaan.

zou iemand mij met deze 2 dingen kunnen helpen?

bij voorbaat dank.

[Shadeh]

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!) =\sum_{k=1}^{n}(k*k!)+(n+1)(n+1)!\)

(n+1)*(n+1)! is de n+1-de term van de sommatie.

[Shadeh]

Wat betreft het tweede, als je (n+1)(n+1)! nu eens schrijft als n(n+1)!+(n+1)! geraak je er dan?

[Safe]

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

gelijk is aan (n+1)!-1

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, en in de volgende uitwerkingen volgen voor mij de problemen

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!)\)

=

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

+(n+1)*(n+1)!

ik snap hierbij niet hoe ze aan die " (n+1)*(n+1)!" komen

Hoeveel termen staan er links en hoeveel rechts?

Het is vaak nuttig een aantal termen uit te schrijven, bv de eerste drie en de laatste twee.

Ook is deze stap noodzakelijk want je moet de inductieveronderstelling kunnen gebruiken ...

[stephanovich]

links staan er n- termen aangezien het begint bij k=1 en eindigt bij n

waarbij de laatste term van p(n) volgens mij (n*n!) is

bij het volgende deel is de laatste term (n+1)*(n+1)! .... logisch dat ik dat niet eerder zag! dank u wel, dit is al een stuk duidelijker

alleen bij het tweede deel daagt er nog niet veel

ik weet dat (n+1)! hetzelfde is als n!(n+1) aangezien n!= 1*2*3*4....*(n-1)*n

en (n+1)= 1*2*3*4*....*(n-1)*n*(n+1)

dus krijg je volgens mij iets zoals:

n!(n+1)+(n+1)*n!(n+1)

maar toch is het me niet gelukt om

1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

te schrijven als

2:(n+2)(n+1)!-1

te schrijven als

3:(n+2)!-1

ook lukt het me niet om uit te komen op de manier die shadeh me gaf

[Drieske]

Ik vind het heel verwarrend wat je nu wel en niet snapt...

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!) = \sum_{k=1}^{n}(k*k!) + (n+1)(n+1)!\)

Dit snap je nu?

Dan hier:

1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

2:(n+2)(n+1)!-1

Stel dat er zoiets stond: b - 1 + a b. Kon je dit dan anders (korter) schrijven?

[stephanovich]

Ik snap hem nu helemaal!

de hele som is me nu duidelijk

dank jullie wel voor de geweldige hulp!

[Safe]

Kan je de opl nu eens netjes uitschrijven ...

[stephanovich]

Bewijs met volledige inductie:

laat zien dat

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

= (n+1)!-1

1:

laat zien dat p(1) waar is

1*1!=2!*1 klopt

2:

neem aan dat p(n) waar is, dus:

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

= (n+1)!-1

3:

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is,

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!)\)

vul in plaats van k nu (n+1) in en je krijgt:

(n+1)(n+1)!

dus

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

+(n+1)*(n+1)!

vervolgens gebruik je dat p(n) waar is, dus:

1* : (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

2* : (n+2)(n+1)!-1

3* : (n+2)!-1

4* : ((n+1)+1)!-1

1*: Gebruik maken van de aanname dat p(n) waar is

2*: Stel (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)! = a-1+ba, dan is dat hetzelfde als: a(1+b)-1.

dus (n+1)!((1+(n+1))-1

en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1

dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1

3*: maak gebruik van het feit dat (n+2)!= 1*2*3*4*.....*n*(n+1)*(n+2)

dus (n+2)(n+1)!= (n+2)!

dus zo kom je aan (n+2)!-1

4*: (n+2)!-1= ((n+1)+1)-1

hopelijk is dit de juiste uitleg nu. Nogmaals bedankt.

[Safe]

Bewijs met volledige inductie:

laat zien dat

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)= (n+1)!-1\)

1:

laat zien dat p(1) waar is

1*1!=2!*1 klopt

2:

neem aan dat p(n) waar is, dus inductieveronderstelling

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)\)

= (n+1)!-1

3:

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, dus

\(\sum_{k=1}^{n+1}(k*k!)=(n+2)!-1\)

vul in plaats van k nu (n+1) in en je krijgt:

(n+1)(n+1)!

dus

Maak gebruik van de inductieveronderstelling

\(\sum_{k=1}^{n}(k*k!)+(n+1)\cdot(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot(n+1)!==(n+1)!+(n+1)\cdot(n+1)!\; -1=(n+1)!(1+n+1)\; -1=(n+1)!(n+2)\; -1==(n+2)!\; -1\)

w.t.b.w

vervolgens gebruik je dat p(n) waar is, dus:

1* : (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!

2* : (n+2)(n+1)!-1

3* : (n+2)!-1

4* : ((n+1)+1)!-1

1*: Gebruik maken van de aanname dat p(n) waar is

2*: Stel (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)! = a-1+ba, dan is dat hetzelfde als: a(1+b)-1.

dus (n+1)!((1+(n+1))-1

en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1

dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1

3*: maak gebruik van het feit dat (n+2)!= 1*2*3*4*.....*n*(n+1)*(n+2)

dus (n+2)(n+1)!= (n+2)!

dus zo kom je aan (n+2)!-1

4*: (n+2)!-1= ((n+1)+1)-1

hopelijk is dit de juiste uitleg nu. Nogmaals bedankt.

Het ziet er heel goed uit. Een paar puntjes: ik vul dat hierboven in

Ik begrijp niet goed waarop je het volgende schrijft:

en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1

dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1

Immers (bv) 8!=7!*8, dus (n+1)!*(n+2)=(n+2)!

[stephanovich]

Het ziet er heel goed uit. Een paar puntjes: ik vul dat hierboven in

Ik begrijp niet goed waarop je het volgende schrijft:

Immers (bv) 8!=7!*8, dus (n+1)!*(n+2)=(n+2)!

sorry dat ik het woord inductieveronderstelling vergat, aangezien mijn colleges geheel in het Engels zijn wist ik de term in het Nederlands niet meer.

jou voorbeeld is ook goed, ik rangschik het alleen net iets anders

in mijn voorbeeld zet ik het liever zo:

oorspronkelijk: 7!*8

Ik schrijf dat voor mezelf liever zo op : 8!*7 = 8!

dus (n+1)!*(n+2)= (n+2)(n+1)! = (n+2)!

[Safe]

oorspronkelijk: 7!*8

Ik schrijf dat voor mezelf liever zo op : 8!*7 = 8!

dus (n+1)!*(n+2)= (n+2)(n+1)! = (n+2)!

Echt belangrijk is dit niet.

Maar 8!*7 = 8! is wel fout.

En ik ben gewend om 1*2*3*4*5*6*7*8=8! maar ook als 1*2*3*4*5*6*7 *8=7!*8 te schrijven als dat nodig is ...

8 is de opvolgende factor van 7!

[stephanovich]

Echt belangrijk is dit niet.

Maar 8!*7 = 8! is wel fout.

En ik ben gewend om 1*2*3*4*5*6*7*8=8! maar ook als 1*2*3*4*5*6*7 *8=7!*8 te schrijven als dat nodig is ...

8 is de opvolgende factor van 7!

mijn fout inderdaad

ik bedoelde:

7!*8

naar :

8*7!

Maar dat had ik gewoon even over het hoofd gezien.